（江蘇專用）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)強(qiáng)化練（七）平面向量

專項(xiàng)強(qiáng)化練(七)平面向量A組題型分類練題型一平面向量的線性運(yùn)算1已知平面上不共線的四點(diǎn)O，A，B，C，若23，則的值為_解析：由23，得22，即2，所以.答案：2在ABCD中，a，b，3，M為BC的中點(diǎn)，則_(用a，b表示)解析：由3得(ab)，ab，所以(ab)ab.答案：ab3已知RtABC的面積為2，C90，點(diǎn)P是RtABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則的最大值是_解析：由條件可知|4，0，因?yàn)椋?79|4|9712273，當(dāng)且僅當(dāng)9|4|，即|，|3時(shí)等號(hào)成立答案：73臨門一腳1對(duì)相等向量、零向量、單位向量等概念的理解要到位2用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧：(1)觀察各向量的位置；(2)尋找相應(yīng)的三角形或平行四邊形；(3)運(yùn)用法則找關(guān)系；(4)化簡結(jié)果3線性運(yùn)算由于基底運(yùn)用難度較大，能建立坐標(biāo)系的時(shí)候，建系優(yōu)先4利用兩向量共線證明三點(diǎn)共線要強(qiáng)調(diào)有一個(gè)公共點(diǎn)5已知 (，為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是1.題型二平面向量的坐標(biāo)表示1(2019錫山中學(xué)模擬)已知向量a，b滿足a2b(3,4)，2ab(4，2)，則a2b2_.解析：得a(1,0)，b(2,2)所以a2b2|a|2|b|21(2)2229.答案：92已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，則實(shí)數(shù)x的值是_解析：因?yàn)閡(12x,4)，v(2x,3)，uv，所以84x36x，所以x.答案：3已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c滿足(ca)b，c(ab)，則c_.解析：不妨設(shè)c(m，n)，則ac(1m,2n)，ab(3，1)，對(duì)于(ca)b，有3(1m)2(2n)對(duì)于c(ab)，有3mn0.聯(lián)立，解得m，n.故c.答案：臨門一腳1解決向量的坐標(biāo)運(yùn)算問題，關(guān)鍵是掌握線性運(yùn)算法則及坐標(biāo)運(yùn)算的特點(diǎn)一般地，已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)解題時(shí)注意利用向量相等(橫、縱坐標(biāo)分別相等)建立方程(組)求解2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，應(yīng)表示為x1y2x2y10.題型三平面向量的數(shù)量積1已知向量a(3，2)，b(1,0)，向量ab與a2b垂直，則實(shí)數(shù)的值為_解析：依題意，ab(31，2)，a2b(1，2)，所以(ab)(a2b)710，.答案：2已知向量與的夾角為120，且|2，|3.若，且，則實(shí)數(shù)的值為_解析：由題意得，3，由()()0，得220，即34930，故.答案：3(2019丹陽中學(xué)月考)在直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)A(a,1)，B(3，b)，C(4,5)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若向量與在向量方向上的投影相等，且10，則ab_.解析：因?yàn)橄蛄颗c在向量方向上的投影相等，所以，3ab125b，即3a4b120，又(3a，b1)，(4,5)，所以4a5b710，即4a5b170，得ab5.答案：54(2018武漢調(diào)研)在矩形ABCD中，AB2，AD1.邊DC上的動(dòng)點(diǎn)P(包含點(diǎn)D，C)與CB延長線上的動(dòng)點(diǎn)Q(包含點(diǎn)B)滿足|，則的最小值為_解析：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD所在直線為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x，1)，Q(2，y)，由題意知0x2，2y0.|，|x|y|，xy.(x，1)，(2x，y1)，x(2x)(y1)x22xy1x2x12，當(dāng)x時(shí)，取得最小值，為.答案：5在ABC中，ABAC，AB，ACt，P是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則PBC面積的最小值為_解析：由于ABAC，故以AB，AC所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則B，C(0，t)，因?yàn)?，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為(4,1)，直線BC的方程為t2xyt0，所以點(diǎn)P到直線BC的距離為d，BC，所以PBC的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)t時(shí)取等號(hào)答案：臨門一腳1若向量a，b，c滿足abac(a0)，則不一定有bc.2兩個(gè)向量a與b的夾角為銳角(鈍角)，則有ab>0(ab<0)，反之不成立(因?yàn)閵A角為0()時(shí)不成立)3在數(shù)量積的基本運(yùn)算中，經(jīng)常用到數(shù)量積的定義、模、夾角等公式，尤其對(duì)|a|要引起足夠重視，是求模常用的公式4數(shù)量積的運(yùn)算中，ab0ab，是對(duì)非零向量而言的，若a0，雖然有ab0，但不能說ab.5平面向量的求解常見方法有定義法、坐標(biāo)法、轉(zhuǎn)化法、極化恒等式法、投影法B組高考提速練1(2019鹽城中學(xué)模擬)已知向量a(1,2)，b(3，m)，若a(2ab)，則a在b方向上的投影是_解析：2ab(2,4)(3，m)(5,4m)，因?yàn)閍(2ab)，所以1(4m)250，所以m6，所以b(3，6)，所以a在b方向上的投影是.