多元函數(shù)微積分學(xué)及應(yīng)用習(xí)題

目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 第 九 章 習(xí)題課一 、 基 本 概 念 二 、 多 元 函 數(shù) 微 分 法 三 、 多 元 函 數(shù) 微 分 法 的 應(yīng) 用 多元函數(shù)微積分學(xué)四 、 重 積 分 計 算 的 基 本 技 巧 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 一 、 基 本 概 念連 續(xù) 性 偏 導(dǎo) 數(shù) 存 在 方 向 導(dǎo) 數(shù) 存 在 可 微 性1. 多 元 函 數(shù) 的 定 義 、 極 限 、 連 續(xù) 定 義 域 及 對 應(yīng) 規(guī) 律 判 斷 極 限 不 存 在 及 求 極 限 的 方 法 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 及 其 性 質(zhì)2. 幾 個 基 本 概 念 的 關(guān) 系 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 思 考 與 練 習(xí)1. 討 論 二 重 極 限 yx yxyx 00lim解 法 1 01lim 1100 xyyx原 式解 法 2 令 ,xky 01lim0 kkxx原 式解 法 3 令 ,sin,cos ryrx 0sincos sincoslim0 rr原 式 時 , 下 列 算 法 是 否 正 確 ? 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 分 析 : yx yxyx 00lim解 法 1 01lim 1100 xyyx解 法 2 令 ,xky 01lim0 kkxx原 式此 法 第 一 步 排 除 了 沿 坐 標 軸 趨 于 原 點 的 情 況 , 此 法 排 除 了 沿 曲 線 趨 于 原 點 的 情 況 . 時例 如 xxy 21lim 2 230 x xxx原 式此 時 極 限 為 1 . 第 二 步 未 考 慮 分 母 變 化 的 所 有 情 況 , ,1, 111 xyxxy 時例 如 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 解 法 3 令 ,sin,cos ryrx 0sincos sincoslim0 rr原 式此 法 忽 略 了 的 任 意 性 , 時當 4,0 r)sin(2 sincossincos sincos 4 rr 極 限 不 存 在 !由 以 上 分 析 可 見 , 三 種 解 法 都 不 對 , 因 為 都 不 能 保 證自 變 量 在 定 義 域 內(nèi) 以 任 意 方 式 趨 于 原 點 .特 別 要 注 意 , 在 某 些 情 況 下 可 以 利 用 極 坐 標 求 極 限 , 但 要 注 意 在 定 義 域 內(nèi) r , 的 變 化 應(yīng) 該 是 任 意 的 . 同 時 還 可 看 到 , 本 題 極 限 實 際 上 不 存 在 . 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 0,0 0,)(),( 22 222322 22 yx yxyx yxyxf提 示 : 利 用 ,2 22 yxyx 2122 )(41),( yxyxf )0,0(0),(lim00 fyxfyx 故 f 在 (0,0) 連 續(xù) ; ,0),0()0,( yfxf又 因 0)0,0()0,0( yx ff所 以知在 點 (0,0) 處 連 續(xù) 且 偏 導(dǎo) 數(shù) 存 在 , 但 不 可 微 . 2. 證 明 : 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 而 )0,0(f ,00 時，當 yx 22 )0,0( )()( yx f 222 22 )()( )()( yx yx 0所 以 f 在 點 (0,0)不 可 微 ! 2322 22 )()( )()( yx yx 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 1. 已 知 求 出 的 表 達 式 . ),( yxf解 法 1 令 ,yxu ),( vuf )(uvu 即 )(),( xyxyxf ,)0,( xxf )1(),( yxyxf解 法 2 )()(),( yxyxyxyxyxf )(),( xyxyxf 以 下 與 解 法 1 相 同 .,)(),( 22 yxyxyxyxf ,)0( xxf ， ）（）（ vuyvux 2121 , 則 xx )( 且,yxv )()()( 241241 uvuvu 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 二 、 多 元 函 數(shù) 微 分 法顯 示 結(jié) 構(gòu)隱 式 結(jié) 構(gòu)1. 分 析 復(fù) 合 結(jié) 構(gòu) (畫 變 量 關(guān) 系 圖 )自 變 量 個 數(shù) = 變 量 總 個 數(shù) 方 程 總 個 數(shù)自 變 量 與 因 變 量 由 所 求 對 象 判 定2. 正 確 使 用 求 導(dǎo) 法 則“分 段 用 乘 ,分 叉 用 加 ,單 路 全 導(dǎo) ,叉 路 偏 導(dǎo) ”注 意 正 確 使 用 求 導(dǎo) 符 號3. 利 用 一 階 微 分 形 式 不 變 性 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 2. 設(shè) 其 中 f 與 F分 別 具,0),(,)( zyxFyxfxz解 法 1 方 程 兩 邊 對 x 求 導(dǎo) , 得 xzdd )0( 23 FFfxxzdd 1F 23 FFfx 1 32 FF fx 12 FF fxffx 221 FffFxfFx 有 一 階 導(dǎo) 數(shù) 或 偏 導(dǎo) 數(shù) , 求 fxfxzxyfx dddd 132 dddd FxzFxyF f fx )dd1( xy .ddxz xyF dd2 0dd3 xzF (1999 考 研 ) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 解 法 2 0),(,)( zyxFyxfxz 方 程 兩 邊 求 微 分 , 得化 簡消 去 即 可 得yd .ddxz yF d2 0d3 zFyfx d 0d z)d(ddd yxfxxfz 0ddd 321 zFyFxF xfxf d)( xF d1 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 3.