微積分學(xué)的實(shí)際應(yīng)用

T0 x xo xy )(xfy C NM的斜率為割線MN 00tan xx yy ,)()( 0 0 xx xfxf 的斜率為切線MT 0 0 00( ) ( )lim ( ),x x f x f xk f xx x 曲線的切線問(wèn)題 1.自由落體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題0t tttsv 平均速度00tt ss ).(2 0 ttg ,0時(shí)當(dāng)tt 取極限得瞬時(shí)速度 0 0 0 00lim lim limt t t t ts s sv v t t t 2. 交 流 電 路 :電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度.lim)( 0 dtdqtqti t 3. 非 均 勻 的 物 體 :質(zhì)量對(duì)長(zhǎng)度(面積,體積)的導(dǎo)數(shù)為物體 的線(面,體)密度. ?,05.0 ,10問(wèn)面積增大了多少厘米半徑伸長(zhǎng)了厘米的金屬圓片加熱后半徑解 ,2rA 設(shè).05.0,10厘米厘米 rr rrdAA 2 05.0102 ).( 2厘米 00 xxxx dyy .)( 0 xxf 1 邊際函數(shù)的應(yīng)用定義1 ：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I可導(dǎo)，則稱導(dǎo)函數(shù)f(x)為f(x)的邊際函數(shù)。在經(jīng)濟(jì)應(yīng)用上相應(yīng)地有邊際收益，邊際利潤(rùn)，邊際成本等。由導(dǎo)數(shù)的定義知，f(x)是f(x0)在x點(diǎn)的變化率。即當(dāng)x=x0時(shí)，x改變一個(gè)單位，y改變了f(x0)個(gè)單位。如邊際成本C(x 0)表示生產(chǎn)x0個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)，再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，成本增加C(x0)。 這表明當(dāng)生產(chǎn)第901臺(tái)時(shí)所花費(fèi)的成本為1.5元。同時(shí)也說(shuō)明邊際成本與平均成本有區(qū)別。 2 極值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用利用微積分理論中求極值的必要條件和充分條件，可以解決求最小成本，最大利潤(rùn)等經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。某廠每天生產(chǎn)某商品x單位的總成本函數(shù)為C(x)=0.5x2+36x+9800（元），那么每天生產(chǎn)多少個(gè)單位的產(chǎn)品時(shí)平均成本最低？平均成本: C(x)=0.5x+36+9800/xC(x)=0.5-9800/x 2 令C(x)=0，x=140又C(140)=1/1400，最小平均成本存在，因此當(dāng)生產(chǎn)140個(gè)單位時(shí)平均成本最低。 設(shè)某生物種群在其適應(yīng)的環(huán)境下生存，試討論該生物種群的數(shù)量變化情況。 ( ) ( ) ( )N t t N t N t t 文字方程改寫為符號(hào)方程在t時(shí)段種群數(shù)量的凈增加量=在t+t時(shí)刻的種群數(shù)量在t時(shí)刻的種群數(shù)量。 00( ) ( )( )dN t N tdtN N Malthus模型0( ) tN t N e 易 拉 罐 問(wèn) 題 :分 析 和 假 設(shè) ：首 先 把 飲 料 罐 近 似 看 成 一 個(gè) 直 圓 柱 體 . 要 求 飲 料 罐 內(nèi) 體 積 一 定 時(shí) , 求 能 使 易 拉 罐 制 作 所 用 的 材 料 最省 的 頂 蓋 的 直 徑 和 從 頂 蓋 到 底 部 的 高 之 比 . 實(shí) 際 上 , 用 幾 何 語(yǔ) 言 來(lái) 表 述 就 是 : 體 積 給 定 的 直 圓 柱 體 , 其 表 面 積 最 小 的 尺 寸 (半 徑 和 高 )為多 少 ? 表 面 積 用 S 表 示 , 體 積 用 V 表 示 , 則 有2 2 22 2( , ) 2 2 , / . S r h r h r r r rhV r h h V r 0, 0min ( , ) r h S r h 2( , ) 0 g r h V r h于 是 我 們 可 以 建 立 以 下 的 數(shù) 學(xué) 模 型 ：其 中 S 是 目 標(biāo) 函 數(shù) ,是 約 束 條 件(V 已知, 即罐內(nèi)體積一定),. 即 要 在 體 積 一 定 的 條 件 下 , 求 罐 的 體 積 最 小 的 r, h. 2 22( ) 2 2 V VS r r r rr r 3 302 220 ( ) 2 (2 ) (2 ) 2 V V VS r r r rr r 2 2 33 3 3 0 02 2 2 20 4 4 8 22 V V V Vh r dr V V 2/ h V r ( , )S r h把 代 入 , 得 到求 駐 點(diǎn) (臨 界 點(diǎn) ,critical point) , 30 2 Vr 230 0( ) 6 62 VS r r知 道是 一 個(gè) 局 部 極 小 值 點(diǎn) . 實(shí) 際 上 ,它 也 是 全 局 最 小 值 點(diǎn) , 因 為 臨 界 點(diǎn) 是 唯 一 的 . 最 小 面 積 為 0 0 032( ) 2 (2 ) 0 0 r rVS r rr 又 由 于 幾何：平面圖形的面積； 體積； 平面曲線的弧長(zhǎng)；物理：功； 水壓力； 引力和平均值等 在已知邊際函數(shù)情況下，利用定積分求總量函數(shù)在某區(qū)間的總量。