微積分學(xué)PPt標(biāo)準(zhǔn)課件36-第36講可降階的高階微分方程

高 等 院 校 非 數(shù) 學(xué) 類 本 科 數(shù) 學(xué) 課 程 腳 本 編 寫 ： 劉 楚 中 教 案 制 作 ： 劉 楚 中 第 七 章 常 微 分 方 程本 章 學(xué) 習(xí) 要 求 ：n了 解 微 分 方 程 、 解 、 通 解 、 初 始 條 件 和 特 解 的 概 念 .n了 解 下 列 幾 種 一 階 微 分 方 程 ： 變 量 可 分 離 的 方 程 、 齊 次 方 程 、 一 階 線 性 方 程 、 伯 努 利 （ Bernoulli） 方 程 和 全 微 分 方 程 .熟 練 掌 握 分 離 變 量 法 和 一 階 線 性 方 程 的 解 法 .n會(huì) 利 用 變 量 代 換 的 方 法 求 解 齊 次 方 程 和 伯 努 利 方 程 .n知 道 下 列 高 階 方 程 的 降 階 法 ： .)()( xfy n ),( yxfy ),( yyfy n了 解 高 階 線 性 微 分 方 程 階 的 結(jié) 構(gòu) ， 并 知 道 高 階 常 系 數(shù) 齊 線 性 微 分 方 程 的 解 法 .n熟 練 掌 握 二 階 常 系 數(shù) 齊 線 性 微 分 方 程 的 解 法 .n掌 握 自 由 項(xiàng) （ 右 端 ） 為 多 項(xiàng) 式 、 指 數(shù) 函 數(shù) 、 正 弦 函 數(shù) 、 余 弦 函 數(shù) 以 及 它 們 的 和 或 乘 積 的 二 階 常 系 數(shù) 非 齊 線 性 微 分 方 程 的 解 法 . 第 三 節(jié) 幾 種 可 降 階 的 高 階 常 微 分 方 程二 階 和 二 階 以 上 的 微 分 方 程 ， 稱 為 高 階 微 分 方 程 。 通 過 變 量 代 換 將 高 階 方 程 轉(zhuǎn) 化 為 較 低 階 的 微分 方 程 進(jìn) 行 求 解 的 方 法 ， 稱 為 “ 降 階 法 ” ?！敖?階 法 ” 是 解 高 階 方 程 常 用 的 方 法 之 一 。 型 )( .1 )( xfy n )1( ， 則 原 方 程 化 為令 nyu )(dd 。xfxu 這 是 變 量 可 分 離 的 方 程 ， 兩 邊 積 分 ， 得 , )(d)( 11 CxCxxfu 即 )( 1)1( 。Cxy n )( )( 型仍 是 xfy n 只 需 連 續(xù) 進(jìn) 行 n 次 積 分 即 可 求 解 這 類 方 程 ， 但 請(qǐng) 注 意 ：每 次 積 分 都 應(yīng) 該 出 現(xiàn) 一 個(gè) 積 分 常 數(shù) 。 例解 ln 的 通 解 。求 方 程 xy lndln 1，Cxxxxxy xCxxxy d)ln( 1 432ln 212 ，CxCxx xCxCxxy d432ln 212 23611ln61 322133 。CxCxCxxx 3 次 ， 得 到 所 求 的 通 解 ：連 續(xù) 積 分對(duì) 方 程 兩 邊 關(guān) 于 x 例解 1 )( 的 通 解 。求 方 程 ny 次 ， 得 到 所 求 的 通 解 ：連 續(xù) 積 分對(duì) 方 程 兩 邊 關(guān) 于 nx 1)1( ，Cxy n 21 212)2( ，CxCxy n ! 21! 31 32213)3( ，CxCxCxy n ! )2( 1! )1( 1 12211 ， nnnn CxCxCnxny ! )1( 1! 1 111 。nnnn CxCxCnxny 型 ) ,( .2 )1()( nn yxfy )1( ， 則 原 方 程 化 為令 nyp ) ,(dd 。pxfxp 這 是 一 個(gè) 一 階 微 分 方 程 。 設(shè) 其 通 解 為 ) ,( 1 ，Cxp ) ,( 1)1( ，Cxy n )( )( 型 的 方 程 ：這 是 一 個(gè) xfy n 連 續(xù) 積 分 即 可 求 解 。 