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二次曲線方程的化簡(jiǎn)與分類.ppt

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二次曲線方程的化簡(jiǎn)與分類.ppt

5.6 二次曲線方程的化簡(jiǎn)與分類 這一節(jié),我們將在直角坐標(biāo)系下,利用坐標(biāo)變 換,使二次曲線的方程在新坐標(biāo)系里具有最簡(jiǎn)形式, 然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行二次曲線的分類。 1. 平面直角坐標(biāo)變換 我們知道,如果平面內(nèi)一點(diǎn)的舊坐標(biāo)與新坐標(biāo) 分別為 與 ,那么移軸公式為 ( 5.6-1) 或 ( 5.6-1) 式中 為新坐標(biāo)系原點(diǎn)在舊坐標(biāo)系里的坐標(biāo)。 o y x o/ y/ x/ ( , )xy ( , )xy 0 0 x x x y y y 0 0 x x x y y y 00( , )xy 先移軸使坐標(biāo)原點(diǎn)與新坐標(biāo)系的原點(diǎn) 重合 ,變成坐 標(biāo)系 ( 5.6-2) 或 ( 5.6-2) 式中的 為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角。 而在一般情形,由舊坐標(biāo)系 變成新坐 標(biāo)系 ,總可以分兩步來(lái)完成, 轉(zhuǎn)軸公式為 o y x O ,O x y 然后由輔助坐標(biāo)系 再轉(zhuǎn)軸而 .O x y 成新坐標(biāo)系 設(shè)平面上任意點(diǎn) 的舊坐標(biāo)與新坐標(biāo)分別為 c o s sin sin c o s x x y y x y c o s sin sin c o s x x y y x y O xy O x y .O x y P ( , ),xy 與 (圖 5-1) 由上兩式得一般坐標(biāo)變 換公式為 ( 5.6-3) o y x o/ y/ x/ 與 而在輔助坐標(biāo)系 中的坐標(biāo) 那么有 ( , )xy ( , )xy O x y 0 0 x x x y y y c o s sin sin c o s x x y y x y 0 0 c o s sin sin c o s x x y x y x y y 由( 5.6-3)解出 便得逆變換公式 ( 5.6-4) 平面直角坐標(biāo)變換公式( 5.6-3)是由新坐標(biāo)系原 點(diǎn)的坐標(biāo) 與坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角 決定的。 確定坐標(biāo)變換公式,除了上 面的這種情況外,還可以有 其它的方法。 例如給出了新坐標(biāo)系 的兩坐標(biāo)軸在舊坐標(biāo) 系里的方程,并規(guī)定 了一個(gè)軸的正方向等。 現(xiàn)在我們就來(lái)介紹這 情況下的坐標(biāo)變換公式。 (圖 5-2) o y x M y/ x/ 1 1 1 0A x B y C 00 00 c o s sin ( c o s sin ) sin c o s ( sin c o s ) x x y x y y x y x y 00( , )xy ,xy 2 2 2 0A x B y C 設(shè)在直角坐標(biāo)系 里給定了兩條互相垂直的直線 ( , ),xy ( , ).xy 因?yàn)?是點(diǎn) 到 軸的距離,也就是 點(diǎn) 到 的距離,因此我們有 同理可得 o y x 1l 2l其中 1l 橫軸 縱軸 ,Oy 舊坐標(biāo)與新坐標(biāo)分別是 M y/ x/ 1 1 1 1 2 2 2 2 :0l A x B y C l A x B y C 2 2 2 22 22 A x B y C x AB 1 1 1 22 11 A x B y Cy AB 1 2 1 2 0A A B B Ox ( , )M x y xOy 2l M x Oy 2l M 于是在去掉絕對(duì)值符號(hào)以后,便有 ( 5.6-5) 為了使新坐標(biāo)系仍然是右手坐標(biāo)系,我們來(lái)決定( 5.6-5) 中的符號(hào) , 將( 5.6-5)式與公式( 5.6-4)比較得 ( 5.6-4) 2 2 2 22 22 1 1 1 22 11 A x B y C x AB A x B y C y AB 00 00 c o s sin ( c o s sin ) sin c o s ( sin c o s ) x x y x y y x y x y 22 2 2 2 2 2 2 2 2 c os , si n ,AB A B A B 11 2 2 2 2 1 1 1 1 si n , c os .AB A B A B 因此( 5.6-5)中的第一式右端的 的系數(shù)應(yīng)與第二 式的右端 的實(shí)數(shù)相等,所以( 5.6-5)的符號(hào)選取 要使得這兩項(xiàng)的系數(shù)是同號(hào)的。 