設(shè) ),( zyxfu 有 二 階 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) , 且 ,sin2 txz ,)ln( yxt 求 ., 2 yx uxu 解 : u zyx tx yxxu 1f (3f txsin2 tx cos2 ) yx u2 12f (13f tx cos2 ) 33f )1cos( 2 yxtx )cossin2( 2 yx txtx 3f yxtx 1cos2 22 )( yxx yxt 1sin )( yx 1cos t yx 1yx 1 32f 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 練 習(xí) 題設(shè) 函 數(shù) f 二 階 連 續(xù) 可 微 , 求 下 列 函 數(shù) 的 二 階 偏 導(dǎo) 數(shù).2 yx z ),()3( )()2( )()1( 222xyxfz xyxfz xyfxz 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 解 答 提 示 : :)()1( 2xyfxz :)()2( 2xyxfz xyxyfxyz 2)( 2 xyfyz 2 fxyxyfxy )1(22 222 fxy 232 fy 2 yx z2 yx z2 fy2 )( 22xy fxy 2 )1( 22xy fxy22 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 222 2 fxyyx z ) (2xy 21f 2222 fxy :),()3( 2xyxfz 22 fxyyz 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 三 、 多 元 函 數(shù) 微 分 法 的 應(yīng) 用1.極 值 與 最 值 問 題 極 值 的 必 要 條 件 與 充 分 條 件 求 條 件 極 值 的 方 法 (消 元 法 , 拉 格 朗 日 乘 數(shù) 法 ) 求 解 最 值 問 題2.在 微 分 方 程 變 形 等 中 的 應(yīng) 用 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 5. 22 yxz 求 旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面 與 平 面之 間 的 最 短 距 離 .解 : 設(shè) 2261 zyxd 為 拋 物 面 上 任 一 點 ， 則 P ),( zyxP 22 yxz 的 距 離 為022 zyx問 題 歸 結(jié) 為 (min)22( 2 zyx約 束 條 件 : 022 zyx目 標 函 數(shù) : 22 zyx作 拉 氏 函 數(shù) )()22(),( 222 yxzzyxzyxF 到 平 面 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 )()22(),( 222 yxzzyxzyxF .81,41,41 zyx令 22 yxz 解 此 方 程 組 得 唯 一 駐 點 02)22(2 yzyxFy 0)2)(22(2 zyxFz 02)22(2 xzyxFx 由 實 際 意 義 最 小 值 存 在 ,241414161min d 647故 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 四 、 重 積 分 計 算 的 基 本 技 巧 分 塊 積 分 法利 用 對 稱 性1. 交 換 積 分 順 序 的 方 法2. 利 用 對 稱 性 或 質(zhì) 心 公 式 簡 化 計 算3. 消 去 被 積 函 數(shù) 絕 對 值 符 號 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 6. 計 算 二 重 積 分 ,dd)e( 222 yxyxxI yxD 其 中 :(1) D為 圓 域 ;122 yx(2) D由 直 線 1,1, xyxy解 : (1) 利 用 對 稱 性 .yxxI D dd2 0dd)(21 22 yxyxD 10 320 dd21 rr 4 yxyxD yx dde 22 圍 成 . y x1DO 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 y1 x1OyxyxD yx dde1 22 (2) 積 分 域 如 圖 : 1D 2D xy xy ,xy 將 D 分 為 , 21 DDyxxI D dd2 yxyxD yx dde2 22 00dd 111 2 x yxx32 添 加 輔 助 線利 用 對 稱 性 , 得 yxyxxI yxD dd)e( 222 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 1 1 1 xyO例 7. 計 算 二 重 積 分 ,dd)sgn()1( 2 yxxyI D ,dd)22()2( 22 yxxyyxI D 122 yx 在 第 一 象 限 部 分 . 解 : (1) 2xy 21, DD 兩 部 分 , 則 1 ddD yxI 111 2dd x yx 32 2D 2 ddD yx 2011 dd x yx ;1011: yxD ，其 中 D 為 圓 域把 D 分 成 1D作 輔 助 線 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 x1y1O xy (2) 提 示 : 21, DD 兩 部 分 1D yxyxD dd)(2 2 yxyxD dd)2( 說 明 : 若 不 用 對 稱 性 , 需 分 塊 積 分 以 去 掉 絕 對 值 符 號 . xy 作 輔 助 線 2D將 D 分 成D yxdd2 yxxyyxI D dd)22( 22 2)12(32 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 8. 求 拋 物 線 及與 直 線 022 yxxy012 yx 所 圍 區(qū) 域 D 的 面 積 A .解 :如 圖 所 示 xy 2324, 12 DDD 12 dd DDA yy x122 d 34dy yy x22 d 12dy 4312 331221 yyy 1D 2D D 212 331221 yyy 3252,d),( 時計 算 D yxf 1),( Dyxf 可 擴 展 到若注 : 則 也 可 利 用 上 述 方 法 簡 化 計 算 . 上 可 積 , 1 y xO 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 9. 交 換 積 分 順 序 計 算 yxyxI x yx y dedded 23031010 yxI D y dde1 yxD y dde2 yy y xy 2310 ded yy y 10 de)1(3 )2e(3 1xy )3(21 xy 1D 2D 3 解 . 積 分 域 如 圖 . xyO