列主元高斯消去法和列主元三角分解法解線性方程

計(jì)算方法實(shí)驗(yàn)報(bào)告1 【課題名稱(chēng)】用列主元高斯消去法和列主元三角分解法解線性方程【目的和意義】高斯消去法是一個(gè)古老的求解線性方程組的方法，但由它改進(jìn)得到的選主元的高斯消去法則是目前計(jì)算機(jī)上常用的解低階稠密矩陣方程組的有效方法。用高斯消去法解線性方程組的基本思想時(shí)用矩陣行的初等變換將系數(shù)矩陣A約化為具有簡(jiǎn)單形式的矩陣（上三角矩陣、單位矩陣等），而三角形方程組則可以直接回帶求解用高斯消去法解線性方程組（其中ARnn）的計(jì)算量為：乘除法運(yùn)算步驟為，加減運(yùn)算步驟為。相比之下，傳統(tǒng)的克萊姆法則則較為繁瑣，如求解20階線性方程組，克萊姆法則大約要次乘法，而用高斯消去法只需要3060次乘除法。在高斯消去法運(yùn)算的過(guò)程中，如果出現(xiàn)abs(A(i,i)等于零或過(guò)小的情況，則會(huì)導(dǎo)致矩陣元素?cái)?shù)量級(jí)嚴(yán)重增長(zhǎng)和舍入誤差的擴(kuò)散，使得最后的計(jì)算結(jié)果不可靠，所以目前計(jì)算機(jī)上常用的解低階稠密矩陣方程的快速有效的方法時(shí)列主元高斯消去法，從而使計(jì)算結(jié)果更加精確。2、列主元三角分解法高斯消去法的消去過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是將A分解為兩個(gè)三角矩陣的乘積A=LU，并求解Ly=b的過(guò)程?；貛н^(guò)程就是求解上三角方程組Ux=y。所以在實(shí)際的運(yùn)算中，矩陣L和U可以直接計(jì)算出，而不需要任何中間步驟，從而在計(jì)算過(guò)程中將高斯消去法的步驟進(jìn)行了進(jìn)一步的簡(jiǎn)略，大大提高了運(yùn)算速度，這就是三角分解法采用選主元的方式與列主元高斯消去法一樣，也是為了避免除數(shù)過(guò)小，從而保證了計(jì)算的精確度【計(jì)算公式】1、 列主元高斯消去法設(shè)有線性方程組Ax=b，其中設(shè)A為非奇異矩陣。方程組的增廣矩陣為 第1步（k=1）：首先在A的第一列中選取絕對(duì)值最大的元素，作為第一步的主元素: 然后交換（A，b）的第1行與第l行元素，再進(jìn)行消元計(jì)算。 設(shè)列主元素消去法已經(jīng)完成第1步到第k-1步的按列選主元，交換兩行，消元計(jì)算得到與原方程組等價(jià)的方程組 A(k)x=b(k) 第k步計(jì)算如下： 對(duì)于k=1，2，n-1 （1）按列選主元：即確定t使 （2）如果tk，則交換A，b第t行與第k行元素。 （3）消元計(jì)算 消元乘數(shù)mik滿足: （4）回代求解2、 列主元三角分解法對(duì)方程組的增廣矩陣 經(jīng)過(guò)k-1步分解后，可變成如下形式：第k步分解，為了避免用絕對(duì)值很小的數(shù)作除數(shù)，引進(jìn)量，于是有=。如果 ，則將矩陣的第t行與第k行元素互換，將（i，j）位置的新元素仍記為或，然后再做第k步分解，這時(shí)【列主元高斯消去法程序流程圖】【列主元高斯消去法Matlab主程序】function x=gauss1(A,b,c) %列主元法高斯消去法解線性方程Ax=bif (length(A)=length(b) %判斷輸入的方程組是否有誤 disp(輸入方程有誤！) return;enddisp(原方程為AX=b：) %顯示方程組Abdisp(-)n=length(A);for k=1:n-1 %找列主元 p,q=max(abs(A(k:n,k); %找出第k列中的最大值，其下標(biāo)為p,q q=q+k-1; %q在A(k:n,k)中的行號(hào)轉(zhuǎn)換為在A中的行號(hào) if abs(p)<c disp(列元素太小，det(A)0); break; elseif q>ktemp1=A(k,:); %列主元所在行不是當(dāng)前行，將當(dāng)前行與列主A(k,:)=A(q,:); 元所在行交換(包括b) A(q,:)=temp1; temp2=b(k,:); b(k,:)=b(q,:); b(q,:)=temp2;end %消元 for i=k+1:n m(i,k)=A(i,k)/A(k,k); %A(k,k)將A(i,k)消為0所乘系數(shù) A(i,k:n)=A(i,k:n)-m(i,k)*A(k,k:n); %第i行消元處理 b(i)=b(i)-m(i,k)*b(k); %b消元處理 endenddisp(消元后所得到的上三角陣是) A %顯示消元后的系數(shù)矩陣b(n)=b(n)/A(n,n); %回代求解for i=n-1:-1:1 b(i)=(b(i)-sum(A(i,i+1:n)*b(i+1:n)/A(i,i);endclear x;disp(AX=b的解x是)x=b;【調(diào)用函數(shù)解題】【列主元三角分解法程序流程圖】【列主元三角分解法Matlab主程序】自己編的程序：function x=PLU(A,b,eps) %定義函數(shù)列主元三角分解法函數(shù)if (length(A)=length(b) %判斷輸入的方程組是否有誤 disp(輸入方程有誤！) return;enddisp(原方程為AX=b：) %顯示方程組Abdisp(-)n=length(A);A=A