函數(shù)的概念與表示法

函數(shù)的概念和函數(shù)的表示法考點一：由函數(shù)的概念判斷是否構(gòu)成函數(shù)函數(shù)概念：設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)。例1. 下列從集合A到集合B的對應關系中，能確定y是x的函數(shù)的是（ ） A=x xZ，B=y yZ，對應法則f：xy=; A=x x>0,xR, B=y yR，對應法則f：x=3x; A=R,B=R, 對應法則f：xy=;變式1. 下列圖像中，是函數(shù)圖像的是（ ）yyyy OOOOXXXX 變式2. 下列式子能確定y是x的函數(shù)的有（ ） =2 y= A、0個 B、1個 C、2個 D、3個變式3. 已知函數(shù)y=f（x），則對于直線x=a（a為常數(shù)），以下說法正確的是（ ）A. y=f（x）圖像與直線x=a必有一個交點 B.y=f（x）圖像與直線x=a沒有交點C.y=f（x）圖像與直線x=a最少有一個交點 D.y=f（x）圖像與直線x=a最多有一個交點變式4.對于函數(shù)yf(x)，以下說法正確的有()y是x的函數(shù)對于不同的x，y的值也不同f(a)表示當xa時函數(shù)f(x)的值，是一個常量f(x)一定可以用一個具體的式子表示出來A1個 B2個 C3個 D4個變式5設集合Mx|0x2，Ny|0y2，那么下面的4個圖形中，能表示集合M到集合N的函數(shù)關系的有()A B C D考點二：同一函數(shù)的判定函數(shù)的三要素：定義域、對應關系、值域。如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關系完全一致，我們就稱這兩個函數(shù)相等。例2. 下列哪個函數(shù)與y=x相同（ ）. y= . . .y=t .；.變式1.下列函數(shù)中哪個與函數(shù)相同（ ） A. B. C. D. 變式2. 下列各組函數(shù)表示相等函數(shù)的是（ ） A. 與 B. 與 C. （x0） 與 （x0） D. ，xZ 與，xZ變式3. 下列各組中的兩個函數(shù)是否為相同的函數(shù)？（1） （2） （3） 考點三：求函數(shù)的定義域（1）當f（x）是整式時，定義域為R；（2）當f（x）是分式時，定義域是使分母不為0的x取值集合；（3）當f（x）是偶次根式時，定義域是使被開方式取非負值的x取值集合；（4）當f（x）是零指數(shù)冪或負數(shù)指數(shù)冪時，定義域是使冪的底數(shù)不為0的x取值集合；（5）當f（x）是對數(shù)式時，定義域是使真數(shù)大于0且底數(shù)為不等于1的正數(shù)的x取值集合；已學函數(shù)的定義域和值域1一次函數(shù):定義域R, 值域R;2反比例函:定義域, 值域;3二次函數(shù):定義域R值域：當時，；當時，例3. 函數(shù)的定義域是（ ）A. B. ( -1 , 1 ) C. -1 , 1 D. (- ,-1 )( 1 ,+ )函數(shù)y的定義域是(用區(qū)間表示)_變式1. 求下列函數(shù)的定義域(1)； (2)； (3).(4) (5)yx； (6)y； (7)y(x1)0.求復合函數(shù)的定義域例5. 已知函數(shù)f（）定義域為, 求f（x）的定義域 變式1. 已知函數(shù)f（）的定義域為 0，3 ，求f（x）的定義域變式2. 已經(jīng)函數(shù)f（x）定義域為 0 , 4, 求f的定義域考點四：求函數(shù)的值域例6求下列函數(shù)的值域 ， x1，2 ,3，4，5 ( 觀察法 ) ，x ( 配方法 ：形如 ) ( 換元法：形如 ) ( 分離常數(shù)法：形如 ) ( 判別式法：形如 )變式1. 求下列函數(shù)的值域 y = 考點五：求函數(shù)的解析式例7 . 已知f（x）= ，求f（）的解析式 （ 代入法 / 拼湊法/換元法 ）變式1. 已知f（x）= ， 求f（）的解析式變式2. 已知f（x+1）= ，求f（x）的解析式變式3. 已知，試求的解析式.例8. 若f f（x） = 4x+3，求一次函數(shù)f（x）的解析式 （ 待定系數(shù)法 ）變式1. 已知f（x）是二次函數(shù)，且，求f（x）.變式2.一次函數(shù)滿足，求該函數(shù)的解析式.變式3已知多項式，且.試求、的值.變式4已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)=2，f(x+1)f(x)=x1，求f(x)的解析式.變式5已知二次函數(shù)f（x）x2bxc滿足f（1x）f（1x）， 且f（0）3，求f（x）的解析式.變式6.已知函數(shù)f（x）是一次函數(shù)，且滿足3f（x1）2f（x1）2x17，求f（x）.例9. 已知f（x）2 f（x）= x ，求函數(shù)f（x）的解析式 （ 消去法/ 方程組法 ）變式1. 已知2 f（x） f（x）= x+1 ，求函數(shù)f（x）的解析式 變式2. 