微積分學(xué)PPt標(biāo)準(zhǔn)課件33-第33講一元微積分應(yīng)用

高 等 院 校 非 數(shù) 學(xué) 類 本 科 數(shù) 學(xué) 課 程 腳 本 編 寫 ： 劉 楚 中 教 案 制 作 ： 劉 楚 中 第 六 章 一 元 微 積 分 的 應(yīng) 用本 章 學(xué) 習(xí) 要 求 ： 熟 練 掌 握 求 函 數(shù) 的 極 值 、 最 大 最 小 值 、 判 斷 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 、判 斷 函 數(shù) 的 凸 凹 性 以 及 求 函 數(shù) 拐 點(diǎn) 的 方 法 。 能 運(yùn) 用 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 、 凸 凹 性 證 明 不 等 式 。 掌 握 建 立 與 導(dǎo) 數(shù) 和 微 分 有 關(guān) 的 數(shù) 學(xué) 模 型 的 方 法 。 能 熟 練 求 解相 關(guān) 變 化 率 和 最 大 、 最 小 值 的 應(yīng) 用 問 題 。 知 道 平 面 曲 線 的 弧 微 分 、 曲 率 和 曲 率 半 徑 的 概 念 ， 并 能 計(jì) 算平 面 曲 線 的 弧 微 分 、 曲 率 、 曲 率 半 徑 和 曲 率 中 心 。 掌 握 建 立 與 定 積 分 有 關(guān) 的 數(shù) 學(xué) 模 型 的 方 法 。 熟 練 掌 握 “ 微 分 元 素 法 ” ， 能 熟 練 運(yùn) 用 定 積 分 表 達(dá) 和 計(jì) 算 一些 幾 何 量 與 物 理 量 ： 平 面 圖 形 的 面 積 、 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 的 側(cè) 面 積 、平 行 截 面 面 積 為 已 知 的 幾 何 體 的 體 積 、 平 面 曲 線 的 弧 長(zhǎng) 、 變力 作 功 、 液 體 的 壓 力 等 。 能 利 用 定 積 分 定 義 式 計(jì) 算 一 些 極 限 。 第 六 章 一 元 微 積 分 的 應(yīng) 用第 八 節(jié) 微 積 分 在 物 理 學(xué) 中 的 應(yīng) 用一 、 變 力 沿 直 線 作 功二 、 液 體 的 靜 壓 力三 、 連 續(xù) 函 數(shù) 的 平 均 值 . , : )( 的 變 化 而 變 化值大 小 隨軸 正 向其 方 向 沿設(shè) 變 力 xxxf , )( 軸 正 向 運(yùn) 動(dòng) 到 點(diǎn)處 沿從 點(diǎn)推 動(dòng) 物 體變 力 xaxxf : )( 所 作 的 功 為處點(diǎn) babx x xx O xy )(xfa b .0 , ,( xbax , 可 視 物 體 在 區(qū) 間很 小 時(shí)當(dāng) x , )( 其 值 為作 功按 常 力xf , , 處 的 值以 變 力 在 點(diǎn)上 xxxx .)( xxfW .d)(d : , xxfW 微 分 元 素 為變 力 沿 直 線 作 功 問 題 的于 是 ,性由 于 功 對(duì) 區(qū) 間 具 有 可 加 :的 功 為 . , : bax積 分 區(qū) 間 .d)(d : xxfW 微 分 元 素 .d)(d : baba xxfWW功 的 計(jì) 算 O xy a bW )(xfy )( 沿 直 線 移 動(dòng) 物 體 所 做故 變 力 xf 變 力 作 功 的 幾 何 表 示 例 1 解 , )( 1 ,)( 20.0 充 滿 了 壓 強(qiáng)的 氣 缸 內(nèi)長(zhǎng) 為直 徑 為 mm , . )/( 108.9 25 若 保 持 溫 度 不 變的 某 種 氣 體為 mN . )( 5.0 使 氣 體 壓 縮 所 作 的 功求 推 動(dòng) 活 塞 前 進(jìn) mxO x 5.0 1? .建 立 坐 標(biāo) 系 如 圖 所 示 .)1.0( 2S活 塞 的 面 積 為 , ) Boyle ( 定 律根 據(jù) 波 義 耳 , VP與 體 積氣 體 的 壓 強(qiáng)恒 溫 下 :的 乘 積 為 常 數(shù) ) ( . 為 常 數(shù)kkPV .)1( : , SxVx 壓 縮 后 氣 體 的 體 積 為處 時(shí)當(dāng) 活 塞 移 動(dòng) 到 xO 5108.9 1 ,所 以 )( VkxP )1( SxK , )1.0()1( 2 x k 為處 作 用 在 活 塞 上 的 壓 力從 而 在 x . 