《數(shù)列的極限》PPT課件

第二節(jié) 數(shù)列的極限 一 、 數(shù)列極限的定義 二 、 數(shù)列極限 的性質 三 、 收斂準則 上一頁 下一頁 返回 “割之彌細，所 失彌少，割之又 割，以至于不可 割，則與圓周合 體而無所失矣” 1、割圓術： 播放 劉徽 概念的引入 上一頁 下一頁 返回 R 正六邊形的面積 1A 正十二邊形的面積 2A 正 形的面積 126 n nA , 321 nAAAA S 上一頁 下一頁 返回 2、截丈問題： “一尺之棰，日截其半，萬世不竭” ;211 X第一天截下的杖長為 ;2 121 22 X為第二天截下的杖長總和 ;2 12 121 2 nnXn 天截下的杖長總和為第 nnX 2 11 1 上一頁 下一頁 返回 一、數(shù)列極限的定義 定義 : 按自然數(shù) ,3,2,1 編號依次排列的一列數(shù) , 21 n xxx ( 1) 稱為 無窮數(shù)列 , 簡稱 數(shù)列 . 其中的每個數(shù)稱為數(shù) 列的 項 , nx 稱為 通項 ( 一般項 ) . 數(shù)列 ( 1) 記為 nx . 例如 ;,2,8,4,2 n ;,21,81,41,21 n 2 n 21 n 上一頁 下一頁 返回 注意： 1.數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列 .可看作一 動點在數(shù)軸上依次取 ., 21 nxxx 1x 2x3x 4x nx 2.數(shù)列是整標函數(shù) ).( nfx n ;,)1(,1,1,1 1 n)1( 1 n ;,)1(,34,21,2 1 nn n )1( 1 n n n ,333,33,3 上一頁 下一頁 返回 .)1(1 1 時的變化趨勢當觀察數(shù)列 nn n 播放 數(shù)列的極限 上一頁 下一頁 返回 問題 : 當 無限增大時 , 是否無限接近于某一 確定的數(shù)值 ?如果是 ,如何確定 ? nxn .1)1(1, 1 無限接近于無限增大時當 nxn n n 問題 : “無限接近”意味著什么 ?如何用數(shù)學語言 刻劃它 . 1nx nnn 11)1( 1 通過上面演示實驗的觀察 : 上一頁 下一頁 返回 ,1001給定 ,1 0 011 n由 ,100 時只要 n ,10011 nx有 ,10001給定 ,1000 時只要 n ,10000 11 nx有,1 0 0 0 01給定 ,10000 時只要 n ,100011 nx有 ,0給定 ,)1( 時只要 Nn .1 成立有 nx 上一頁 下一頁 返回 定義 如果對于任意給定的正數(shù) (不論它多么 小 ), 總存在正數(shù) N , 使得對于 N n 時的一切 n x , 不等式 a x n 都成立 , 那末就稱常數(shù) a 是數(shù)列 n x 的極限 , 或者稱數(shù)列 n x 收斂于 a , 記為 , lim a x n n 或 ). ( n a x n 如果數(shù)列沒有極限 ,就說數(shù)列是發(fā)散的 . 注意： ;.1 的無限接近與刻劃了不等式 axax nn .2 有關與任意給定的正數(shù) N 上一頁 下一頁 返回 x1x2x 2Nx1Nx 3x 幾何解釋 : 2a a a .)( ,),(, 落在其外個至多只有只有有限個 內都落在所有的點時當 N aaxNn n :定義N 其中 ;: 每一個或任給的 .: 至少有一個或存在 .,0,0 lim axNnN ax n nn 恒有時使 上一頁 下一頁 返回 數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法 . 例 1 .1)1(l i m 1 n n n n 證明 證 1nx 1 )1( 1 n n n n 1 ,0任給 ,1 nx要 ,1 n只要 ,1n或 所以 , ,1N取 ,時則當 Nn 1)1( 1 n n n就有 .1)1(lim 1 n n n n 即 注意： 上一頁 下一頁 返回 例 2 .lim),( CxCCx n nn 證明為常數(shù)設 證 Cxn CC ,成立 ,0任給 所以 , 0 ,n對于一切自然數(shù) .lim Cx nn 說明 :常數(shù)列的極限等于同一常數(shù) . 小結 : 用定義證數(shù)列極限存在時 ,關鍵是任意給 定 尋找 N,但不必要求最小的 N. ,0 上一頁 下一頁 返回 例 3. 已知 證明 證 : 0nx 2)1( 1 n 11 n ,)1,0( 欲使 只要 ,11 n 即 n 取 ,11 N 則當 Nn 時 , 就有 ,0 nx 故 0)1( )1(limlim 2 n x n nnn 故也可取 1N 也可由 2 )1( 10 nnx .11 N 與 有關 , 但不唯一 . 不一定取最小的 N . 說明 : 取 11 N 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 上一頁 下一頁 返回 例 4 .1,0l i m qq nn 其中證明 證 ,0任給 ,0 nn qx ,lnln n ,lnln qN 取 ,時則當 Nn ,0 nq就有 .0lim nn q ,0q若 ;00limlim nnn q則 ,10 q若 ,lnln qn 上一頁 下一頁 返回 23 ba 22 abnab ax 二、 數(shù)列極限的性質 證 : 用反證法 . 及 且 .ba 取 因 ,lim ax n n 故存在 N1 , 從而 2 banx 同理 , 因 ,li m bx n n 故存在 N2 , 使當 n N2 時 , 有 2 banx 1. 收斂數(shù)列的極限唯一 . 使當 n N1 時 , 假設 2 abn b a 23b 從而 2 banx 矛盾 . 因此收斂數(shù)列的極限必唯一 . 