高等數(shù)學(xué)一微積分串講

高等數(shù)學(xué) (一 )微積分 一元函數(shù)微分學(xué) ( 第三章 、 第四章 ) 一元函數(shù)積分學(xué) （ 第四 ,五章 ） 第一章 函數(shù)及 其圖形 第二章 極限和 連續(xù) 多元函數(shù) 微 積 分 （ 第九章 ） 高數(shù)一串講 教材所講主要內(nèi)容如下： 串 講 內(nèi) 容 第一部分 函數(shù)極限與連續(xù) 第二部分 導(dǎo)數(shù)微分及其應(yīng)用 第三部分 積分計(jì)算及應(yīng)用 一 元 和 多 元 第一部分 函數(shù)極限與連續(xù) 1. 一元函數(shù)的概念 定義域 值域 函數(shù)為特殊的映射 : 其中 2. 二元函數(shù)的概念 定義域 值域 函數(shù)為特殊的映射 : 其中 一、 函數(shù) 二、極限 三、連續(xù) 一、 函數(shù) 概念回顧 3. 函數(shù)的特性 有界性 , 單調(diào)性 , 奇偶性 , 周期性 4. 反函數(shù) 設(shè)函數(shù) 為單射 , 反函數(shù)為其逆映射 DDff )(:1 5. 復(fù)合函數(shù) 給定函數(shù)鏈 則復(fù)合函數(shù)為 )(: DgfDgf 6. 初等函數(shù) 由基本初等函數(shù) 經(jīng)有限次四則運(yùn)算與復(fù)合而成的由一個(gè)表達(dá)式表示的函 數(shù)。 例 1 . 下列函數(shù)中，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的是 （ ） (1) 2 21yx ； ( 2) 3 2 siny x x ； (3) 1yx 知識(shí)點(diǎn)： 函數(shù)的奇偶性 若對(duì)于任何 x ，恒有 ( ) ( )f x f x 成立，則稱 ()fx 是奇函數(shù)。若 對(duì)于任何 x ，恒有 ( ) ( )f x f x 成立，則稱 ()fx 是偶函數(shù) 奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖形關(guān)于 y 軸對(duì)稱 解： (1 ) 22 ( ) 2 ( ) 1 2 1 ( )f x x x f x ， 故 2 21yx 為偶函數(shù) (2) 33 ( ) ( ) 2 sin ( ) 2 sin ( )f x x x x x f x ，故 3 2 si ny x x 為奇函數(shù)，圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 (3) ( ) 1f x x ，它既不等于 ()fx ，也不等于 ()fx ，故 1yx 是非奇非偶函數(shù) 例 2 下列各函數(shù)中，互為反函數(shù)的是（ ） （ 1 ） tan , cot y x y x （ 2 ） 1 2 1, ( -1) 2 y x y x 知識(shí)點(diǎn)： 反函數(shù) 求反函數(shù)的步驟是：先從函數(shù) ()y f x 中解出 1 ()x f y ，再置換 x 與 y ，就得反函數(shù) 1 ()y f x 。 例 3 . 設(shè)函數(shù) 1 () 1 x f xx ， 求 ( 2 )fx 知識(shí)點(diǎn)： 復(fù)合函數(shù) 解： 令 11 ,tx xt ， 因?yàn)?1 1 111 1 x t xt t 故： 1 () 1 ft t 即 1 () 1 fx x ， 1 ( 2 ) 12 fx x 例 4 ： 求下列函數(shù)的定義域。 （ 1 ） 1 ln ( ) ;z x y x （ 2 ） 2 s in ( ) ln ( 2 ) 2 x f x x x x 知識(shí)點(diǎn)： 定義域 多元函數(shù)定義域的求法和一元函數(shù)定義域的求法類似，使表達(dá)式有意 義的點(diǎn)的集合 。 解 ： （ 1 ）由函數(shù)的表達(dá)式可知： 0 x 且 0 xy 故函數(shù)的定義域?yàn)椋?( , ) | 0 0 x y x x y 且 （ 2 ）要 使函數(shù)有意義必須滿足 2 20 20 xx x ，即 12 2 xx x 或 ， 故 ( 2 , 1 ) ( 2 , )D 二、 極限 （ 1 概念回顧 2 、極限的求法 ，） 1 概念 回顧 1 ） 數(shù)列極限 l i m , n n aA 函數(shù)極限 l i m ( ) x f x A 2 ） 函數(shù)極限與單側(cè)極限之間的關(guān)系 0 0 0 0 0 li m ( ) li () li m ( ) . m ( )() xx xx xx f x Afx f fx xA f Ax 3 ） 特殊極限 ：無(wú)窮大和無(wú)窮小 若當(dāng) l i m 0u ，則稱變量 u 為無(wú)窮小量 ( 或無(wú)窮小 ) l i m , l i m , l i mu u u ，則稱變量 u 為無(wú)窮大量 ( 或無(wú)窮大 ) 4 ） 極限與 無(wú)窮小得關(guān)系定理 u A u A ， 其中 是該極限過(guò)程中的無(wú)窮小 2、 極限的求法 利用極限四則運(yùn)算、 連續(xù)函數(shù)、重要極限、無(wú)窮小代換、洛比達(dá)法則等 例 5 ： 求 2 5 lim 9x x x 解： 2 2 2 15 5 l i m l i m 9 9 1 xx x xx x x 2 2 15 l i m ( ) 0 0 9 1 l i m ( 1 ) x x xx x 知識(shí)點(diǎn)： 設(shè) 00 0 , 0 , ,a b m n N ， 則 10 10 li m 0 m n a b m m n x n mn a x a x a mn b x b x b mn 例 6 . （ 1 ） n1 n+ 1 2 54 lim 53 n n n （ 2 ）、 cos lim sin x xx xx （ 05 年 10 月） 解： （ 1 ） 1 n1 2 n + 1 2 1 1 1 4 () 54 5 5 5 li m li m 3 53 1 3 ( ) 5 n n n nn n 1 2 1 1 1 4 l i m ( ) 1 5 5 5 3 5 1 3 l i m ( ) 5 n n n n （ 2 ） c os 1 c os li m li m 1 si n si n 1 xx x xx x x xx x 例 7 . （ 1 ） li m ( 3 ) n n n n n （ 06 年） （ 2 ） lim( 3 ) 1 . n n n n （ 05 年） 解： （ 1 ） ( 3 ) ( 3 ) l i m ( 3 ) l i m 3 nn n n n n n n n n n n n n n n n n 44 lim lim 2 3 1 3 1 nn n n n n n n n nn （ 2 ） ( 3 ) ( 3 ) lim( 3 ) 1 lim 1 3 nn n n n n n n n n nn 1 31 3 1 3 l i m l i m 2 33 11 nn n n nn n 例 8 . （ 1 ） 1 li m ( ) x x x ex （ 06 年 1 月 ) （ 2 ） 0 lim 1 2 x x x 知識(shí)點(diǎn)： 重要極限 1 l i m ( 1 ) n n e n ， 0 1 li m ( 1 ) t t et ， l i m ( 1 1 ) x x x e 1 () ( ) 0 , lim ( 1 ( ) ) ux x u x u x e 適用特點(diǎn) 1 解： （ 1 ） 111 l i m ( ) l i m ( 1 ) l i m ( 1 ) x x e x x x x e xx x x x xx e x e e ee 1 0 li m ( 1 ) x x e e x x x x e e e e e （ 2 ） 1 00 lim 1 2 lim( 1 2 ) x x xx xx 0 ( 2 ) 1 2 2li m ( 1 ) x x x 0 ( 2 ) 1 2 2lim ( 1 ) x x x ( 2 ) 0 2 2 1 lim( 1 ) 2 x x ex 例 9 . 