微積分學(xué)PPt標(biāo)準(zhǔn)課件20-第20講羅必達(dá)發(fā)則

高 等 院 校 非 數(shù) 學(xué) 類 本 科 數(shù) 學(xué) 課 程 腳 本 編 寫 ： 劉 楚 中 教 案 制 作 ： 劉 楚 中 第 四 章 一 元 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 與 微 分本 章 學(xué) 習(xí) 要 求 ： 理 解 導(dǎo) 數(shù) 和 微 分 的 概 念 。 熟 悉 導(dǎo) 數(shù) 的 幾 何 意 義 以 及 函 數(shù) 的 可 導(dǎo) 、 可 微 、 連 續(xù) 之 間 的 關(guān) 系 。 熟 悉 一 階 微 分 形 式 不 變 性 。 熟 悉 導(dǎo) 數(shù) 和 微 分 的 運 算 法 則 ， 能 熟 練 運 用 求 導(dǎo) 的 基 本 公 式 、 復(fù) 合 函 數(shù) 求 導(dǎo) 法 、 隱 函 數(shù) 求 導(dǎo) 法 、 反 函 數(shù) 求 導(dǎo) 法 、 參 數(shù) 方 程 求 導(dǎo) 法 、 取 對 數(shù) 求 導(dǎo) 法 等 方 法 求 出 函 數(shù) 的 一 、 二 階 導(dǎo) 數(shù) 和 微 分 。 了 解 n 階 導(dǎo) 數(shù) 的 概 念 ， 會 求 常 見 函 數(shù) 的 n 階 導(dǎo) 數(shù) 。 熟 悉 羅 爾 中 值 定 理 、 拉 格 朗 日 中 值 定 理 、 柯 西 中 值 定 理 和 泰 勒 中 值 定 理 ， 并 能 較 好 運 用 上 述 定 理 解 決 有 關(guān) 問 題 （ 函 數(shù) 方 程 求 解 、 不 等 式 的 證 明 等 ） 。 掌 握 羅 必 塔 法 則 并 能 熟 練 運 用 它 計 算 有 關(guān) 的 不 定 式 極 限 。 Hospital L第四節(jié) 羅必達(dá)法則第四章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 大量 , 為此, 我們稱這類極限為“不定型”,. 00 或我們知道: 兩個無窮小量或兩個無窮大量的商的極限 , 隨著無窮小量或無窮大量的形式不同 , 極限值可能存在、也可能不存在、可能是無窮小量、也可能是無窮記為: 以下各類極限稱為不定型的極限：, 00 , , 0 , , 1 , 00 . 0其中 , ; 0表示無窮小量; 表示無窮大量 . 1 1為極限的變量表示以不定型的極限 00 0 1 00 0倒數(shù)法取對數(shù)法只需討論這兩種極限 羅必達(dá)法則設(shè)在某一極限過程中 00 , 0)(lim , 0)(lim )1( xgxf , )(lim , )(lim xgxf , )(, )( , )2(存在在該極限過程中xgxf , 0)( xg且, )( )(lim )3(存在或為無窮大xg xf . )( )(lim)( )(lim xg xfxg xf 則有 , )(, )( , )2(存在在該極限過程中xgxf 解釋：是指：, 0 xx 若極限過程為. )(U )( , )( 0存在在則xxgxf , x若極限過程為. | )( , )( 存在當(dāng)則Xxxgxf . 0時情形先證xx , 0)(lim , 0)(lim 00 xgxf xxxx由于 , )( , )( 0總可令處是否連續(xù)在故不論xxgxf , 0)( , 0)( 00 xgxf內(nèi)從而在成為連續(xù)函數(shù)使得 )U( , )( , )( 0 xxgxf可選擇適當(dāng)區(qū)間來運用柯西中值定理.型就可將令 )(1)( , )(1)( 21 xgxxfx . 00 型轉(zhuǎn)換為證 的極限過程轉(zhuǎn)換則可將令 , 1 xtx . 0)( 0 0的極限過程為 tt詳細(xì)的證明過程請同學(xué)們自己看書 . 在運用羅必達(dá)法則時 , 不存在如果 )( )(lim xg xf但也不是無窮大 , 則不能說明不存 )( )(lim xg xf在 . 此時應(yīng)重新另找其它方法進(jìn)行計算 .羅必達(dá)法則只限于求, 00型的極限和其它類型的不定型應(yīng)首先化成這兩種形式才能用羅必達(dá)法則 . 