常微分方程21線性方程

1 第 二 章 一 階 微 分 方 程 微 分 方 程 課 程 的 一 個 主 要 問 題 是 求 解 ，即 把 微 分 方 程 的 解 通 過 初 等 函 數(shù) 或 它 們 的 積 分表 達 出 來 ， 但 對 一 般 的 微 分 方 程 是 無 法 求 解 的 ，的 解 ， 但 是 對 某 些 特 殊 類 型 的 方 程 ， 我 們 可 設(shè) 法轉(zhuǎn) 化 為 已 解 決 的 問 題 進 行 求 解 。),( yxf如 對 一 般 的 二 元 函 數(shù) ， 我 們 無 法 求 出),( yxfy （ 1）一 階 微 分 方 程 2 2.1 線 性 方 程2.2 變 量 可 分 離 方 程2.3 全 微 分 方 程2.4 變 量 替 換 法 2.5 一 階 隱 式 方 程2.6 近 似 解 法2.7 一 階 微 分 方 程 的 應(yīng)用2.8 習(xí) 題 課本 章 的 主 要 內(nèi) 容 3 一 、 線 性 齊 次 方 程 ( ) 0y p x y 線 性 齊 次 方 程 :若 ( ) ( )y p x y g x 中 時 ，0)( xg求 解 思 想 ： 2.1 線 性 方 程一 階 線 性 微 分 方 程 ( ) ( )y p x y g x 將 進 行 變 形 ， 將 方 程 左 端整 理 成 某 一 個 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) ， 再 進 行 積 分 求 解 。 ( ) 0y p x y 4 例 2.1.1 求 線 性 齊 次 方 程 0y y 的 通 解 。解 ： 對 于 方 程 兩 端 乘 以 xe 得 0 x xy e ye 由 于 ( )x x xye y e ye 故( ) 0 xye 方 程 的 通 解 為 xy ce故 xye c 其 中 為 任 意 常 數(shù) 。c 5 一 般 地 ， 對 方 程 ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) 0y exp p x dx p x y exp p x dx 即 ( ( ( ) ) 0y exp p x dx 整 理 得 通 解 為 ( ( ) )y c exp p x dx ( ) 0y p x y ( ( ) )exp p x dx 后 得 兩 端 同 乘 以 6 二 、 線 性 非 齊 次 方 程1.積 分 因 子 法給 方 程 兩 邊 乘 以 函 數(shù) 兩 種 解 法變 成 一 個 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) ，使 左 邊 )(exp()()(exp()( dxxpxgdxxpyxpy整 理 得 ： )(exp()()(exp( dxxpxgdxxpy積 分 得 通 解 ： )(exp( dxxp ( ( ) ) ( )exp( ( ) )y exp p x dx C g x p x dx dx )(exp( dxxp 稱 為 方 程 的 積 分 因 子 。 ( ) ( )y p x y g x 7 2.常 數(shù) 變 易 法思 想 ： 將 一 個 對 應(yīng) 齊 次 方 程 的 通 解 中 的 常 數(shù)變 為 函 數(shù) ， 代 入 原 方 程 后 確 定 出 該 方 程 的 通 解 。再 把 通 解 表 達 式 中 的 常 數(shù) c 換 成 一 個 待 定 函 數(shù) ( )u x 。 )(exp( dxxpcy ( )exp( ( ) )y u x p x dx 即 令 先 求 對 應(yīng) 的 齊 次 方 程 的 通 解 為 ： ( ) ( )y p x y g x 8 xxpexuy d)()( ,代 入 原 方 程和將 yy )(xg xxpxxp ee xuxpxu d)(d)( )()()( xxpexuxp d)()()( )(xu )( xp xxpe d)()()( d)( xgxu xxpe 線 性 非 齊 次 方 程 yxpxy )(dd設(shè) 想 待 定 函 數(shù) )(xg xxpey d)()(xu 9 xxpexgxu d)()()( xxgxu xxpe d)()( d)( C一 階 線 性 非 齊 次 微 分 方 程 的 通 解 ： d)( d)(d)( Cxxgy xxpxxp ee xxpexuy d)()(設(shè)常數(shù)變易法：齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)。 xx dd 10 xxpeC d)( 非 齊 次 方 程 的 一 個 特 解對 應(yīng) 齊 次方 程 通 解 d)( d)(d)( Cxxgy xxpxxp ee 一階線性方程解的結(jié)構(gòu)xxg xxpxxp ee d)( d)(d)( 注 高 階 線 性 方 程 解 的 結(jié) 構(gòu) ，高 階 非 齊 次 線 性 方 程 的 常 數(shù) 變 易 法 . )()(dd xgyxpxy 11 線 性 微 分 方 程 解 的 性 質(zhì) :1.齊 次 方 程 的 解 或 者 恒 為 零 ， 或 恒 不 為 零 。2.