2 0 0 0 t an sin 1 c os ( 1 ) li m ( 2 ) li m ( 3 ) li m ( 4 ) li m ( sin ) x x x n x kx x n x x x n 知識(shí)點(diǎn)： 重要極限 0 s i n l i m 1 x x x ( ) 0 s in ( ) li m 1 () ux ux ux 0 si n li m 1 n n a n a a 解： 0 0 0 0 t a n sin 1 sin 1 ( 1 ) lim lim lim 1 1 1 c o s lim c o s x x x x x x x x x x x x ( 2 ) 0 0,u k x x u 令 ， 等 價(jià) 于 0 0 0 sin sin li m li m li m 1 sin x x u kx kx k k k k x kx u u 2 0 2 2 0 ( 3 ) li m l 2 sin 1c 2 im os xx x xx x 2 0 2 s i n 2 lim 2 ( ) 2 x x x 2 0 sin 2 2 11 lim 22 x x x (4) s i n l i m ( s i n ) l i m nn n n n n l i m ( si n ) n n n 注意： 等價(jià)無(wú)窮小 0 x 時(shí) ， s i n , t a n , a r c s i nx x x x x x ， 2 1 c o s 2 x x 0 n a 時(shí)， s i n nn aa ( ) 0ux 時(shí)， s i n ( ) ( )u x u x 例 10 . （ 1 ） 0 ( 1 ) lim c o s 1 x x xe x （ 06 年 1 月 ） （ 2 ） 2 x0 1 si n 3 lim ( 1 c os 2 ) l n ( 1 ) x ex xx （ 3 ） l i m l n ( 2) l n x x x x （ 05 年 .10 月） 知識(shí)點(diǎn)： 用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限 設(shè) , , , 都是無(wú)窮小 ， 如果 , ， 則 li m li m 解： （ 1 ）因?yàn)?2 1 1 , c os 1 2 x e x x x 所以 00 2 ( 1 ) li m li m 2 1 c os 1 2 x xx x e xx x x （ 2 ）因?yàn)?2 2 1 x ex ， sin 3 3xx ， 221 2 1 c o s 2 ( 2 ) 2x x x ， l n ( 1 ) xx 所以 2 x0 1 si n 3 lim ( 1 c os 2 ) l n ( 1 ) x ex xx 2 2 x0 ( 3 ) 3 lim ( 2 ) 2 xx xx （ 3 ） 22 li m ln ( 2 ) ln li m ln ( 1 ) li m 2 x x x x x x x x xx 注： 在使用等價(jià)無(wú)窮小代換時(shí)，應(yīng)注意只能對(duì)乘除法代換，不能對(duì)加 減法代換，即只 對(duì)極限中的各個(gè)因式進(jìn)行代換 記住下列幾個(gè)常用的等價(jià)無(wú)窮小以及由此導(dǎo)出其它的等價(jià)無(wú)窮小 1 . s i n ,xx 導(dǎo)出 ( ) 0ux 時(shí) ， s i n ( ) ( )u x u x 2 . t an ,xx 導(dǎo)出 ( ) 0ux 時(shí) ， t a n ( ) ( )u x u x 3 . a r c s i n xx ， 導(dǎo)出 ( ) 0ux 時(shí) ， a r c s i n ( ) ( )u x u x 4 . 1 x ex ， 導(dǎo)出 ( ) 0ux 時(shí) ， () 1 ( ) ux e u x 5 . l n ( 1 ) xx ， 導(dǎo)出 ( ) 0ux 時(shí) ， l n 1 ( ) ( )u x u x 6 . 2 1 c o s 2 x x ， 導(dǎo)出 ( ) 0ux 時(shí) ， 2 () 1 c os ( ) 2 ux ux 例 11 . (1) 0 1 c os 3 li m . 1 c os 4x x x （ 05 年 7 月） (2) 2 2 l n si n l i m . 2 x x x （ ） (05 年 10 月 ) 知識(shí)點(diǎn)： 洛必達(dá)法則 若分式極限 () () lim fx gx 是 0 0 或 型的未定式 ， 則當(dāng) () () lim fx gx 存在時(shí)， () () lim fx gx () () lim fx gx 解： (1 ) 0 0 0 1 c os 3 3 si n 3 3 3 9 l i m l i m l i m . 1 c os 4 4 si n 4 4 4 16x x x x x x x x x (2 ) 2 2 2 2 1 c o s ln s in 1 c o s s in lim lim lim 2 2 4 s in 2 x x x x xx x x x x x （ ） - 2 2 （ ） -（ ） 2 2 2 1 c o s 1 sin 1 lim lim lim 4 sin 2 4 2 8 x x x xx xx -（ ） - 注： 使用洛必達(dá)法則必須判斷所求的極限是分式型的未定式 、 0 0 。 其它類型的未定式 ， 0 ， 00 0 , , 1 可轉(zhuǎn)化為分式型的未定 式，從而可以用洛必達(dá)法則 。 例 12 . (1) 0 lim ln ( 0 ) a x x x a ； (2) 1 1 lim 1 l n x x xx 解 (1 ) 0 0 0 0 1 0 li m ln li m li 1 m li 1 m( n ) l 0 aa a x a x x x x xxx x axx a (2) 1 1 1 0 1 ln 1 1 ln 1 li m li m li m 0 1 1 ln ( 1 ) ln ln x x x x x x x x x x x x x x x 2 11 l n 1 l i m l i m 1 2 1 l n 1 11xx x x x xx x 例 13 2 2 lim 2 x x x （ 05 年 .4 月） 知識(shí)點(diǎn)：分子與分母的極限均為 0 時(shí)，通過(guò)約去公因式或者 分子分母有理化等方法消掉零元素。 解： 22 2 li m li m 2 2 2 2 xx x x x 例 14 用級(jí)數(shù)的斂散定義判定級(jí)數(shù) 1 1 1n nn 斂散性。 