1 )( xkSPxF 2)1.0(SxO x 5.0 1?xx , , ,0 視 壓上在取 xxxx , )( 則 在 該 小 區(qū) 間 上 壓 縮 氣不 變力 xF 體 作 的 功 為 . )( xxFW ,108.9)0( , 0 , 5 故氣 體 的 壓 強(qiáng)時(shí)當(dāng)由 已 知 條 件 Px .9800)1.0(108.9 25 0 xPVk : , 所 作 的 功 為所 求 的 使 氣 體 體 積 壓 縮于 是 5.0 0 5.0 0 d1 9800 d)( xxxxFW )1ln(9800 5.0 0 x ).( 1013.22ln9800 4 焦 耳 1 dd)(d : xxkxxFW 微 分 元 素 9800k 例 2 解 , )( 10 了 水的 半 球 形 的 水 池 內(nèi) 裝 滿半 徑 為 m .所 作 的 功求 將 池 內(nèi) 的 水 全 部 抽 干Ox y10 x ) ,( yxPxx .建 立 坐 標(biāo) 系 如 圖 所 示 , 平 面 上 的 截 面 為 一 半 圓球 在 yx 其 方 程 為 .10222 yx ,0 ,10 ,0 則 微 分 元 素 為 xx )d(d 2 xxyW .d)10( 22 xx ).g/( 1000 3mk水 的 比 重 體 積 位 移 比 重 , , 薄 片 的上在 xxx d , 2 為為 底 面 積體 積 用 以 xy .高 的 圓 柱 體 的 體 積 代 替 , 所 作 的 功 為將 水 池 中 的 水 全 部 抽 干從 而 d)10(d 10 0 2210 0 xxxWW ) 4150 ( 10 0 42 xx 2500 .)( 107854 3 mkg :回 顧 有 關(guān) 的 知 識(shí) . , ) 1 ( 總 是 垂 直 于 物 體 的 表 面液 體 對(duì) 物 體 的 壓 力 : , )2( 液 體 的 壓 強(qiáng) 為處在 液 面 下 深 h ). ( 是 液 體 的 比 重 hP , )3( 各 個(gè) 方 向 上 產(chǎn) 生 的處液 體 在 其 內(nèi) 部 任 意 一 點(diǎn) .壓 強(qiáng) 相 同 . , )4( 受 力 面 積壓 強(qiáng)壓 力常 數(shù) 時(shí)在 壓 強(qiáng) P 例 3 解O yx2 m m 2m 3x . , , 尺 寸 如 圖 所 示擋 水有 一 等 腰 梯 形 閘 門 直 立某 水 渠 中 . , 閘 門 所 承 受 的 壓 力求 當(dāng) 水 面 齊 渠 道 頂 端 時(shí) .建 立 坐 標(biāo) 系 如 圖 所 示 ,0 ,2 ,0 則 有 xx 15.1 122 yx2 x2x 15.1 1yxy ). 23 (21 xy 即 有 ：故 圖 中 陰 影 部 分 面 積 為 d2d xySS .d)23( xx .2 ,0 x積 分 區(qū) 間 ： SxP d)(d : 微 分 元 素 .d)23( xxx ).( 4700d)23( : 2 0 kgxxxP 計(jì) 算 壓 力 個(gè) 數(shù) 值 的 平 均 值 為的離 散 變 量 nu . 21 n uuuu n , , )( 如 何 計(jì) 算上 連 續(xù) 取 值在 區(qū) 間如 果 函 數(shù) baxf ? , )( 上 的 平 均 值在 區(qū) 間函 數(shù) baxf .) ,()( baRxf 設(shè) ),2 ,1( , : , 1 nixxnba ii 個(gè) 小 區(qū) 間等 分 為將 區(qū) 間 . nab每 個(gè) 小 區(qū) 間 的 長(zhǎng) 度 均 為 )( 1 , , 11 可 作 為 函 數(shù)則的 中 點(diǎn)為 區(qū) 間取 ni iiii fnxx . , )( 上 的 平 均 值 的 近 似 值在 區(qū) 間 baxf 端 點(diǎn) 也 可 , )( 上 的 平 均 值 定 義 為在我 們 將 函 數(shù) baxf .)(1lim 1 ni in fny ?嗎這 里 能 與 積 分 聯(lián) 系 起 來 : )(1lim 1 變 形將 表 達(dá) 式 ni in fny )(1lim 1 ni in nabfaby )(1lim 1 ni iin xfab , 1 的 長(zhǎng) 度ii xx nabxi .d)(1 ba xxfab , )( ), ,()( 上 的 平 均 值 為在則 baxfbaRxf . d)( ab xxfy ba ), ,()( 則若 baCxf .d)( ab xxfy ba :性 質(zhì) 可 知由 閉 區(qū) 間 上 連 續(xù) 函 數(shù) 的 , , 使 得至 少 存 在 一 點(diǎn) ba .d)()( ab xxff ba .)(d)( abfxxfba 積 分 中 值 定 理)()()( aFbFabF 微 分 中 值 定 理 例 3解 . 0 秒 內(nèi) 的 平 均 速 度秒 到體 在求 作 自 由 落 體 運(yùn) 動(dòng) 的 物 T . tgvt 的 速 度 為已 知 自 由 落 體 在 時(shí) 刻 故 所 求 的 平 均 速 度 為 .21 2110d 0 2 0 TgtgTT ttgv TT