答案：2.如圖，已知a，b，3，用a，b表示，則_.解析：因?yàn)閍b，又3，所以(ab)，所以b(ab)ab.答案：ab3(2019白蒲中學(xué)模擬)在平行四邊形ABCD中，若xy，則xy_.解析：在平行四邊形ABCD中，所以，所以x1，y1，則xy2.答案：24已知|a|3，|b|4，且a與b不共線，若向量akb與akb垂直，則k_.解析：因?yàn)?akb)(akb)，所以(akb)(akb)0，即|a|2k2|b|20.又因?yàn)閨a|3，|b|4，所以k2，即k.答案：5(2019啟東中學(xué)模擬)已知|6，|2，AOB30，若tR，則|t|的最小值為_ .解析：|t|t()|(1t)t|，則|t|2(1t)22t222(1t)t36(1t)212t22t(1t)6212(t23t3)，當(dāng)t時(shí)，|t|取得最小值3.答案：36.如圖，在ABC中，ABAC3，cosBAC，2，則的值為_解析：由2，得(2)又，ABAC3，cosBAC，所以 (2)()(93)2.答案：27(2019揚(yáng)州中學(xué)模擬)已知在等腰直角三角形ABC中，BABC2，若2，則_.解析： 如圖，()222|cos 1354222.答案：28將向量(1,1)繞原點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60得到，則_.解析：法一：(1,1)，設(shè)(x，y)，則|，|cos 601，又由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可知xy1，|，化簡得x2y22，因?yàn)辄c(diǎn)B在第二象限，故x<0，所以解得故.法二：因?yàn)閨，直線OB的傾斜角為6045105，故點(diǎn)B的橫坐標(biāo)xB|cos(6045)，縱坐標(biāo)yB|sin(6045)，故.答案：9若向量a(cos 15，sin 15)，b(cos 75，sin 75)，則ab與a的夾角為_解析：ab(cos 15cos 75，sin 15sin 75)(cos 15sin 15，sin 15cos 15)，則(ab)acos 15(cos 15sin 15)sin 15(cos 15sin 15)12cos 15sin 151sin 30，|ab|，cosab，a，又ab，a0，所以ab，a.答案：10.(2019江都中學(xué)模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，且ADDM，N是線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作AM的垂線，垂足為H，設(shè)12，則當(dāng)最小時(shí)，12的值為_解析：|cos，由圖易知向量，所成的角為鈍角，所以cos，<0，因?yàn)镹HAM，所以|.當(dāng)最小時(shí)，的模最大，數(shù)形結(jié)合易知點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí)，的模最大，即最小，如圖因?yàn)锳DDM，DHAM，所以H是AM的中點(diǎn)，則()，所以12.答案：11.如圖，等邊ABC的邊長為2，頂點(diǎn)B，C分別在x軸的非負(fù)半軸，y軸的非負(fù)半軸上移動(dòng)，M為AB的中點(diǎn)，則的最大值為_解析：設(shè)OBC，因?yàn)锽C2，所以B(2cos ，0)，C(0,2sin )，則(2cos ，2sin )，設(shè)(x，y)，因?yàn)锳BC是邊長為2的等邊三角形，所以解得即(sin cos ，cos sin )，則(sin cos ，cos sin )，因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以sin cos ，cos sin ，所以sin 2sin 2cos2sin 2cos 2sin(2)其中cos ，sin ，所以的最大值為.答案：12已知ABC的三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，重心為G，若2sin Asin B3sin C0，則cos B_.解析：設(shè)a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，由正弦定理得2ab3c0，則2ab3c3c()，即(2a3c)(b3c)0.又，不共線，所以由此得2ab3c，所以ab，cb，于是由余弦定理得cos B.答案：13已知平面向量，滿足|1，且與的夾角為120，則|的取值范圍為_解析：法一：由|1，且與的夾角為120，作向量，則，在OAB中，OAB60，OB1，則由正弦定理，得OAsinABO，即0<|.法二：設(shè)|u，|v，由|2|()|222()()2，得v2uvu210，再由關(guān)于v的一元二次方程有解，得u24(u21)0，又u>0，故0<u，即0<|.答案：14在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)，C(a，b)，D(c，d)，若不等式2(m2)m()()對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c，d都成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是_解析：原不等式可化為(ac)2(bd)2(m2)(acbd)mbc，即a2b2c2d2m(acbdbc)0，整理成關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式為a2mcab2c2d2mbdmbc0恒成立，從而1m2c24(b2c2d2mbdmbc)0，再整理成關(guān)于實(shí)數(shù)d的不等式為d2mbdb2c2mbcm2c20，從而2m2b240，再整理成關(guān)于實(shí)數(shù)b的不等式為(4m2)b24mcb4c2m2c20，從而解得1m1，所以m的最大值是1.答案：19