知識(shí)點(diǎn)： 1 2 3nn S u u u u 若 lim n n SS （常數(shù)），就說(shuō)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1 n n u 收斂， 若 lim n n S = 或 lim n n S 不存在，就說(shuō)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1 n n u 發(fā)散。 解： 11 11 1 ( 1 ) ( 1 ) nn n kk kk s k k k k k k 1 ( 1 ) n k kk ( 2 1 ) ( 3 2 ) ( 1 )nn 11n 該級(jí)數(shù)發(fā)散。 例 15 求級(jí)數(shù) 1 0 2 5 n n 的和 S 知識(shí)點(diǎn) ： 等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)） 1 2 1 1 nn n a q a a q a q a q 當(dāng) 1q 時(shí) , 等比級(jí)數(shù)收斂 ; 且 1 2 1 1 1 nn n a q a a q a q a a q q 當(dāng) 1q 時(shí)，等比級(jí)數(shù)發(fā)散 解： 因?yàn)?1 2 3 1 0 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 nn n 所以 1 0 2 22 5 2 53 1 5 n n 注意：收斂的必要條件： 若 0 n n u 收斂， 則 l i m 0 n n u 級(jí)數(shù) 例 16 求極限 2 22 0 10 0 c os lim x x x t dt x . 知識(shí)點(diǎn) ：變上限函數(shù) 如果 ()fx 在區(qū)間 , ab 上連續(xù)， 則 ( ) ( ) ( ) x a x x f t d t f x 解 此極限為 0 0 型，用洛必達(dá)法則求解，故 2 22 4 0 1 0 9 00 c o s 2 2 c o s li m li m 10 x xx x t d t x x x xx 88 0 8 0 4 1 li m li m . 5 5 10 1 1 c os 2 xx x x xx 例 1 7 、求 2 1 ( ) 1 x y f x x 的水平和豎直漸進(jìn)線。 知識(shí)點(diǎn) ： 如果 l i m ( ) l i m ( ) l i m ( ) x x x f x b f x b f x b 或 或 ， ， 則直線 yb 為曲線 ()y f x 的 水平漸近線 如果 lim ( ) lim ( ) lim ( ) xa x a x a f x f x f x 或 或 ， 則直線 xa 為曲線 ()y f x 的 豎直漸近線 解：因?yàn)?2 0 1 l i m 1 x x x ， x =0 為無(wú)窮間斷點(diǎn)， 故有豎直漸近線 x =0 ， 因?yàn)?2 1 l i m 1 1 x x x ，故 y = - 1 為水平漸近線 注意： 豎直漸近線一般在間斷點(diǎn)處存在。 3 、 連續(xù) 函數(shù)與閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 概念回顧 1 ） 、一元函數(shù)的連續(xù)性： ()y f x 在點(diǎn) 0 x 處連續(xù) 0 lim 0 xx y 0 0 lim ( ) ( ) xx f x f x 2 ) 、二元函數(shù)的連續(xù)性：設(shè)函數(shù) ( , )z f x y 在點(diǎn) 0 0 0( , )P x y 的某鄰域有定義， 若 0 0 00 li m ( , ) ( , ) xx yy f x y f x y , 則稱函數(shù) ( , )z f x y 在點(diǎn) 0P 連續(xù) 不連續(xù)的點(diǎn)稱為間斷點(diǎn) 3 ) 、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)： 有界性 最大值最小值 零點(diǎn)定理 介值定理 例 1 8 確定 k 的取值使得函數(shù) ln( 1 ) 0 () 0 x x x fx kx 在其定義域內(nèi)連續(xù) 知識(shí)點(diǎn) 初等函數(shù)的連續(xù)性，非初等函數(shù)的連續(xù)性 初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間內(nèi)處處連續(xù) 函數(shù) ()fx 在點(diǎn) 0 x 連續(xù)的充分必要條件是下列三個(gè)條件同時(shí)滿足 1) 0 ()fx 有定義； 2) 0 li m ( ) xx fx 存在； 3) 0 0 l i m ( ) ( ) xx f x f x 解 ： 函數(shù)的定義域?yàn)?( 1 , ) 由于函數(shù)在 0 x 處的函數(shù)值 ( 0 )fk 是 單獨(dú)定義的，所以該函數(shù)在定義域 ( 1 , ) 上不是初等函數(shù)。 但是在 0 x 時(shí)是初等函數(shù) l n ( 1 ) () x fx x 因此函數(shù)在區(qū)間 ( 1 , 0) 和 ( 0, ) 上是連續(xù)的 若使該函數(shù)在 0 x 處連續(xù)，則應(yīng)有 0 l i m ( ) ( 0) x f x k f ， 又因 0 0 0 0 1 ln ( 1 ) 1 1 li m ( ) li m li m li m 1 , 11 x x x x x x fx xx 所以 1k 時(shí)，該函數(shù)在 0 x 處連續(xù) ， 1k ， 0 x 為間斷點(diǎn)。 例 1 9 、 函數(shù) 2 1 () ( 2 3 ) x x fx e x x 的間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 【 】 (A) 0 個(gè) (B) 1 個(gè) (C) 2 個(gè) (D) 3 個(gè) 知識(shí)點(diǎn) ： 判斷初等函數(shù)的間斷點(diǎn) 如果 ()fx 在點(diǎn) 0 x 不連續(xù)，則稱 0 x 是 ()fx 的間斷點(diǎn) 若下列三種情況之一成立，則 0 x 是 ()fx 的間斷點(diǎn)： i 0 ()fx 無(wú)定義 ( 0 x 是無(wú)定義的孤立點(diǎn) ) ii 0 li m ( ) xx fx 不存在 iii 0 ()fx 有定義， 0 li m ( ) xx fx 存在，但 0 0 l i m ( ) ( ) xx f x f x 若 ()fx 是含有分母的初等函數(shù)，則分母的零點(diǎn)是間斷點(diǎn) 若 ()fx 是分段函數(shù)，則分段的分界點(diǎn)是可疑的間斷點(diǎn) 解答 將函數(shù)的分母做因式分解，則有 1 () ( 1 ) ( 2 ) x x fx e x x 分母的零 點(diǎn)就是函數(shù)的間斷點(diǎn)可以看到分母的零點(diǎn)為 1 , 2x ，應(yīng)選擇 C 注 ： 對(duì)函數(shù) 分母 做因式分解是判斷函數(shù) 間斷 點(diǎn)的常用方法 例 20 證明：方程 2 x xe 在區(qū)間 ( 0, 1 ) 上至少有一個(gè)實(shí)根 知識(shí)點(diǎn)： 零點(diǎn)定理 設(shè) ()fx 在閉區(qū)間 , ab 上連續(xù)，且 ( ) ( ) 0f a f b ， ( 即 ()fx 在區(qū)間端點(diǎn)處 函數(shù)值的符號(hào)相反 ) ，則至少存在一個(gè)點(diǎn) ( , )c a b 使得 ( ) 0fc 解： 將方程根的范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題。 