已知2 f（x）f = 3x ，求函數(shù)f（x）的解析式例10. 設對任意數(shù)x，y均有，求f（x）的解析式. （ 賦值法 / 特殊值法）變式1. 已知對一切x，yR，都成立，且f（0）=1，求f（x）的解析式.考點六：函數(shù)的求值例11. 已經(jīng)函數(shù)f（x）= ，求f（2）和f（a）+f (a)的值變式1. 已知f（2x）= ，求f（2）的值例12. 已知函數(shù)，求f（1）+f（）的值 變式1. 已知函數(shù) ，求f f（）的值變式2. 已知函數(shù)，求f（5）的值例13 . 設函數(shù)，求滿足f（x）=的x值變式1. 已知函數(shù)，若f（x）=2，求x的值考點七：映射 例1判斷下列對應是否是映射？ 變式1.下列各組映射是否是同一映射？變式2.判斷下列兩個對應是否是集合A到集合B的映射？ （1）設A=1，2，3，4，B=3，4，5，6，7，8，9，對應法則（2）設，對應法則（3）， （4）設（5），考點八：函數(shù)的表示方法：（1）解析法；（2）列表法；（3）圖象法 例1某種筆記本每個5元，買 x1,2,3,4個筆記本的錢數(shù)記為y（元），試寫出以x為自變量的函數(shù)y的解析式，并畫出這個函數(shù)的圖像.例2 國內(nèi)投寄信函（外埠），每封信函不超過20g付郵資80分，超過20g而不超過40g付郵資160分，依次類推，每封x g(0x100)的信函應付郵資為（單位：分），試寫出以x為自變量的函數(shù)y的解析式，并畫出這個函數(shù)的圖像.例3 畫出函數(shù)y=|x|=的圖象.例4求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域.； ； 函數(shù)的單調(diào)性與最值增函數(shù)與減函數(shù) 單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間 例1 如圖，是定義在閉區(qū)間-5，5上的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象說出的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù). 例2 證明函數(shù)在R上是增函數(shù).例3 證明函數(shù)在(0,+)上是減函數(shù).練習1函數(shù)y=x2+x+2單調(diào)減區(qū)間是( ) A、 B、（-1，+） C、 D、（-，+）2下面說法正確的選項（）A函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以是函數(shù)的定義域B函數(shù)的多個單調(diào)增區(qū)間的并集也是其單調(diào)增區(qū)間C具有奇偶性的函數(shù)的定義域定關于原點對稱D關于原點對稱的圖象一定是奇函數(shù)的圖象3函數(shù)f(x)=2x2mx+3,當x時,增函數(shù),當x時,是減函數(shù), 則f（1）等于（） A3 B13 C7 D由m而定的其它常數(shù)4.如果函數(shù)f(x)x22(a1)x2在區(qū)間上是減函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是（）Aa3Ba3 Ca5Da35. 函數(shù)在實數(shù)集上是增函數(shù)，則（ ）A B CD. 已知函數(shù) 求:(1) 當時， 函數(shù)的最值;(2) 當時， 函數(shù)的最值函數(shù)的奇偶性觀察下列函數(shù)的圖象，總結(jié)各函數(shù)之間的共性. 偶函數(shù)： 奇函數(shù)： 例1判斷下列函數(shù)的奇偶性（1）（2）（3）例2判斷下列函數(shù)的奇偶性（1） （2） （3） （4）例3已知是奇函數(shù)，在（0，+）上是增函數(shù)證明：在（，0）上也是增函數(shù)練習1判斷下列函數(shù)的奇偶性，并說明理由2設0時，試問：當0時，的表達式是什么？學案（6）反函數(shù)（一）（選講）復習觀圖回答：ABabABba 的意義是什么？新課1試求函數(shù)的值域.(提示：利用分離常數(shù)法與反解法，在這里我們突出利用反解法)2反函數(shù)的定義： 試利用定義填寫下表：函數(shù)反函數(shù)定義域A值 域B3.試討論原函數(shù)與其反函數(shù)的圖象關系：4試求(1)y=2x+1 (2)y=2x+1的反函數(shù),并對比有何不同.5求解反函數(shù)的步驟:例 求下列函數(shù)的反函數(shù)(1) (2)(3) (4)練習1.已知函數(shù)，那么它的反函數(shù)為( )A、 B、C、 D、2.函數(shù)的反函數(shù)是( )A、 B、C、 D、3.已知點(a,b)在y=f(x)的圖像上，則下列各點中位于其反函數(shù)圖像上的點是（ ）A、 B、 C、 D、4.若函數(shù)，則的值為（ ） A、 B、 C、15 D、5.