則當 n N 時 , ,m a x 21 NNN 取 故假設不真 ! nx 滿足的不等式 上一頁 下一頁 返回 2、 有界性 定義 : 對數(shù)列 nx , 若存在正數(shù) M , 使得一切自 然數(shù) n , 恒有 Mx n 成立 , 則稱數(shù)列 nx 有界 , 否則 , 稱為無界 . 例如 , ;1 n nx n數(shù)列 .2 nnx 數(shù)列 數(shù)軸上對應于有界數(shù)列的點 nx 都落在閉區(qū)間 , MM 上 . 有界 無界 上一頁 下一頁 返回 定理 2 收斂的數(shù)列必定有界 . 證 ,li m ax nn 設 由定義 , ,1取 ,1, axNnN n時恒有使得當則 .11 axa n即有 ,1,1,m a x 1 aaxxM N記 , Mxn n 皆有則對一切自然數(shù) .有界故 nx 注意： 有界性是數(shù)列收斂的必要條件 . 推論 無界數(shù)列必定發(fā)散 . 上一頁 下一頁 返回 例 5 .)1( 1 是發(fā)散的證明數(shù)列 nnx 證 ,li m ax nn 設 由定義 , ,21對于 ,21, 成立有時使得當則 axNnN n ),21,21(, aaxNn n時即當 區(qū)間長度為 1. ,1,1 兩個數(shù)無休止地反復取而 nx 不可能同時位于 長度為 1的 區(qū)間內 . ., 但卻發(fā)散是有界的事實上 nx 上一頁 下一頁 返回 3. 收斂數(shù)列的保號性 . 若 且 時 , 有 ,)0( .)0( 證 : 對 a 0 , 取 推論 : 若數(shù)列從某項起 )0( .)0( (用反證法證明 ) 上一頁 下一頁 返回 4、子數(shù)列的收斂性 的子數(shù)列（或子列）的一個數(shù)列稱為原數(shù)列 到中的先后次序，這樣得這些項在原數(shù)列 保持中任意抽取無限多項并定義：在數(shù)列 n n n x x x , 21 ni xxxx , 21 knnn xxx .knxxx kxx kknn nn k kk 項，顯然，中卻是第在原數(shù)列而 項，是第中，一般項在子數(shù)列注意： 例如， 上一頁 下一頁 返回 定理 4 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂且極限 相同 證 的任一子數(shù)列是數(shù)列設數(shù)列 nn xx k ,l i m ax nn .,0,0 axNnN n恒有時使 ,NK 取 ,時則當 Kk .Nnnn Kkk . ax kn .l i m ax knk 證 畢 上一頁 下一頁 返回 定義 5 數(shù)列 xn的項若滿足 x1x2 xnxn+1 ,則稱 數(shù)列 xn為單調增加數(shù)列 ; 若滿足 x1x2 xnxn+1 ,則稱數(shù)列 xn為單調 減少數(shù)列 ; 當上述不等式中等號都不成立時 ,則分別稱 xn 是 嚴格單調增加和嚴格單調減少數(shù)列 . 收斂準則 1 單調增加且有上界的數(shù)列必有極限 ; 單調減少有下界的數(shù)列必有極限 . 三、收斂準則 上一頁 下一頁 返回 .) 1 1( ,) 1 1 1() 1 1( , 1 1 1, 1 1 )1( )(1( )( ,0 .) 1 1( .) 1 1(5 1 1 1111 是單調增加的即數(shù)列 得代入取 即 有時當 單調增加且有上界只需證明證 收斂證明數(shù)列例 n nn nn n nnnnnn n n n nn n b n a bnabna aban babbaababa ba n n 上一頁 下一頁 返回 上一頁 下一頁 返回 azy nnnn limlim)2( 2. 夾逼準則 (準則 2) ),2,1()1( nzxy nnn ax nn lim 證 : 由條件 (2) , ,0 ,1N 當 時 , 當 時 , 令 ,m a x 21 NNN 則當 Nn 時 , 有 由條件 (1) nnn zxy a a 即 , ax n 故 .li m ax n n ,2N 上一頁 下一頁 返回 例 5. 證明 證 : 利用夾逼準則 . nnnnn 222 1211 2 2 n n 且 2 2 l im n n n 21 1lim n n 1 nn lim nnnn 222 1211 1 由 上一頁 下一頁 返回 五、小結 數(shù)列 :研究其變化規(guī)律 ; 數(shù)列極限 :極限思想、精確定義、幾何意義 ; 收斂數(shù)列的性質 : 唯一性、有界性、保號性 、 子數(shù)列的收斂性 . 數(shù)列收斂的準則 : 單調有界準則、夾逼準則 . 上一頁 下一頁 返回 思考題 指出下列證明 1lim n n n 中的錯誤 證明 要使 ,1 n n 只要使 )1ln (ln1 nn 從而由 2ln )1ln (ln )1ln (1 nn 得 ,0 取 1)1l n ( 2ln N 當 時，必有 成立 Nn 10 n n 1lim nn n 上一頁 下一頁 返回 思考題解答 1n n )1ln (ln1 nn （等價） 證明中所采用的 2ln )1ln (ln )1ln (1 nn 實際上就是不等式 )1ln (ln2ln n nn 即證明中沒有采用“ 適當放大 ” 的值 nnln 上一頁 下一頁 返回 從而 時， 2ln )1ln ( Nn 僅有 成立， )1ln (2ln n 但不是 的充分條件 )1ln (ln n n 反而縮小為 n2ln 上一頁 下一頁 返回 一、 利用數(shù)列極限的定義證明 : 1 、 2 3 12 13 li m n n n ； 2 、 19. . . .9 9 9.0lim n 二、 設數(shù)列 n x 有界，又 0lim n n y ， 證明： 0lim nn n yx . 練 習 題