該方程等價(jià)于 20 x xe 令函數(shù) ( ) 2 x f x xe ， 則函數(shù) ()fx 在閉區(qū)間 0 , 1 上連續(xù)（初等函數(shù)的連續(xù)性）， ( 0) 2 0f ， ( 1 ) 2 0 . 7 1 8 0fe 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理可知， 存在 0 ( 0 , 1 )x 使得 0( ) 0fx ，即 0 0 20 x xe 。 這說(shuō)明 0 x 是方程 2 x xe 的根 注： 方程根的范圍問(wèn)題一般都化為求函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題來(lái)解決 第二部分 導(dǎo)數(shù)微分及應(yīng)用 一、概念回顧 二、導(dǎo)數(shù)與微分的計(jì)算 三 、導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用 一、概念回顧 右導(dǎo)數(shù) : 1） .單側(cè)導(dǎo)數(shù) 左導(dǎo)數(shù) : ;)()(lim)()(lim)( 000 0 0 00 0 x xfxxf xx xfxfxf xxx ;)()(lim)()(lim)( 000 0 0 00 0 x xfxxf xx xfxfxf xxx 函數(shù) ()fx 在點(diǎn) 0 x 處可導(dǎo) 左導(dǎo)數(shù) 0()fx 和右導(dǎo)數(shù) 0()fx 都存在且 相等 。 0 0 0 0 0 00 0 ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim . xx x x x x f x f x f x x f xyy x x x x 1、一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的定義 2） .高階導(dǎo)數(shù) 0 ( ) ( )( ( ) ) li m , x f x x f xfx x .)(,),( 2 2 2 2 dx xfd dx ydyxf 或 (二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù) ) 設(shè)函數(shù) ()y f x 在某區(qū)間上有定義 ， 0 x 及 0 xx 在此區(qū)間內(nèi) ， 若函 數(shù)增量 00( ) ( ) ( )y f x x f x y A x o x 其中 A 是不依賴于 x 的常數(shù) ， 而 ()ox 是比 x 更高階的無(wú)窮小 。 則 稱函數(shù) ()y f x 在點(diǎn) 0 x 是可微的 ， d y A x A d x 。 定理 函數(shù) ()y f x 在點(diǎn) 0 x 可微的 充要條件 是函數(shù)在 0 x 處可導(dǎo) 。 且 ()d y f x d x 3） .微分 2） .高階偏導(dǎo)數(shù) (二階和二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階 偏 導(dǎo)數(shù) ) 1） .偏導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn) 0 0 0( , )P x y 的某鄰域有定義， 0 0 0 0 00 0 ( , ) ( , ) ( , ) l i m .x x f x x y f x y f x y x 0 0 0 0 00 0 ( , ) ( , ) ( , ) li m .y y f x y y f x y f x y y 二元函數(shù) ( , )z f x y 的偏導(dǎo)數(shù) ( , ) xf x y 、 ( , ) yf x y 仍是 ,xy 的二元函數(shù)， 它們同樣可以對(duì) ,xy 求偏導(dǎo)數(shù)記 2 2 zz x x x 2zz y x x y 2zz x y y x ； 2 2 zz y y y 2、多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的定義 3） .全微分 如果函數(shù) ( , )z f x y 在點(diǎn) 0 0 0( , )P x y 的全增量 0 0 0 0( , ) ( , ) ( )z f x x y y f x A x By y o 其中， A , B 為不 依賴于 x 與 y ， 22xy ，則稱函數(shù) ( , )f x y 在點(diǎn) 00( , )xy 處可微分， 記為 0p dz A x B y Adx Bdy 定理 函數(shù)若函數(shù) ( , )z f x y 在點(diǎn) 00( , )xy 可微 ，則 ( , )z f x y 在 00( , )xy 點(diǎn)必有偏導(dǎo)數(shù) 0 0 0 0( , ) , ( , )xyf x y f x y 且 0 0 0 0( , ) , ( , )xyA f x y B f x y 0 0 0 0 0( , ) ( , )xypd z f x y d x f x y d y 00 ( 5 ) ( 5 ) ( ( 5 ) ) ( ( 5 ) )l i m l i )( 2 ()m 2hh f a h f faa h f a h a h faf hh 解 ： 1() 5fa 5 2 ( ) 12 fa 0 ()( 5 ) ()( 5 )l i m 22h f a h f a h h f a f a h 0 5 ( 5 ) ( ) ( 5 ) ( )l i m 2 5 5h f a h f a f a h f a hh 例 1 . 設(shè)函數(shù) ()fx 在點(diǎn) a 可導(dǎo)，且 0 ( 5 ) ( 5 )li m 1 2h f a h f a h h ，求 ()fa 知識(shí)點(diǎn)： 導(dǎo)數(shù)的定義 0 0 0 0 0 00 0 ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim . xx x x x x f x f x f x f xyy x x x x x 例 2 設(shè) ()fx = 2 1 , 0 1 3 3, 1 2 xx xx , 討論該函數(shù)在 1x 處的連續(xù)性與可導(dǎo)性 知識(shí)點(diǎn)： 1 、函數(shù) ()fx 在點(diǎn) 0 x 處連續(xù) ()fx 在點(diǎn) 0 x 處連續(xù)既左連續(xù)又右連續(xù) . 