b; %將A與b合并，得到增廣矩陣for r=1:n if r=1 for i=1:n c d=max(abs(A(:,1); %選取最大列向量，并做行交換 if c<=eps %最大值小于e，主元太小，程序結(jié)束 break; else end d=d+1-1; p=A(1,:); A(1,:)=A(d,:); A(d,:)=p; A(1,i)=A(1,i); end A(1,2:n)=A(1,2:n); A(2:n,1)=A(2:n,1)/A(1,1); %求u(1,i) else u(r,r)=A(r,r)-A(r,1:r-1)*A(1:r-1,r); %按照方程求取u(r,i) if abs(u(r,r)<=eps %如果u（r,r）小于e，則交換行 p=A(r,:); A(r,:)=A(r+1,:); A(r+1,:)=p; else end for i=r:n A(r,i)=A(r,i)-A(r,1:r-1)*A(1:r-1,i); %根據(jù)公式求解，并把結(jié)果存在矩陣A中 end for i=r+1:nA(i,r)=(A(i,r)-A(i,1:r-1)*A(1:r-1,r)/A(r,r); %根據(jù)公式求解，并把結(jié)果存在矩陣A中 end endend y(1)=A(1,n+1); for i=2:n h=0; for k=1:i-1 h=h+A(i,k)*y(k); end y(i)=A(i,n+1)-h; %根據(jù)公式求解y(i) end x(n)=y(n)/A(n,n); for i=n-1:-1:1 h=0; for k=i+1:n h=h+A(i,k)*x(k); end x(i)=(y(i)-h)/A(i,i); %根據(jù)公式求解x(i) end Adisp(AX=b的解x是)x=x; %輸出方程的解可直接得到P,L,U并解出方程解的的程序（查閱資料得子函數(shù)PLU1，其作用是將矩陣A分解成L乘以U的形式。PLU2為調(diào)用PLU1解題的程序，是自己編的）().function l,u,p=PLU1(A) %定義子函數(shù)，其功能為列主元三角分解系數(shù)矩陣A m,n=size(A); %判斷系數(shù)矩陣是否為方陣 if m=n error(矩陣不是方陣) return end if det(A)=0 %判斷系數(shù)矩陣能否被三角分解 error(矩陣不能被三角分解) end u=A;p=eye(m);l=eye(m); %將系數(shù)矩陣三角分解，分別求出P,L,U for i=1:m for j=i:m t(j)=u(j,i); for k=1:i-1 t(j)=t(j)-u(j,k)*u(k,i); end end a=i;b=abs(t(i); for j=i+1:m if b<abs(t(j) b=abs(t(j); a=j; end end if a=i for j=1:m c=u(i,j); u(i,j)=u(a,j); u(a,j)=c; end for j=1:m c=p(i,j); p(i,j)=p(a,j); p(a,j)=c; end c=t(a); t(a)=t(i); t(i)=c; end u(i,i)=t(i); for j=i+1:m u(j,i)=t(j)/t(i); end for j=i+1:m for k=1:i-1 u(i,j)=u(i,j)-u(i,k)*u(k,j); end end end l=tril(u,-1)+eye(m); u=triu(u,0)().function x=PLU2(A,b) %定義列主元三角分解法的函數(shù)l,u,p=PLU1(A) %調(diào)用PLU分解系數(shù)矩陣A m=length(A); %由于A左乘p，故b也要左乘pv=b;for q=1:m b(q)=sum(p(q,1:m)*v(1:m,1);end b(1)=b(1) %求解方程Ly=b for i=2:1:m b(i)=(b(i)-sum(l(i,1:i-1)*b(1:i-1);endb(m)=b(m)/u(m,m); %求解方程Ux=yfor i=m-1:-1:1 b(i)=(b(i)-sum(u(i,i+1:m)*b(i+1:m)/u(i,i);endclear x;disp(AX=b的解x是)x=b;【調(diào)用函數(shù)解題】【編程疑難】這是第一次用matlab編程，對(duì)matlab的語(yǔ)句還不是非常熟悉，因此在編程過(guò)程中，出現(xiàn)了許多錯(cuò)誤提示。并且此次編程的兩種方法對(duì)矩陣的運(yùn)算也比較復(fù)雜。問(wèn)題主要集中在循環(huán)控制中，循環(huán)次數(shù)多了一次或者缺少了一次，導(dǎo)致數(shù)據(jù)錯(cuò)誤，一些基本的編程語(yǔ)句在語(yǔ)法上也會(huì)由于生疏而產(chǎn)生許多問(wèn)題，但是語(yǔ)句的錯(cuò)誤由于系統(tǒng)會(huì)提示，比較容易進(jìn)行修改，數(shù)據(jù)計(jì)算過(guò)程中的一些邏輯錯(cuò)誤，比如循環(huán)變量的控制，這些系統(tǒng)不會(huì)提示錯(cuò)誤，需要我們細(xì)心去發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，不斷修正，調(diào)試。