例 1 已知兩垂直的直線 與 ,取 為 軸, 為 軸,求 坐標(biāo)變換公式。 解 設(shè) 的新坐標(biāo)為 ,那么有 根據(jù)上面的符號(hào)選取法則得變換公式為 2 2 2 2 , 55 2 3 2 3 ; 55 x y x y xx x y x y yy 或 。 2 2 2 3, 55 x y x yxy ( , )M x y ( , )xy 1 : 2 3 0l x y 2 : 2 2 0l x y x y Ox Oy 1l 2l 2. 二次曲線方程的化簡(jiǎn)與分類 設(shè)二次曲線的方程為 ( 1) 現(xiàn)在我們要選取一個(gè)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,也就是要確 定一個(gè)坐標(biāo)變換,使得曲線( 1)在新坐標(biāo)系下的 方程最為簡(jiǎn)單,這就是二次曲線方程的化簡(jiǎn)。 為此,我們必須了解在坐標(biāo)變換下二次曲線方程的 系數(shù)是怎樣變化的。 因?yàn)橐话阕鴺?biāo)變換是由移軸與轉(zhuǎn)軸組成,所以我們 分別考察在移軸與轉(zhuǎn)軸下, 二次曲線方程( 1)的系數(shù)的變換規(guī)律。 22 11 12 22 13 23 33 ( , ) 2 2 2 0 , F x y a x a x y a y a x a y a 在移軸( 5.6-1)即 下,二次曲線( 1)的新方程為 化簡(jiǎn)整理得: 0 0 x x x y y y 00 2 11 0 12 0 0 2 22 0 13 0 23 0 33 ( , ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 0 F x x y y a x x a x x y y a y y a x x a y y a 22 1 1 1 2 2 2 1 3 2 3 3 32 2 2 0a x a x y a y a x a y a 這里 ( 5.6-6) 因此在移軸( 5.6-1)下,二次曲線方程系數(shù)的變 換規(guī)律為: 二次項(xiàng)系數(shù)不變; 一次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)?與 ; 常數(shù)項(xiàng)變?yōu)?。 o1 o3 o2 22 1 1 1 2 2 2 1 3 2 3 3 32 2 2 0a x a x y a y a x a y a 11 11 12 12 22 22 13 11 0 12 0 13 1 0 0 23 12 0 22 0 23 2 0 0 22 23 11 0 12 0 0 22 0 13 0 23 0 33 0 0 , , , ( , ) , ( , ) , 22 2 ( , ) . a a a a a a a a x a y a F x y a a x a y a F x y a a x a x y a y a x a y a F x y 1 0 02 ( , )F x y 2 0 02 ( , )F x y 00( , )F x y 所以當(dāng)二次曲線有中 心時(shí),作移軸,使原點(diǎn)與二次曲線的中心重合,那 么在新坐標(biāo)系下二次曲線的新方程中一次項(xiàng)消失。 因?yàn)楫?dāng) 為二次曲線( 1)的中心時(shí),有 , 0),(,0),( 002001 yxFyxF 把轉(zhuǎn)軸公式( 5.6-2)即 代入( 1),得在轉(zhuǎn)軸( 5.6-2)下二次曲線( 1)的 新方程為 這里 c o s sin sin c o s x x y y x y 22 1 1 1 2 2 2 1 3 2 3 3 32 2 2 0a x a x y a y a x a y a 00( , )xy ( 5.6-7) 因此,在轉(zhuǎn)軸下,二次曲線方程( 1)的系數(shù)變換 規(guī)律為: o1 o2 二次項(xiàng)系數(shù)一般要改變。新方程的二次 項(xiàng)系數(shù)僅與原方程的二次項(xiàng)系數(shù)及旋轉(zhuǎn)角有關(guān),而 與一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)無(wú)關(guān)。 一次項(xiàng)系數(shù)一般要改變。