2 、函數(shù) ()fx 在點(diǎn) 0 x 處可導(dǎo) 左導(dǎo)數(shù) 0 ()fx 和右導(dǎo)數(shù) 0 ()fx 都存在且相等 3 、分段函數(shù)在分段點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)可用導(dǎo)數(shù)的左右極限來(lái)得到。 解： 因?yàn)?+ + - + 2 1 1 1 1 lim ( ) lim 3 3 0 ( 1 ) , lim ( ) lim 1 0 ( 1 ) x x x x f x x f f x x f 所以 ()fx 在 1x 處連續(xù) 因?yàn)?1 1 1 2 1 1 1 ( 1 ) li m ( ) li m ( 3 3 ) li m 3= 3 ( 1 ) li m ( ) li m ( 1 ) li m 2 2 x x x x x x f f x x f f x x x ( 1 ) ( 1 )ff ， ()fx 在 1x 處不可導(dǎo) 總之， ()fx 在 1x 處連續(xù)不可導(dǎo) 例 3 . 討論函數(shù) 1 si n , 0 () 0 , 0 xx fx x x 在 0 x 處的連續(xù)性與可導(dǎo)性 知識(shí)點(diǎn)： 用導(dǎo)數(shù)定義 求 分段函數(shù)分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。 解 ： (1) 連續(xù)性因?yàn)?00 1 li m ( ) li m sin 0 ( 0 ) xx f x x f x ， 所以 ()fx 在 0 x 處連續(xù) (2) 可導(dǎo)性因?yàn)闃O限 0 0 0 1 sin 0 ( ) ( 0 ) 1 li m li m li m sin 00 x x x x f x f x x x x 不存在，所以函數(shù) ()fx 在 0 x 處不可導(dǎo) 例 5 。 若函數(shù) ()fx 在點(diǎn) 0 x 處自變量增量 x =0.25 ，對(duì)應(yīng)函數(shù)增量 y 的線性主部為 2 ，求函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值 0()fx 2006 年 1 月 知識(shí)點(diǎn)： 微分 00( ) ( ) ( ) ( )Axy f x x f x o x d y f x dAx x 解： 因?yàn)?00( ) ( )2 0 . 2 5f x dx xA xf 所以 0( ) 8fx 例 4 . 設(shè)函數(shù) ()fx 在 xa 處可導(dǎo)，則 ()fx 在 xa 處（ C. ） 2005 年 4 月 A. 極限不一定存在 B. 不一定連續(xù) C. 可微 D. 不一定可微 知識(shí)點(diǎn)： ()fx 可導(dǎo) ()fx 可微 ()fx 可導(dǎo) ()fx 連續(xù) 二、導(dǎo)數(shù)與微分的計(jì)算 2 2 2 1 1 )( a r c t a n 1 1 )( a r c s i n ln 1 )( l o g ln)( s e c)( s e c s e c)( t a n c o s)( s i n 0)( x x x x ax x aaa x t g xx xx xx C a xx 2 2 2 1 1 1 )c o t( 1 1 )( a r c c o s 1 )( l n )( c s c)( c s c c s c)( c o t s i n)( c o s )( x x x x x x ee x c t g xx xx xx xx xx 基本導(dǎo)數(shù)公式 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 若函數(shù) ()u u x ， ()v v x 都在點(diǎn) x 處可導(dǎo)，則有 ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )u x v x u x v x ； ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x u x v x ； ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x u x v x u x v x v x v x ， ( ) 0vx 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù) ()y f u 及 ()u g x 可以復(fù)合成函數(shù) ( ( ) )y f g x ，若 ()u g x 在點(diǎn) x 可導(dǎo)，且 ()y f u 在相應(yīng)的點(diǎn) ()u g x 可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) ( ( ) )y f x 在點(diǎn) x 處可導(dǎo)， 且 ( () d x g y x xf d g ，或 dy du dy dx du dx ， 初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題全部解決 例 6 、 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 2 a r c t a n 21 3 1 ) 2 ) s in s in 3 ) s e c s in x nx nx x e x 解： 1 ） ar c t an ar c t anar c t an 2 3 ( ) si n 3 si n s si i ( n )3 n xxx xx xx a r c t a na r c t n 2 a 3 ln 3 ( a r c t a n ) sin 3 sin c o s xx xx x x a r c t 22 an 3 ln co s s) i3 n ( sin 1 x x xx x 2 ) ( sin sin ) ( s)s () in ni n n nxnx xx 1 sinc os ( ) ( sin ) n n x n x xnx 1 s i no c o scs n xnn n x x 222 1 121 3 ) ( s e c ) 2 s e c s e c() xx x eee 222 2 2 22 1 11 21 1 11 se c t an t an 2 se c 4 s c 2 e x x x x xx x ex e e x ee ee 例 7 、 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) . （ 1 ）設(shè) 1 , ( 1 ) . x y x y 求 200 5 年 1 月 2 21 ( 2 ) 1 x y x 知識(shí)點(diǎn)： 當(dāng)冪指函數(shù)求導(dǎo)，或當(dāng)函數(shù)是多個(gè)因式相乘時(shí)，采用對(duì)數(shù) 求導(dǎo)法 解 1 ( 1 ) x yx ， 兩邊取對(duì)數(shù)： 1 lnyx x ln 兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo)： 2 2 2 1 1 1 1 ln ( ln ) 1 lnx x x x x x y y x 1 2 2 2 2 1 1 1 1 ( l n ) ( l n ) x y y x x x x x x x ( 1 ) 1y 2 21 ( 2 ) 1 x y x 這是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，若直接用公式求導(dǎo)，運(yùn)算較繁瑣 將函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)變形為： 2 1 l n l n ( 2 1 ) l n ( 1 ) , 2 y x x 則由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有 2 1 1 1 ln ( 2 1 ) ln ( 1 ) 22 y x x y = 2 2 1 1 1 1 ( 2 1 ) ( 1 ) 2 2 1 2 1 xx xx 2 1 . 