二次曲線的主直徑和主方向

解析幾何 http:/ 5.5 二次曲線的主直徑和主方向 解析幾何 http:/ 定義 5.5.1 二次曲線的垂直與其共軛弦的直徑 叫做二次曲線的主直徑，主直徑的方向與垂直于 主直徑的方向都叫做二次曲線的主方向 . X： Y成為中心曲線主方向的條件是 即： 2 1 1 2 0 ( 2)II 1 1 1 2 1 2 2 2 ( * )a X a Y Xa X a Y Y 其中 滿足方程 1 1 1 2 1 2 2 2 0 ( 1 )aaaa 解析幾何 http:/ 定理 5.5.1 二次曲線的特征根都是實(shí)數(shù) . 證 因?yàn)樘卣鞣匠痰呐袆e式 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 22 1 1 2 2 1 2 4 ( ) 4 ( ) ( ) 4 0 I I a a a a a a a a 所以二次曲線的特征根都是實(shí)數(shù) 定義 5.5.2 方程 (1)或 (2)叫做二次曲線 的 特征方程，特征方程的根叫做二次曲線的特征根 ( , ) 0F x y 解析幾何 http:/ 定理 5.5.2 二次曲線的特征根不能全為零 。 證明：如果二次曲線的特征根全部為零， 由（ 2）得： 即 從而得 與二次曲線的定義矛盾，所以二次曲線的特 征根不能全為零。 12 0II 21 1 2 2 1 1 2 2 1 20 , 0a a a a a 1 1 2 2 1 2 0a a a 解析幾何 http:/ 定理 5.5.3 由二次曲線（ 1）的特征根 確定的主方 向 X Y，當(dāng) 0時(shí)，為二次曲線的非漸近主方向； 當(dāng) 0時(shí)，為二次曲線的漸近主方向 證明： 所以由（ *）得 22 11 12 22 11 12 12 22 ( , 2 ( ) ( ) X Y a X a X Y a Y a X a Y X a X a Y Y 2 2 2 2( , ) ( )X Y X Y X Y 解析幾何 http:/ ( , ) 0XY因 X、 Y不全為零，故當(dāng) 0時(shí)， X Y為二次曲線（ 1）的非漸近主方向； X Y為二次曲線 的漸近主方向 當(dāng) 0時(shí)， ( , ) 0F x y ( , ) 0XY 解析幾何 http:/ 定理 5.5.4 中心二次曲線至少有兩條主直徑，非 中心二次曲線只有一條主直徑 . 證 明 由二次曲線（ 1 ）的特征方程（ 5.6 2 ）解得兩特征根為 2 1 1 2 1 , 2 4 2 I I I 1 當(dāng)二次曲線（ 1 ）為中心曲線時(shí)， I 2 0 如果特征方程的判別式 2 2 2 1 2 11 22 124 ( ) 4I I a a a 0 ，那么 11a 22a ， 12a 0 ，這時(shí)的 中心曲線為圓（包括點(diǎn)圓和虛圓），它的特征根為一對(duì)二重根 a 11 a 22 ( 0) 解析幾何 http:/ 把它代入（ 5.6 1 ）或（ 5. 6 1 ），則得到兩個(gè)恒等式， 它被任何方向 X Y 所滿足，所以任何實(shí)方向都是圓的 非漸近主方向，從而通過圓心的任何直線不僅都是直徑， 而且都是圓的主直徑，于是圓有無數(shù)多條對(duì)稱軸如果 特征方程的判別式 22 11 22 12( ) 4a a a 0 ，那么特征 根 為兩不等的非零實(shí)根 1 ， 2 ，將它們分別代入（ 5. 6 1 ）， 得到相應(yīng)的兩個(gè) 非漸近主方向 X 1 : Y 1 a 12 : ( 1 a 11 ) ( 1 a 22 ) : a 12 ( 2) X 2 : Y 2 a 12 : ( 2 a 11 ) ( 2 a 22 ) : a 12 ( 3) 這兩個(gè)主方向是共軛的，現(xiàn)證明它們也是垂直的 解析幾何 http:/ 由（ 2 ）和（ 3 ），存在非零實(shí)數(shù) t 使 X 1 ， Y 1 X 2 ， Y 2 a 12 t ， ( 1 a 11 ) t a 12 t ， ( 2 a 11 ) t 2 2 2 12 1 11 2 11( ) ( )a t a a t 2 2 2 12 1 2 1 2 11 11 ( ) a a a t 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1a I I a a t 2 2 2 2 12 11 22 12 11 22 11 11 ( ) a a a a a a a a t 0 所以這兩個(gè)主方向也相互垂直，因此非圓的中心二次 曲線有且只有一對(duì)互相垂直又互相共軛的主直徑 解析幾何 http:/ 2 當(dāng)二次曲線（ 1 ）為非中心曲線時(shí)， I 2 0 ，兩特征根為 1 11a 22a ， 2 0 所以它只有一個(gè)非漸近的主方向，即與 1 11a 22a 對(duì)應(yīng)的 主方向，從而非中心二次曲線只有一條主直徑 例 1 求 的主直徑與主方向 . 22( , ) 1 0F x y x x y y 例 2 求 的主直徑與主方向 . 22( , ) 2 4 0F x y x x y y x