函數(shù)的反函數(shù)為，求,b,c的值6.已知，求f(x)學案（7）反函數(shù)（二）（選講）目標：1了解互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關系的定理及其證明；2會利用互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關系解決有關問題.復習：1反函數(shù)的定義：2互為反函數(shù)的兩個函數(shù)與間的關系：函數(shù)反函數(shù)定義域AB值 域BA3反函數(shù)的求法：一反解、二互換、三標明；4. 原函數(shù)與其反函數(shù)的圖象關于y=x 對稱.新課：例1求函數(shù)的反函數(shù),并利用對稱關系作出其反函數(shù)的圖象.例2求函數(shù)的值域.例3 已知= (x-1)，求 .例4若點A(1,2)既在函數(shù)=的圖象上，又在的反函數(shù)的圖象上，求,b的值.例5若，試求反函數(shù).練習：1求下列函數(shù)的反函數(shù)：（1）；（2）y=-6x+12(x3);（3）y=(x-2).2. 已知函數(shù)y=x+2的反函數(shù)是y=3x+b，求,b的值.3.函數(shù)f(x)是否有反函數(shù)？ ；當時，反函數(shù)為 ，定義域為 ；當時，反函數(shù)為 ，定義域為 。4.設f(x)的反函數(shù)為，則 ，f(3)= 5.若點(1,2)既在函數(shù)的圖象上，又在函數(shù)f(x)的反函數(shù)的圖象上，則= ,b= 6. f(x)在上為遞增函數(shù)，則與的大小關系是 解答題7.函數(shù)y=f(x)的圖象是過點(2,1)的直線，其反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(-2,-1)，求函數(shù)f(x)學案（8）函數(shù)圖象變換目標根據(jù)函數(shù)解析式作出它們的圖象，并且能根據(jù)圖象分析函數(shù)的性質(zhì)；同時了解圖象的簡單變換（平移變換和對稱變換）.新課1.根據(jù)所給定義域，畫出函數(shù)的圖象,并確定其最值. （1） （2） （ 3 ）且xZ2.函數(shù)-2和的圖象分別是由函數(shù)的圖象經(jīng)過如何變化得到的.練習1已知二次函數(shù)yx24x1，不求值比較f（3）和f（5）的大小關系2方程x22x40的兩根均大于1，求實數(shù)的取值范圍3已知二次函數(shù)f(x)x2x(0)，若f(m)0，則f(m1)的值是（） （A）正數(shù) （B）負數(shù)（C）零（D）符號與有關4不等式（2）x22（2）x40對xR恒成立，則的取值范圍是_5已知二次函數(shù)yx2（36）x2是偶函數(shù)，則的取值范圍是_6二次函數(shù)yx2bxc滿足f（4）f（1），那么（）（A）f（2）f（3） （B）f（2）f（3）（C）f（2）f（3） （D）f（2）與f（3）的大小關系不能確定7已知二次函數(shù)y2x24（3）x5在區(qū)間（，3）上是減函數(shù)，則的取值范圍是_8若二次函數(shù)yx23x4的定義域為0，m，值域為，4，則m的取值范圍是（） （A）0，4（B），4（C），3（D），9設二次函數(shù)yx2bxc，對任意的實數(shù)t都有f（2t）f（2t）成立，在函數(shù)值f（2）、f（1）、f（1）、f（5）中，最小的一個不可能是（）（A）f（2） （B）f（1）（C）f（1）（D）f（5）10已知函數(shù)yxb和yx2bxc，那么它們的圖象是（）（A） （B） （C） （D）函數(shù)的應用例1如圖，一動點P自邊長為1的正方形ABCD的頂點出發(fā)，沿正方形的邊界運動一周，再回到A點.若點P運動的路程為x，點P到頂點A的距離為y.求A、P 兩點間的距離y與點P的路程式 x之間的函數(shù)關系式.PBADPCPABCNMDQP例2在底邊BC=60,高AD=40的ABC中作內(nèi)接矩形MNPQ。設矩形的面積為S，MN=x ，寫出S與此同時x之間的函數(shù)關系式，并求其定義域和值域。例3 某房地產(chǎn)公司要在荒地ABCD（如圖）上劃出一塊長方形的地面修建一座公寓樓。問如何設計才能使公寓樓地面的面積最大，并求出最大的面積。G100m60mBANEDC70m80mM練習1有一塊梯形木板，上、下底長分別為2m、3m，高為2.5m，應當如何安排與底邊平行的鋸線,才能使鋸下的矩形木條的面積最大？這個最大面積是多少？2.已知等腰梯形的周長是60cm，腰與下底的夾角為60，一腰長為x，寫出梯形面積y與x的函數(shù)關系，并求當x取何值時，梯形面積最大，最大值為多少？3某旅行社組織到北京參觀，共需6天，每人往返機票、食宿、門票等費用共需3200元，如果把每人的收費標準定為4600元，只有20人參加旅游團.高于4600元，沒有人參加。如果每人收費標準從4600元每降低100元，參加旅游團人數(shù)就增加10人。試問：每人收費標準定為多少時，該旅行社所獲利潤最大？此時參加旅游團的人數(shù)是多少？