2 1 1 x xx 所以： 22 2 1 1 () 1 2 1 1 . xx xx y x 例 8 . 設(shè) s i n 2yx , 求 ()n y 200 4.10 知識(shí)點(diǎn)： 高階導(dǎo)數(shù)，熟記下列高階導(dǎo)數(shù)公式 () ( si n ) si n ( ) . 2 n n xx () ( c os ) c os( ) . 2 n n xx () ( ) l n . x n x n a a a () () x n x ee () ( ) ( 1 ) 2 1 ! n x n n n 解： ( si n 2 ) si n ( 2 ) ( 2 ) 2 si n ( 2 ) . 22 y x x x x , 2 ( 2 si n ( 2 ) ) 2 si n ( 2 ) ( 2 ) 2 si n ( 2 2 ) 2 2 2 2 2 y x x x x 所以 () 2 si n ( 2 ) 2 nn y x n 例 9 、 求下列函數(shù)的微分 ( 1 ) l n tan 2 x y ( 2 ) ( l n )y f x 知識(shí)點(diǎn) : 求微分 ()d y f x d x 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) ： 逐層求導(dǎo)， 外層求導(dǎo)，內(nèi)層不動(dòng)。 解 ： （ 1 ） 因?yàn)?2 ta 1 t a n 1 (l 2 n t a n ) ( ns ) ( ) 2 t a n 2 ec 2 2 2 xdy xx x dx x x 22 1 1 1 1 1 () 2 sin t a n c o s t a n c o s 2 2 2 2 2 x x x x x x 所以 1 si n dy dx x （ 2 ）設(shè)： lnux ，則 ; ()y f u ，故 1 ( l n ) ( l n ) ( l n )y f x x f x dx x 所以 1 ( l n )dy f x dx x 例 1 0 . 求 22 3z x xy y 在點(diǎn) ( 1 , 2 ) 處的偏導(dǎo)數(shù)。 知識(shí)點(diǎn)： 偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算 0 0 0 0 00 0 ( , ) ( , ) ( , ) l i m . x x f x x y f x y f x y x 0 0 0 0 00 0 ( , ) ( , ) ( , ) li m . y y f x y y f x y f x y y 解法 1 ： 23 z xy x ， 32 z xy y 則 ( 1 , 2 ) 8 z x , ( 1 , 2 ) 7 z y 解法 2 ： 2 ( , 2 ) 6 4f x x x 2 ( 1 , ) 1 3f y y y 則 1 ( 1 , 2 ) ( , 2 ) 2 6 8 x z f x x x ， 2 ( 1 , 2 ) ( 1 , ) 3 2 7 y y z f y y 例 1 1 、 求函數(shù) 22 l n ( 1 )z x y ) 當(dāng) 1 , 2xy 時(shí)的全微分 . 200 5 年 1 月 知識(shí)點(diǎn)： 全微分 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) xyp d z f x y d x f x y d y 解： 2 2 2 2 1 , 2 1 , 2 2 2 1 , 1 1 3 xy xy z x z x x x y x x y 2 2 2 2 1 , 2 1 , 2 2 2 2 , 1 1 3 x y x y z y z y y x y y x y 所以 1 , 2 1 , 2 1 , 2 12 y 3 3 xy xy xy zz dz dx dy dx dy x 注意： 如果求非具體點(diǎn)的全微分，只需求出偏導(dǎo)函數(shù)，帶入 全 微分公 式即可： 2 2 2 2 22 11 z z x y d z d x d y d x d y x y x y x y 知識(shí)點(diǎn)： 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 1 ） z = f ( u , v ) ， ( ) , ( )u t v t dz z du u dv dt u dt v dt 2 ） z = f ( u , v ) u = ( x , y ) 、 v = ( x , y ) , . z z u z v x u x v x z z u z v y u y v y 3 ） z = f ( u ) ， u = u ( x , y ) ( ) , ( ) . z d z u u fu x d u x x z d z u u fu y d u y y 注意 ： 具體求導(dǎo)時(shí)，按 連線相乘，分線相加 的原則 。 u v z t u v z x y uz x y 例 1 2 設(shè) 22 ( , l n ( ) ) ,z f x y x y 求 , zz xy 解 令 u = x 2 y 2 , l n ( )v x y , 則 ( , )z f u v z z u z v x u x v x 11 2 2 , u v u v f x f x f f x y x y z z u z v y u y v y 1 ( 2 ) ( 1 ) uv f y f xy 1 2 uv y f f xy 注意： 因?yàn)?( , )f u v 不是具體函數(shù)，所以它的偏導(dǎo)數(shù)只能是抽象形式 u v z x y 例 1 3 . 設(shè) ( ) , , ( ) y z xy xF u u F u x 是可微函數(shù) ,. zz xy xy 求 200 5 年 1 月 知識(shí)點(diǎn)： 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)同四則運(yùn)算相結(jié)合 解 : 2 () ( ) ( ) ( ) ( ) z y y F u y F u xF u y F u x x x 1 ( ) ( ) z x x F u x F u yx ( ) 1 ( ( ) ) ( ( ) ) 2 ( ) z z y F u x y x y F u y x xF u xy xF u x y x x 例 1 4 . 