新方程的一次 22 11 11 12 22 22 12 22 11 12 22 22 11 12 22 13 13 23 23 13 23 33 33 c os 2 si n c os si n , ( ) si n c os ( c os si n ) , si n 2 si n c os c os , c os si n , si n c os , . a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa 項(xiàng)系數(shù) 解出 得 可以進(jìn)一步看到,在轉(zhuǎn)軸下,二次曲線方程( 1)的 一次項(xiàng)系數(shù) 的變換規(guī)律是與點(diǎn)的坐標(biāo) 的 變換規(guī)律完全一樣, 當(dāng)原方程有一次項(xiàng)時(shí),通過(guò)轉(zhuǎn) 軸不能完全消去一次項(xiàng),當(dāng)原方程無(wú)一次項(xiàng)時(shí),通 過(guò)轉(zhuǎn)軸也不會(huì)產(chǎn)生一次項(xiàng)。 o3 常數(shù)項(xiàng)不變。 1 3 1 3 2 3 2 3 1 3 2 3 c o s sin , sin c o s , a a a a a a 1 3 1 3 2 3 2 3 1 3 2 3 c o s sin , sin c o s , a a a a a a 13 23,aa 13 23,aa ,xy 二次曲線方程( 1)里,如果 ,我們往往 使用轉(zhuǎn)軸使新方程中的 。為此,我們只有取 旋轉(zhuǎn)角 ,使得 即 所以 ( 5.6-8) 因?yàn)橛嗲械闹悼梢允侨我獾膶?shí)數(shù),所以 總有 滿 足( 5.6-8),也就是說(shuō)總可以經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)軸消 去( 1)的 項(xiàng)。 例 2 化簡(jiǎn)二次曲線方程 并畫(huà)出它的圖形。 221 2 2 2 1 1 1 2( ) s i n c o s ( c o s s i n ) 0 ,a a a a 2 2 1 1 1 2( ) s in 2 2 c o s 2 0 ,a a a 11 22 12 2 2 aac tg a 224 4 1 2 1 0 x x y y x y xy 12 0a 12 0a 解 因?yàn)槎吻€的方程含有 項(xiàng),因此 我們總可以先通過(guò)轉(zhuǎn)軸消去 項(xiàng)。設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 , 那么由( 5.6-8)得: 即 所以 從而得 取 ,那么 , ,所以得 224 4 1 2 1 0 x x y y x y 32, 4c tg 213 , 24 tg tg 22 3 2 0 ,tg tg 1 2 2tg 或 。 2tg 2sin 5 1c os 5 xy xy 轉(zhuǎn)軸公式為 代入原方程化簡(jiǎn)整理得轉(zhuǎn)軸后的新方程為 利用配方使上式化為 再作移軸 1 ( 2 ) 5 1 ( 2 ) 5 x x y y x y 5 , 5 xx yy 25( ) 5 0 5xy 25 2 5 5 5 1 0 x x y 曲線方程化為最簡(jiǎn)形式 或?qū)懗蓸?biāo)準(zhǔn)方程為 這是一條拋物線,它 的頂點(diǎn)是新坐標(biāo)系 的原點(diǎn)。原 方程的圖形可以根據(jù) 它在坐標(biāo)系 中的標(biāo)準(zhǔn)方程作出, 它的圖形如圖 5 - 3所 示。 利用坐標(biāo)變換化簡(jiǎn)二 次曲線的方程,如果曲線 有中心,那么為了計(jì)算方便,往往先移軸后轉(zhuǎn)軸。 (圖 5 - 3) y x o y/ x/ (x/) y/ o/ 2 50 xy 2 5xy O x y O x y 例 3 化簡(jiǎn)二次曲線方程 并畫(huà)出它的圖形。 解 因?yàn)?所以曲線為中心二次曲線,解方程組 1 2 1 ( , ) 1 0 , 2 1 ( , ) 2 0 , 2 F x y x y F x y x y 2 1 1 132 1 0 , 1 44 1 2 I 22 2 4 0 x x y y x y 得中心的坐標(biāo)為 ,取 為新原點(diǎn), 原方程變?yōu)?再轉(zhuǎn)軸消去 項(xiàng),由( 5.6-8)得 從而可取 ,故轉(zhuǎn)軸公式為 作移軸 1 ( ) , 2 1 ( ) , 2 x x y y x y , 2. xx yy 2 0 ,ctg 4 22 40 x x y y 0 , 2xy (0,2) xy 經(jīng)轉(zhuǎn)軸后曲線的方程 或?qū)懗蓸?biāo)準(zhǔn)形式 這是一個(gè)橢圓,它的 圖形如圖 5-4所示。 利用轉(zhuǎn)軸來(lái)消去 二次曲線方程的 項(xiàng), 它有一個(gè)幾何意義, 就是把坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)到 與二次曲線的主方向 平行的位置。 (圖 5-4) o y x o/ y/ x/ /4 2213 40 22xy 22 1.8 8 3 xy xy 這是因?yàn)槿绻吻€的特征根 確定的主方向?yàn)?,那么由( 5.5-1)立刻得: 12 11 22 12 ,Y a atg X a a 212 2 22 12 22 12 11 11 2222 12 12 12 22 1 ( ) 1 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 2 a tg a c t g atg a aa aaaa a a a 11 12 12 22 ( ) 0 , ( ) 0. a X a Y a X a Y :XY 因此,上面介紹的通過(guò)轉(zhuǎn)軸與移軸來(lái)化簡(jiǎn)二 次曲線方程的方法,實(shí)際是把坐標(biāo)軸變換到與二 次曲線的主直徑(即對(duì)稱軸)重合的位置。 如果是線心曲線, 坐標(biāo)原點(diǎn)可以與曲線的任何一個(gè)中 心重合。 因此,二次曲線方程的化簡(jiǎn) ,只要先求 出曲線( 1)的主直徑, 然后以它作為新坐標(biāo)軸, 作坐標(biāo)變換即可。 例 4 化簡(jiǎn)二次曲線方程 并作出它的圖形。 如果是中心曲線, 如果是無(wú)心曲線, 坐標(biāo)原點(diǎn)與曲線的中心重合 ; 坐標(biāo)原點(diǎn)與曲線的頂點(diǎn)重合 ; 223 1 0 1 0 2 1 0 ,x x y y x y 解 已知二次曲線的矩陣是 所以曲線的特征方程是 解得兩特征根為 因而曲線的兩個(gè)主方向?yàn)?3 15 2 3 1 5 , 2 5 5 21 12 3 1 52 1 1 2 , , 3 4 1 2 II 2 52 0 , 4 12 15, 22 曲線的兩條主直徑為 與 即 取這兩條主直徑為新坐標(biāo)軸,由( 5.6-5)得坐標(biāo) 變換公式為 11 22 31 : : ( 1 ) 1 : 1 , 22 35 : : ( 1 ) 1 : 1 ; 22 XY XY 33( 5 ) ( 5 ) 0 22x y x y 33( 5 ) ( 5 ) 0 , 22x y x y 0 4 0 .x y x y 與 解出 與 代入已知曲線方程,經(jīng)過(guò)整理得曲線在新坐標(biāo)系 下得方程為 所以曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為 這是一條雙曲線。 , 2 4 , 2 xy x xy y 22 2, 22 22 2, 22 x x y y x y x y 2215 1 0 , 22xy 22 1, 22 5 xy 例 5 化簡(jiǎn)二次曲線方程 并作出它的圖形。 解 已知二次曲線的矩陣是 曲線為非中心曲線,它的特征方程為 特征根為 曲線的非漸近主方向?yàn)閷?duì)應(yīng)于 的這方向 222 2 0 x x y y x y 1 1 1 1 1 1 , 2 1 10 2 12 11 1 1 2 , 0 , 11 II 2 2 0 , 122 , 0 , 1 2 : 1 : 1 ,XY 為新坐標(biāo)系的 軸,而過(guò)曲線的頂點(diǎn) 043 yx 所以曲線的主直徑為 即 求出主直徑于曲線的交點(diǎn),即曲線的頂點(diǎn)為 所以過(guò)曲線頂點(diǎn)且以非漸近主方向?yàn)榉较虻闹本€為 即 這也是過(guò)頂點(diǎn)垂直于主直徑的直線,取主直徑 1( 1 ) ( ) 0 , 2x y x y 3 0. 4xy 3 15( , ) 16 16 3 1 5 1 6 1 6 11 xy 9 0, 8xy x 且垂直于主直徑的直線 為 軸,作 坐標(biāo)變換,它的變換公式為 解出 與 代入已知方程,經(jīng)過(guò)整理得 9 0 8xy y9 8 , 2 3 4 , 2 xy x xy y 2 2 3 , 2 2 16 2 2 15 , 2 2 16 x x y y x y x y 2 22 0 , 2yx 化為標(biāo)準(zhǔn)方程 這是一條拋物線。 2 2 , 4yx 例 6 化簡(jiǎn) 。 解 已知曲線的矩陣為 它的第一,第二兩行成比例,曲線為線心曲線,它有唯 一的直徑即中心線,也是曲線的主直徑,其方程是 取它為新坐標(biāo)系的 軸, 為新坐標(biāo)系的 軸作坐標(biāo)變換,這時(shí)的變換公式為 再取任意垂直于這中心線的 直線,比如 222 2 2 3 0 x x y y x y 1 1 1 1 1 1 , 1 1 3 1 0 ,xy x 0,xy y 解出 與 代入已知方程,經(jīng)過(guò)整理得 即 或 ,這是兩條平行直線(圖 5-7)。 對(duì)于線心曲線,我們可以直接從原方程分解 (圖 5-7) o y x , 2 1 , 2 xy x xy y 2 2 1 , 2 2 2 2 2 1 , 2 2 2 x x y y x y x y 22 4 0 ,y 2 2y 2y

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