微積分學(xué)PPt標(biāo)準(zhǔn)課件15-第15講導(dǎo)數(shù)概念

高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 腳本編寫(xiě)、教案制作：劉楚中 彭亞新 鄧愛(ài)珍 劉開(kāi)宇 孟益民 第四章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分本章學(xué)習(xí)要求： 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念。熟悉導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的可 導(dǎo)、可微、連續(xù)之間的關(guān)系。 熟悉一階微分形式不變性。 熟悉導(dǎo)數(shù)和微分的運(yùn)算法則，能熟練運(yùn)用求導(dǎo)的基本公式、 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法、隱函數(shù)求導(dǎo)法、反函數(shù)求導(dǎo)法、參數(shù)方程 求導(dǎo)法、取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法等方法求出函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)和微 分。 了解 n 階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求常見(jiàn)函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)。 熟悉羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能較好運(yùn)用上述定理解決有關(guān)問(wèn)題（函數(shù)方 程求解、不等式的證明等）。 掌握羅必塔法則并能熟練運(yùn)用它計(jì)算有關(guān)的不定式極限。 第 一 節(jié) 導(dǎo) 數(shù) 的 概 念一 .導(dǎo) 數(shù) 產(chǎn) 生 的 背 景二 .導(dǎo) 數(shù) 的 概 念三 .導(dǎo) 數(shù) 存 在 的 必 要 條 件四 . 函 數(shù) 的 增 量 與 導(dǎo) 數(shù) 的 關(guān) 系 一 .導(dǎo) 數(shù) 產(chǎn) 生 的 背 景 1. 物 理 背 景 2. 幾 何 背 景 1.物 理 背 景在 真 空 中 , 當(dāng) 時(shí) 間 由 t 變 到 t+t 時(shí) , 自 由非 勻 速 運(yùn) 動(dòng) 物 體 的 速 度 問(wèn) 題落 體 所 經(jīng) 過(guò) 的 路 程 為 22 21)(21)()( gtttgtSttS )2(21 2tttg 例1物 體 由 t 到 t + t 一 段 的 平 均 速 度 是ttt tSttStV )( )()()( t tttg )2(21 2tggt 21 求 物 體 在 時(shí) 刻 t 的 瞬 時(shí) 速 度 vt , 就 是t tSttStVV ttt )()(lim)(lim 00 gttggt t )21(lim0令 t0 的 極 限 過(guò) 程 ：從 物 理 學(xué) 看 , 當(dāng) t0 時(shí) , 應(yīng) 該 有 . 0)()( tSttS這 是 否 也 說(shuō) 明 了 一 個(gè) 什 么 問(wèn) 題 ? Pl l力 學(xué) 中 的 線 密 度 問(wèn) 題設(shè) 有 一 根 可 視 為 直 線 的 棒 上 非 均 勻 地 分 布 著 質(zhì) 量 .直 線 的 一 端 為 原 點(diǎn) , 線 段 OP 的 長(zhǎng) 度 為 l, 質(zhì) 量 為 m,則 m 是 l 的 函 數(shù) ： m = f (l ). 求 點(diǎn) P 處 的 線 密 度 .例2 O P 給 l 一 個(gè) 增 量 l, 則 l 這 一 段 ( PP ) 的 平 均 密 度 是而 在 P 點(diǎn) 處 的 線 密 度 就 是 l 0 平 均 密 度 的 極 限 ： 0lim l lml 0lim l lfllfl )()(lim0 l lfllflm )()(比 較 兩 個(gè) 極 限 式 ：l lfllfl )()(lim0 .)()(lim0 t tSttSt 與 PTPQ PLQ PL 的 極 限 位 置割 線 時(shí)趨 向 點(diǎn)沿 曲 線點(diǎn) 處 點(diǎn) 切 線 為在 點(diǎn)曲 線 平 面 曲 線 上 切 線 的 概 念L P Q T割 線 PQ 切 線 PT切 點(diǎn) 2. 數(shù) 學(xué) 背 景 平 面 曲 線 的 切 線 問(wèn) 題 沿 曲 線 趨 近 于 點(diǎn) A 時(shí) 的 極 限 位 置 .