設(shè)方程 2 2 2 z x y z y e 確定隱函數(shù) ( , )z z x y , 求 , xy zz 2005 .10 知識(shí)點(diǎn)： 隱含數(shù)求導(dǎo) 二元方程 ( , ) 0F x y 確定一個(gè)一元的隱函數(shù) ()y f x , 且 x y Fdy dx F F ( x , y , z ) = 0 確定二元函數(shù) z = z ( x , y ) ，且： x z Fz xF ， y z Fz yF 解： 令 2 2 2 ( , , ) z F x y z x y z y e 原方程即為 ( , , ) 0F x y z 2 x Fx ， 22 zz yz F y e F z y e y 22 22 z y x x zz zz FF x y e zz F z y e F z y e 注： 使用公式時(shí)，將方程表示為 ( , , ) 0F x y z 或 ( , ) 0F x y 三、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 1.導(dǎo)數(shù)和微分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用 邊際函數(shù) ：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，一個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù) ()fx 的導(dǎo)數(shù) ()fx 稱為該函數(shù)的 邊際函數(shù) 。 彈性函數(shù) : ()y f x 在任意點(diǎn) x 都可定義彈性 Ey Ex ， 00 ll ()im im xx y xxy x y y f Ey x E x xx y 注意： 1 ） ()y f x 在 x 點(diǎn)可導(dǎo)，在 x 點(diǎn)的彈性就存在。 2 ） 0 xx Ey Ex = 0 () xx fx x y 例 1 5 . 已知生產(chǎn)某產(chǎn)品 q 件的成本為 2 C 90 00 40 0.0 01qq ( 元 ) ， 試求： (1) 邊際成本函數(shù)； (2) 產(chǎn)量為 1000 件時(shí)的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義； 解 ： (1) 邊際成本函數(shù) C 4 0 0 . 0 0 2 q (2) 產(chǎn)量為 1000 件時(shí)的邊際成本： C ( 1 0 0 0) 4 0 0 . 0 0 2 1 0 0 0 6 0 . 它表示當(dāng)產(chǎn)量為 1000 件時(shí)，再生產(chǎn) 1 件產(chǎn)品需要的成本為 60 元； 知識(shí)點(diǎn) ： q 表示某產(chǎn)品產(chǎn)量， ( ) , ( ) , ( )C q R q L q 分別表示 成本函數(shù)、收益函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù) 邊際成本 M C = ()Cq 邊際收益 M R = ()Rq 邊際利潤(rùn) ML = ()Lq 顯然： ( ) ( ( ) () ) )( L q RL q R q CC qq q = M R M C 例 1 6 . 1 、 設(shè) ()S S p 是市場(chǎng)對(duì)某一種商品的供給函數(shù)，其中 p 為商品價(jià)格， S 為 市場(chǎng)供給量，則： () E S p Sp E p S - - 供給價(jià)格彈性 注意 當(dāng) 0p 時(shí) 0s ，所以 0 ES Ep ，說(shuō)明 價(jià)格從 p 上升 1% ， 市場(chǎng)供給量從 ()Sp 增加 ES Ep 個(gè)百分點(diǎn) 2 . 設(shè) ()D D p 是市場(chǎng)對(duì)某一種商品的需求函數(shù)，其中 p 為商品價(jià)格， D 為 市場(chǎng)需求量，則： () E D p Dp E p D - 需求價(jià)格彈性 注意 當(dāng) 0p 時(shí) 0D ，所以 0 ( ) li 0m p D Dp p 負(fù)號(hào)保證： 0 ED Ep ， 需求價(jià)格彈性總是正數(shù) 。 例 1 7 . 設(shè)某商品的需求函數(shù)為 -Q a b p ，其中 p 表示商品價(jià)格， Q 為需求量， a b 為正常數(shù)，則需求量對(duì)價(jià)格的彈性 EQ EP （ ） 20 05.10 A. b a b p B. b a b p C. bp a b p D. bp a b p 解 ： ( ) ( ) - E Q p p p b Q p b E P Q a b p a b p 2.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)形態(tài)方面的應(yīng)用 函數(shù)的凹凸性，單調(diào)性， 極值最值 理論基礎(chǔ)：微分中值定理 例 1 8 . 函數(shù) 2 ( ) 4 5f x x x 在區(qū)間 0 , 4 是否滿足羅爾定理的條件，若 滿足，求出使 ( ) 0f 的點(diǎn) 知識(shí)點(diǎn)： 羅爾定理 若函數(shù) ()fx 滿足： (1) 在閉區(qū)間 , ab 連續(xù)； (2 ) 在開(kāi)區(qū)間 ( , )ab 可導(dǎo) (3 ) ( ) ( )f a f b ， 則在 ( , )ab 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使 ( ) 0f 拉格朗日 (La gran ge) 中值定理 若函數(shù) ()fx 滿足： (1) 在閉區(qū)間 , ab 連續(xù)； (2) 在開(kāi)區(qū)間 ( , )ab 可導(dǎo) 則在 ( , )ab 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使 ( ) ( ) () f b f a f ba 解 ： ()fx 在 0 , 4 連續(xù)且可導(dǎo)，又 ( 0 ) ( 4 ) 5ff 故 ()fx 在 0 , 4 滿足羅爾定理的條件由于 ( ) 2 4f x x 令 ( ) 0fx ，得 2x ，即點(diǎn) 2 。 例 1 9 . 函數(shù) - x y e x 在區(qū)間 ( - 1,1 ) 內(nèi)（ ） 200 5 年 1 月 A. 單調(diào)減小 B. 單調(diào)增加 C. 不增不減 D. 有增有減 知識(shí)點(diǎn)： 設(shè)函數(shù) ()y f x 在 , ab 上連續(xù) ， 在 ( , )ab 上可導(dǎo) ， ( 1) 若在 ( , )ab 內(nèi) ( ) 0fx ， 則 ()y f x 在 , ab 上單調(diào)增加 。 ( 2) 若在 ( , )ab 內(nèi) ( ) 0fx ， 則 ()y f x 在 , ab 上單調(diào)減少 。 解： 因?yàn)?- 1 ( 1 ) 0, ( 1 , 1 ) xx y e e x 所以應(yīng)該選 A 例 2 0 . 試確定函數(shù) 8 2yx x 的單調(diào)區(qū)間 。 2005 年 7 月 知識(shí)點(diǎn)： 求單調(diào)區(qū)間 一階導(dǎo)數(shù)為零（ 駐點(diǎn) ）或不存在的點(diǎn)可能恰好是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)， 這些分界點(diǎn)將函數(shù)的定義域分劃成若干個(gè)部分單調(diào)區(qū)間。 