例解 3 1 2)1 ( 002 解 。，滿 足 條 件求 方 程 xx yyyxyx ， 則 原 方 程 化 為令 yp 1 d2d 2 ，xxxpp 兩 邊 積 分 ， 得 )1 ( 21 ，xCp 即 )1(dd 21 ，xCxy 再 積 分 ， 得 原 方 程 的 通 解 )31(d)1 ( 23121 。CxxCxxCy 3 1 00 代 入 ， 得，以 條 件 xx yy 1 3 21 。， CC 13 3 。故 所 求 特 解 為 xxy 例解 0 )4()5( 的 通 解 。求 方 程 yyx )4( ， 則 原 方 程 化 為令 yp 0dd ， pxpx分 離 變 量 ， 得 dd ，xxpp 積 分 ， 得 )4( ，Cxpy 連 續(xù) 積 分 4 次 ， 得 原 方 程 的 通 解 為 ) 120 ( 154233251 。， CCCxCxCxCxCy 型 )()( xfy n 型 ) ,( .3 yyfy dddddddd 。， 則令 yppxyypxpyyp 于 是 ， 原 方 程 化 為 ),(dd 。pyfypp 這 是 一 個(gè) 一 階 微 分 方 程 。 設(shè) 其 通 解 為 ) ,(dd 1 。Cypxy 這 是 一 個(gè) 變 量 分 離 方 程 ， 它 的 通 解 就 是 原 方 程 的 通 解 。 例 解 0 2 。的 通 解求 方 程 yyy dd 。， 則令 yppyyp 于 是 ， 原 方 程 化 為 0dd 2 。 pyppy 0dd 0 。， 故 此 時(shí) 有 解， 則若 Cyxyp 0 ， 則 原 方 程 化 為若 p dd 。yypp 兩 邊 積 分 ， 得 dd 1 。yCpxy 運(yùn) 用 分 離 變 量 法 ， 得 此 方 程 的 通 解 為 12 。xCeCy 綜 上 所 述 ， 原 方 程 的 通 解 為 12 。xCeCy 0 0 1 Cp 對(duì) 應(yīng) 于 例解 0)( 。的 通 解求 方 程 yfy 2 ， 得 到兩 邊 同 乘 以 y 0)(22 ， yfyyy即 0) d)(2(dd 2 ， yyfyx yyfy d)()( xyyyxy ddd )(dd )(d 從 而 d)(2 12 ，Cyyfy 即 d)(21 。 yyfCy運(yùn) 用 分 離 變 量 法 求 解 此 方 程 ， 即 得 原 方 程 的 通 解 ：。 d)(2d)( 122 yyfC yCx 方 程克 萊 羅 )Clairaut ( .4 形 如 )(yfyxy 的 方 程 稱 為 克 萊 羅 方 程 ， 其 中 函 數(shù) f 為 可 微 函 數(shù) ?？?以 直 接 寫 出 該 方 程 的 通 解 ： )( 。CfxCy 并 且 由 下 列 方 程 組 可 求 得 該 方 程 的 奇 解 ：0)( yfx )(yfyxy 證 將 克 萊 羅 方 程 兩 邊 關(guān) 于 x 求 導(dǎo) ， 得 )( 。yyfyyxy )( ， 則 有令 xpy 0dd)( 。 xppfx )( 0dd )1( 代 入 原 方 程 ， 得， 則若 Cxpyxp )( 。CfxCy ( 通 解 ) 0)( )2( 方 程 的 奇 解 ：， 則 可 聯(lián) 立 方 程 組 求 出若 pfx 0)( pfx )(pfpxy )(yfyxy 例解 1 2 的 解 。求 方 程 yxyy原 方 程 即 1 ，yyxy ) 0 ( y 由 題 意這 是 一 個(gè) 克 萊 羅 方 程 ， 故 其 通 解 為 1 。CxCy 11dd)( 2 ， 故 聯(lián) 立 方 程 組由 于 ppppf 012 px ppxy 1 )1( )2( )2( ) 1 ( ， 得式式 p 2 ，pxy 1 1 ) 1 ( 2 ， 代 入 上 式 ， 得， 故得又 由 xpxp 2 ，xy 故 原 方 程 有 奇 解 42 。xy 綜 上 所 述 ， 原 方 程 的 通 解 為 1 ，CxCy 且 方 程 還 有 奇 解 42 。xy