平 面 曲 線 y = f (x) 的 切 線 ：曲 線 在 點(diǎn) A(x0, y0) 處 的 切 線 AT 為 過(guò) 曲 線 上點(diǎn) A 的 任 意 一 條 割 線 AA 當(dāng) 點(diǎn) A(x0+x, y0+ y)O xy )(xfy A A Bx y T切 線 方 程 : , )( 00 xxkyy tank tanlim0 x其 中 , . lim0 xyx (1) 建 立 一 個(gè) 函 數(shù) 關(guān) 系 y = f (x) xI .(2) 求 函 數(shù) 由 x0 到 x0+ x 的 平 均 變 化 率 ：解 決 與 速 度 變 化 或 變 化 率 相 關(guān) 問(wèn) 題 的 步 驟 :(3) 求 x 0 的 極 限 ： ;)()( 00 x xfxxfxy .)()(limlim 0000 x xfxxfxy xx 二 .導(dǎo) 數(shù) 的 概 念設(shè) 函 數(shù) f (x) 在 U(x0) 有 定 義 , 且 x0+x U(x0).則 稱 函 數(shù) f (x) 在 點(diǎn) x0 處 可 導(dǎo) , 極 限 值 a 稱 為 f (x) 在 ,| 0 ay xx ，axxf d )(d 0 . dd 0 axy xx 如 果 極 限 axyx xfxxf xx 0000 lim)()(lim 存 在 , 點(diǎn) x0 處 的 導(dǎo) 數(shù) . 記 為，axf )( 01. 導(dǎo) 數(shù) 的 定 義 k 0為 常 數(shù) .x xfxxfxf x )()(lim)( 0000 x xxfxxfxf x 2 )()(lim)( 0000 xk xfxkxfxf x )()(lim)( 0000 ;)()(lim)( 0 00 0 xx xfxfxf xx 如 果 函 數(shù) f (x) 在 點(diǎn) x0 處 可 導(dǎo) , 則 設(shè) 函 數(shù) f (x) 在 x0 , x0+ ) 內(nèi) 有 定 義 , 若存 在 , 則 稱 a 為 f (x) 在 點(diǎn) x0 處 的 右 導(dǎo) 數(shù) . 記 為2.左 、 右 導(dǎo) 數(shù) ax xfxxfxy xx )()(limlim 0000 .)( 0 axf 設(shè) 函 數(shù) f (x) 在 (x0 , x0 內(nèi) 有 定 義 , 若存 在 , 則 稱 a 為 f (x) 在 點(diǎn) x0 處 的 左 導(dǎo) 數(shù) . 記 為ax xfxxfxy xx )()(limlim 0000 axf )( 0 axf )( 0 axfxf )()( 00好 像 見(jiàn) 過(guò) 面 啊 ！ 3. 導(dǎo) 函 數(shù) x xfxxfxyxf xx )()(limlim)( 00若 x(a, b), 函 數(shù) f (x) 皆 可 導(dǎo) , 則 說(shuō) f (x) 在(a, b) 內(nèi) 可 導(dǎo) . 這 時(shí) f (x) 是 關(guān) 于 x 的 一 個(gè) 新 函 數(shù) ,稱 之 為 f (x) 在 (a, b) 內(nèi) 的 導(dǎo) 函 數(shù) . 通 常 我 們 仍 稱 之為 f (x) 在 (a, b) 內(nèi) 的 導(dǎo) 數(shù) ： 函 數(shù) 在 點(diǎn) x0 I 處 的 導(dǎo) 數(shù) : 0)()( 0 xxxfxf )( , )( bfaf 若 f (x) 在 (a, b) 內(nèi) 可 導(dǎo) , 且 存 在 ,則 稱 f (x )在 a, b 上 可 導(dǎo) , f (x) 稱 為 f (x) 在 a, b 上的 導(dǎo) 函 數(shù) , 簡(jiǎn) 稱 為 導(dǎo) 數(shù) . 先 求 導(dǎo) 、 后 代 值 . 4.導(dǎo) 數(shù) 的 幾 何 意 義 )(tan 0 xfk 此 時(shí) , 切 線 方 程 為 : )( 000 xxxfyy 函 數(shù) f (x) 在 點(diǎn) x0 的 導(dǎo) 數(shù) f ( x0) 就 是 對(duì) 應(yīng) 的 平 面曲 線 y = f (x) 在 點(diǎn) (x0, y0) 處 的 切 線 的 斜 率 k : y O x x0 y = c f (x0) = 0 y O x f (x0) = x0 O xy x0 y O x x0f (x0)不 存 在 f (x0)不 存 在 切 線 平 行 于 x 軸 ： 0)( 0 xf曲 線 y = f (x) 在 點(diǎn) x0 處 的 切 線 可 能 平 行 于 x 軸 、垂 直 于 x 軸 、 或 不 存 在 , 所 反 映 出 的 導(dǎo) 數(shù) 值 是 ：切 線 垂 直 于 x 軸 ： )( 0 xf （ 曲 線 為 連 續(xù) 曲 線 ）在 點(diǎn) x0 處 無(wú) 切 線 ： f (x0) 不 存 在 . 