齊 次 方 程 任 何 解 的 線 性 組 合 仍 是 它 的 解 。3.齊 次 方 程 的 任 一 解 與 非 齊 次 方 程 的 任 一 解 之 和仍 為 非 齊 次 方 程 的 解 。4.非 齊 次 方 程 的 兩 解 之 差 為 對 應(yīng) 齊 次 方 程 的 解 。5.非 齊 次 方 程 的 任 一 解 與 對 應(yīng) 齊 次 方 程 的 齊 次 方 程的 通 解 之 和 是 非 齊 次 方 程 的 通 解 。 12 .sin1 的 通 解求 方 程 xxyxy ?)( xp ?)( xg xxey d1 xCx x cos解sin xx xxe d1 xd C d)( d)(d)( Cxxgy xxpxxp ee ,)(xxuy 設(shè) 非 齊 通 解 ： ,sin)( xxxxu ,dd xxyy 考 慮 ： ,xCy 對 應(yīng) 齊 通 解 ： .cos)( Cxxu 13 解 初 值 問 題 : 1 0cos2)1( 02xy xxyyx解改 寫 方 程 ： 1cos12 22 x xyx xy ),sin(112 xCxy 10 xy特 解 : 21 sin1 x xy ,1 C,1)(2 x xuy設(shè) 非 齊 通 解 ： .cos)( xxu ,d12d 2 xx xyy 考 慮 ： ,12 x Cy對 應(yīng) 齊 通 解 ： 14 的 通 解 為微 分 方 程 xxyy costan 解y 典 型 的 一 階 非 齊 次 線 性 方 程.分 析 ,cos)( xxuy 設(shè) 非 齊 通 解 ： .)( Cxxu ,dcossind xxxyy 考 慮 ： ,cos xCy 對 應(yīng) 齊 通 解 ： ,1)( xu.cos)( xCx 15 yx yyxy lnlndd 既 不 是 線 性 方 程 , 也 不 能 分 離 變 量 .改 寫 方 程 ： yy yxyx lnlndd yxyy 1ln1 以 x為 未 知 函 數(shù) , yxyyyx 1ln1dd 的 一 階 非 齊 次 線 性 方 程 .分 析 y 為 自 變 量 解 方 程 0d)ln(dln yyxxyy 16.lnln21 yCyx 此 外 , y = 1 也 是 原 方 程 的 解 . 解yxyyyx 1ln1dd 解 方 程 0d)ln(dln yyxxyy時 ，當(dāng) 1y ,lndd yy yxx 先 解 ： ,ln )(: yyux 設(shè) ,lnlnlnln Cyx ,1ln )( yyyu ,ln21)( 2 Cyyu 17 解 微 分 方 程 0cossindd xyxyxy解原 方 程 變 形 xyddxyy dd2cos2 12 2tandd yx zy 2tan設(shè).dd xzxz 一 階 線 性 方 程原 方 程 通 解 : )1(2tan xCy xe 2cos2sin2 yy xy2cos2 2 02tan y 0 x 18 的 通 解 。求 yexy 1分 析 這 不 是 典 型 類 型 ，：ye 11dd yy ee xxy解，令 yez .11dd zxxz 線 性 方 程,2 xCxz ）（ xCxy 2ln 19 )(3 xfx ，23xyy 解x xxf0 d)( 積 分 方 程平 行 于 y 軸 的 動 直 線 被 曲 線 y = f (x)陰 影 部 分 的 面 積 , )(xf ，)(3 2 xfx xyO 3xy )(xfy xPQ截 下 的 線 段 PQ之 長 數(shù) 值 上 等 于求 曲 線 y = f (x).)0(3 xxy與 .0| 0 xy所 求 曲 線 方 程 )222(3 2 xxy xe 20 求 微 分 方 程 0d)2(d xyxyx 的 一 個 解),(xyy 所 圍 平 面 圖 形 繞 x 軸 旋 轉(zhuǎn) 體 體 積 最 小 . 軸及使 得 由 xxxxyy 2,1),( .12dd yxxy解212475 xxy 改 寫 微 分 方 程 .2xCxy 通 解 ：)(CV ).37215531( 2 CC0)215562()( CCV .12475 C 21 22 d)( xxCx 21 數(shù) ， 求 微 分 方 程 ( )dy ay f xdx 的 2周 期 解 。 解 ： 齊 次 方 程 0dy aydx 的 通 解 為 axy ce ( )0 ( )xax a x sy ce e f s ds 方 程 ( )dy ay f xdx 的 通 解 為 例 ： 2.1.3 為 了 使 以 為 周 期 ， 須 滿 足 2y 是 以 2( )f x 為 周 期 的 周 期 函 數(shù) ， 是 正 常a設(shè) 22 整 理 得 20 0 )()2()2( .)()(x x sxaaxsxaxa dssfecedssfece ( )f x 為 周 期 2以 （ 令 ） 2s t 0 2 21 ( )1 asac e f s dse 將 c 的 表 達 式 代 入 通 解 ,再 一 次 利 用 f (x)的 周 期 性 得 : x asx saa dssfedssfeec 020 )2(2 )()()1( x tax sa tdtfedssfe 220 )2( )()( 2 )(2 )(11 xx sxaa dssfeey 23 線 性 非 齊 次 方 程 初 值 解 公 式 在 理 論 上 的 意 義 :我 們 可 以 利 用 它 來 研 究 解 的 性 質(zhì) ， 對 解 進 行 “ 估 值 ” 。