解 ： 當(dāng) 0 x 時(shí) ， 函數(shù)無(wú)定義 ， 故函數(shù)在 0 x 處不可導(dǎo) ； 當(dāng) 0 x 時(shí) ， 導(dǎo)函數(shù)為 2 2 2 2 8 2 8 2 ( 2 ) ( 2 ) 2 x x x y x x x 令 0y 得 ： 2x 于是 ， 點(diǎn) 2 , 0 , 2x 將函數(shù)定義域 ( 0 x ) 分劃成四個(gè)區(qū)間 ( , 2 ) 、 ( 2 , 0 ) 、 ( 0 , 2 ) 、 ( 2 , ) ， 函數(shù)在這四個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性如下 ： 在 ( , 2 ) 上 ， 0y ， 函數(shù) y 單增 ； 在 ( 2 , 0 ) 上 ， 0y ， 函數(shù) y 單減 。 在 ( 0 , 2 ) 上 ， 0y ， 函數(shù) y 單減 ； 在 ( 2 , ) 上 ， 0y ，函數(shù) y 單增 。 例 2 1 . 求 曲線 2 3 5 3 5y x x x 凹 凸 區(qū)間 和拐點(diǎn) 2005.1 0 知識(shí)點(diǎn)： 定理 設(shè)有曲線 : ( ) ( )C y f x x I ， (1) 若 ( ) 0 , ( )f x x I ，則曲線 C 是凹的； (2) 若 ( ) 0 , ( )f x x I ， 則曲線 C 是凸的； 拐點(diǎn)： 曲線弧 ()y f x 的凹弧與凸弧的分界點(diǎn)。 確定曲線拐點(diǎn)的方法 ： 1 . 求出 ()fx 在 I 上為零或不存在的點(diǎn) ； 2 . 這些點(diǎn)將區(qū)間 I 劃分成若干個(gè)部分區(qū)間 ， 確定 曲線 ()y f x 在每個(gè)部分區(qū)間上的凹凸性 ； 3 . 若在兩個(gè)相鄰的部分區(qū)間上 ， 曲線的凹凸性相反 ， 則此分界點(diǎn)是拐點(diǎn) ； 否則不是拐點(diǎn) 。 解： 2 3 1 0 3 , 6 1 0y x x y x 5 6 10 0 3 y x x 令 得 5 3 x 時(shí) ， 0y ， 5 ( , ) 3 為凸區(qū)間， 5 3 x 時(shí) 0y ， 5 ( , ) 3 為凹區(qū)間， 5 2 0 ( , ) 3 2 7 為拐點(diǎn) 例 2 2 求函數(shù) ( ) s i n c o sf x x x 在 0 , 2 上的極值 知識(shí)點(diǎn) ： 函數(shù)的極值，駐點(diǎn) 連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn) 求函數(shù)的極值的步驟： 先求出駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)（可疑的極值點(diǎn)）， 再利用 第一充分條件，第二充分條件 判斷可疑點(diǎn)是否為極值點(diǎn) 函數(shù)取得極值的第一充分條件 設(shè)函數(shù) ()fx 在點(diǎn) 0 x 的某個(gè)鄰域 0 ( , )Ux 內(nèi)連續(xù)，在去心鄰域 0 ( , ) o Ux 內(nèi) 可導(dǎo) ， ( 1 ) 、當(dāng) 00 ( , )x x x 時(shí)， ( ) 0fx ， 00 ( , )x x x 時(shí)， ( ) 0fx ， 則 0 ()fx 為 ()fx 的極大值 ( 2 ) 、當(dāng) 00 ( , )x x x ， ( ) 0fx ， 00 ( , )x x x 時(shí)， ( ) 0fx ， 則 0 ()fx 為 ()fx 的極小值 函數(shù)取得極值的第二充分條件 設(shè)函數(shù) ()fx 在點(diǎn) 0 x 處具有二階導(dǎo)數(shù) ， 且 0 ( ) 0fx 、 0 ( ) 0fx ， 則 (1) 、當(dāng) 0 ( ) 0fx 時(shí) ， 函數(shù) ()fx 在 0 x 處取得極大值 ； (2) 、當(dāng) 0 ( ) 0fx 時(shí) ， 函數(shù) ()fx 在 0 x 處取得極小值 。 求函數(shù) ( ) s i n c o sf x x x 在 0 , 2 上的極值 解 ( ) c o s s i nf x x x ( ) s i n c o sf x x x 令 ( ) 0fx ， 得 c o s sin 0 xx 即 t an 1x 所以駐點(diǎn)為： 12 5 , 44 xx 2 0 2 44 ff 為極大值； 55 2 0 2 44 ff 為極小值； 例 23 、 求 ( ) 2f x x x 在區(qū)間 0 , 2 上的最大值與最小值 知識(shí)點(diǎn)： 函數(shù)取得最值的點(diǎn)只能是區(qū)間的端點(diǎn)或 開(kāi)區(qū)間內(nèi)可疑的極 值點(diǎn) （ 導(dǎo)數(shù)為零、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn) ） 。 計(jì)算函數(shù)在這些點(diǎn)處 的函數(shù)值 ， 比較它們的大小就可得到函數(shù)的最值 。 解 ： 1 1 1 ( ) 1 2 1 , 0 2 f x x xx 令 ( ) 0fx ，得駐點(diǎn) 1x 由于 ( 0 ) 0f ， ( 1 ) 1f ， ( 2) 2 2 2f 比較可知， ()fx 在 0 , 2 上的最大值為 ( 0 ) 0f ，最小值為 ( 1 ) 1f 例 2 4 證明： 0 x 時(shí)， sinxx . 2006 年 1 月 知識(shí)點(diǎn)： 利用單調(diào)性證明不等式。 證明 ： 令 ( ) s i nf x x x ，則 ( ) 1 c o s 0 , 0f x x x 所以 ()fx 在 0 x 單調(diào)遞增 ， ( ) ( 0 ) 0f x f ， 即 sinxx 注意： 單調(diào)性是證明不等式的首選方法 例 2 5 證明：當(dāng) 0 x 時(shí)，有 1 2 xx 1 2 20 05 年 7 月 知識(shí)點(diǎn)： 1 、利用最值證明不等式。 2 、 設(shè)函數(shù) ()fx 在區(qū)間 I 連續(xù)，若 ()fx 在 I 內(nèi)部（不包含端點(diǎn)） 只有一個(gè)駐點(diǎn) 或不可導(dǎo)的點(diǎn) 0 x ， 則 當(dāng) 0 ()fx 為極小值時(shí)， 0 m i n ( ) ( ) xI f x f x 最小值 當(dāng) 0 ()fx 為極大值時(shí)， 0 ma x ( ) ( ) xI f x f x 最大值 證明： 令 11 () 22 f x x x 則 0 0 11 1 1 1 ( ) ( ) 22 012 xx fx xxx 駐點(diǎn) 1x 唯一 ( ) 0, 1 fx 在 上單調(diào)增， 1 , ) 上單調(diào)減， 故 ( 1 )f 為極大值即最大值 所以 ( ) ( 1 ) 0f x f 即 1 2 xx 1 2 例 2 6 求函數(shù) 22 2 4 2 9z x xy y x y 的駐點(diǎn) 20 0 5 年 1