在 任 意 一 點(diǎn) x 處 , 有 x xxxxyk xx 2200 ) (limlim在 點(diǎn) (1, 1) 處 故 所 求 切 線 方 程 為 ： 22 110 xx xkk求 曲 線 y = x2上 任 意 一 點(diǎn) 處 切 線 的 斜 率 , 并 求在 點(diǎn) (1, 1) 處 的 切 線 方 程 . xxxx 2)2(lim0 即 y = 2x 1.y 1= 2(x 1) , 例3解 三 .導(dǎo) 數(shù) 存 在 的 必 要 條 件設(shè) f (x) 在 點(diǎn) x0 可 導(dǎo) , 即 有于 是 ,)()()( 00 0 xfxx xfxf 0 000 )()(limlim)( 0 xx xfxfxyxf xxx )( 0 0 xx故 )()()()( 0000 xxxxxfxfxf )(lim0 xfxx )( 0 xf )()()(lim 00000 xxxxxfxfxx . )( , 0 處 連 續(xù)在 點(diǎn)函 數(shù)就 是 說(shuō) xxf 函 數(shù) f (x) 在 點(diǎn) x0可 導(dǎo) 的必 要 條 件 是 它 在 點(diǎn) x0 連 續(xù) .只 是 必 要 條 件 ！ y = | x | 在 點(diǎn) x = 0 連 續(xù) , 但 不 可 導(dǎo) .xxf x |0|0|lim)0( 0 xxf x |0|0|lim)0( 0故 f (0) 不 存 在 . y = | x |O xy1|lim0 xxx 1|lim 0 xxx 例4解 . 0 | , 0 |lim 00 處 連 續(xù)在 點(diǎn)故但 xxyyx xx 在 點(diǎn) x = 0 處 的 連 續(xù) 性 和 可 導(dǎo) 性 .,1|1sin | x 01sinlim0 xxnx00 xy又 當(dāng) nN 時(shí) , 函 數(shù) 在 在 點(diǎn) x = 0 處 連 續(xù) .)( 0 , 0 0 , 1sin Znxxxxy n討 論例5解)( Zn 當(dāng) n =1 時(shí) , xxy xx limlim 00 不 存 在 ,故 n =1 時(shí) , 函 數(shù) 在 x = 0 處 不 可 導(dǎo) .當(dāng) n 1 時(shí) , xxy xx limlim 00故 n 1時(shí) , 函 數(shù) 在 x = 0 處 可 導(dǎo) . 其 導(dǎo) 數(shù) 為 . 00 xy xx 1sinlim0 01sinlim 1 0 xxnx xx 1sin xxn 1sin f (x) 在 x = 0 處 可 導(dǎo) ,從 而 f (x) = 1 + bx, x0e x, x 0 f (0) = 1 f (x) 在 x = 0 處 連 續(xù) , f (0) = a .例6解 . 1 , 1lim)(lim 00 aexf xxx 故又 設(shè) a + bx, x0求 a, b 之 值 .e x, x 0y = 在 x = 0 可 導(dǎo) , 由 可 導(dǎo) 性 ：故 b = 1, 此 時(shí) 函 數(shù) 為f (x) = 1 x , x 0e x, x 0 x ex fxf xxx 1lim)0()0(lim 00 bxxbx fxf xx 1)1(lim)0()0(lim 00 1lim0 xxx .1 ,1 ba 四 . 函 數(shù) 的 增 量 與 導(dǎo) 數(shù) 的 關(guān) 系 可 表 示 為 y = f (x0) x + o(x) .若 函 數(shù) f (x) 在 點(diǎn) x0 處 有 ( 有 限 ) 導(dǎo) 數(shù) f (x0), 則 函 數(shù) f (x) 在 該 點(diǎn) 的 增 量 y = f (x0+ x) f (x0) ,lim)( 00 xyxf x 得 ,)( 0 xfxy 0 ) 0( 時(shí)x故 )o()()( 00 xxxfxxxfy 證由 則 函 數(shù) f (x) 在 點(diǎn) x0 處 有若 函 數(shù) f (x) 在 點(diǎn) x0 處 有 (有 限 )導(dǎo) 數(shù) f (x0),可 近 似 表 示 為 ： y f (x0)x (1) 函 數(shù) f (x) 在 該 點(diǎn) 的 增 量 y = f (x0+ x) f (x0)xxfxfxxf )()()( 000(2) ; ) )U( ( 00 xxx )()()( 000 xxxfxfxf )U( 0 xx 推論 , 2xy設(shè)則 )o(2)o( xxxxxyy 于 是 xxxyy 2例7 . 2)( 2 xxy