證 ： 設(shè) ( )x x t 為 方 程 的 任 一 解 ， 它 滿 足 某 初 始 條 件 0 0, )t 我 們 只 證 0( ) , x t t 在 上 有 界 。 于 是 dsesfextx sttttt )()(0 00 )()( ,)( 00 xtx 試 證 方 程 的 所 有 解 均 在 0, ) 上 有 界 。 設(shè) 函 數(shù) ( )f t 在 上 連 續(xù) 且 有 界 ,0, )(tfxdtdx 24 設(shè) ( ) , 0, )f t M t 于 是 ， 對 0t t 有 0 0( )0( ) ( )tt t s ttx t x e f s e ds 00 tt stx Me e ds 0( )0 1 t tx M e 0 x M 原 題 得 證 。 25 三 、 Bernoulli方 程伯 努 利 方 程 的 標 準 形 式 : )1,0()()(dd yxgyxpxy )()(dd 1 xgyxpxyy xyyxz dd)1(dd 則 )()1()()1(dd xgzxpxz 求 出 此 方 程 通 解 后 ,換 回 原 變 量 即 得 伯 努 利 方 程 的 通 解 .y以 除 方 程 兩 邊 , 得解 法 : (線 性 方 程 ),1 -yz 令 26 例 2.1.4 求 初 值 問 題 2 (1) 12 2dy y x ydx x y ， 的 解 。解 ： 方 程 兩 邊 同 乘 以 2y 后 得 2 22 dy yy xdx x 令 2z y 代 入 得 2dz z xdx x 通 解 為 312z Cx x 將 2z y 代 入 得 2 312y Cx x 代 入 初 值 條 件 得 31( )2y x x 27 .4dd 的 通 解求 方 程 yxyxxy 解伯 努 利 方 程，21 作 變 換 .211 yyz xzdd .22dd xzxxz ,ln212 ）（ xCxz 原 方 程 的 通 解 : 24 ln21 ）（ xCxy )()1()()1(dd xgzxpxz zx)4()211( x)211( 28 解 方 程 321dd yxyxxy 解y 視 為 自 變 量 , 23dd xyxyyx 兩 邊 除 以,dd1 32 yxyyxx 2x.dd 3yzyyz ,1xz 設(shè) 22 22 yCx ye 的 伯 努 利 方 程 .2 29 例 2 湖 泊 的 污 染設(shè) 一 個 化 工 廠 每 立 方 米 的 廢 水 中 含 有 3.08kg鹽 酸 ，這 些 廢 水 流 入 一 個 湖 泊 中 ， 廢 水 流 入 的 速 率 20立 方 米 每 小 時 . 開 始 湖 中 有 水 400000立 方 米 . 河 水 中 流 入 不 含 鹽 酸 的 水 是 1000立 方 米 每 小 時 , 湖 泊 中 混 合 均 勻 的 水 的 流 出 的 速 率 是 1000立 方 米每 小 時 , 求 該 廠 排 污 1年 時 , 湖 泊 水 中 鹽 酸 的 含 量 .解 : 設(shè) t 時 刻 湖 泊 中 所 含 鹽 酸 的 數(shù) 量 為 ),(tx考 慮 , ttt 內(nèi) 湖 泊 中 鹽 酸 的 變 化 . 四 、 線 性 微 分 方 程 的 應(yīng) 用 舉 例 30 ttxtttxttx 204000000)(100008.320)()( 因 此 有 .0)0(,6.612400000100 xtxdtdx該 方 程 有 積 分 因 子 50)02.04000()2400000100exp()( tdttt兩 邊 同 乘 以 )(t 后 ,整 理 得 5050 )02.04000(6.61)02.04000( ttxdtd 積 分 得 ? 31 Ctxt 5150 )02.0400(513080)02.04000(利 用 初 始 條 件 得 51)4000(513080C故 .)02.040004000(400002.04000513080)( 50tttx ).kg(223824)8760( x 32 ( 雅 各 布 第 一 伯 努 利 ) 書 中 給 出 的 伯 努 利 數(shù) 在 很 多 地 方 有 用 ,而 伯 努 利 定 理Bernoulli (1654 1705)瑞 士 數(shù) 學(xué) 家 , 數(shù) 學(xué) 家 . 和 極 坐 標 下 的 曲 率 半 徑 公 式 , 1695年 猜 度 術(shù) ,則 是 大 數(shù) 定 律 的 最 早 形 式 . 提 出 了 著 名 的 伯 努 利 方 程 , 他 家 祖 孫 三 代 出 過 十 多 位 1694年 他 首 次 給 出 了 直 角 坐 標 1713年 出 版 了 他 的 巨 著這 是 組 合 數(shù) 學(xué) 與 概 率 論 史 上 的 一 件 大 事 , 此 外 , 他 對 雙 紐 線 、懸 鏈 線 和 對 數(shù) 螺 線 都 有 深 入 的 研 究 . 33 P.40 1（ 2， 3， 6， 7， 8， 9， 13， 15） 2（ 2， 3） ， 5， 6作 業(yè)