在運用羅必達(dá)法則求極限過程中, 極限存在并且不等于零的因子可以提出來, 這樣可使問題簡化.在運用羅必達(dá)法則求極限過程中, 盡可能運用等價無窮小替代方法, 它往往可使問題得到明顯的簡化. 如果在使用羅必達(dá)法則后 , 仍是 )( )(lim xg xf, 00型或仍滿足羅必達(dá)法且 )( , )( xgxf 則條件 , 則可繼續(xù)使用羅必達(dá)法則 .使用羅必達(dá)法則要注意觀察條件是否滿足, 不然會出錯. . coslim 0 x xexx 求001sinlimcoslim 00 xex xe xxxx 1此題不用羅必達(dá)法則也可作: 分子加 1 減 1 ,然后運用等價無窮小替代即可 .例 1解 . lnlim xxx 求11limlnlim xxx xx 01lim xx例 2解 . sinlim x xxx 求 )cos1(limsinlim xx xx xx 不存在 ,故不能用羅必達(dá)法則求此極限 . . 1) sin1 (lim sinlim x xx xx xx實際上小 心 ！例 3解 . sintanlim 0 xx xxx 求00 xxxx xx xx cos1 1seclimsintanlim 200 x xxx sinsectan2lim 20 2cos2lim 30 xx(化簡)在使用羅必達(dá)法則時 , 要注意進(jìn)行化簡工作 , 它會使問題變得簡單 . 連續(xù)使用羅必達(dá)法則00例 4解 . |ln |lncoslim axax ee axx 求|ln |lncoslim axax ee axx |ln |lnlimcoslim axaxax ee axx )(limcos axe eea x axax ax eeea axaxxax lim1limcosxaxa eea limcos acos 00運用羅必達(dá)法則時, 定式因子如有極限應(yīng)單獨分出計算.例 5解 例 6解 .1sin1lim 220 xxx求xx xxxx xx 22 220220 sin sin lim1sin1lim xx xxxxx 220 sin )sin)(sin(lim xx xxx xx xx sinsinlim sinsinlim 200 30 sinlim2 x xxx xx sin20 3cos1lim2 x xx 221cos1 xx 31321lim2 220 xxx極限不等于零的因子 . , 0 , lim Znaex xanx求xanxxanx eaxnex 1limlim xa nx ea xnn 2 2)1(lim 次 ! limn xanx ea n0 如果 n 不是 正整數(shù) , 怎 么辦？ 1 knk Zk例 7解夾逼定理 . lim 10010 2xe xx 求00 1021010010 50 lim lim 22 xexe xxxx 00你還打算做下去嗎?這樣做 , 分母中 x 的次數(shù)將越來越高 , 而分子不變 , 極限始終無法求出 .例 8解 將原極限稍加變形 :22 1100010010 lim lim xxxx exxe 213 1010 2100lim xx ex x 21 98050lim xx ex 次50 0! 50lim 210 xx e. lim 10010 2xe xx 求00例 8解 下面的介紹的是利用倒數(shù)法或取對數(shù)法將其它的不定型轉(zhuǎn)化為可以運用羅必達(dá)法則計算的例題 . . lnlim 0 xxx 求0 xxxx xx 1lnlimlnlim 00 0)(lim11lim 020 xxx xx倒數(shù)法 .用另一種形式顛倒行不行 ?行 , 但繁些 .存在一個選擇問題.例 9解 . ln11 lim 1 xx xx求這種形式可以直接通分 . xx xxxxxx xx ln)1( )1(ln lim ln11 lim 11 001ln ln lim1 xxx xxx 002111ln 1ln lim1 x xx 該題也可 用倒數(shù)法例 10解 .arctan2lim ln1xx x 求00運用取對數(shù)法 . xx x ln1arctan2lim ln )arctan2 ln(limexp x xx )arctan2 ln(ln1 explim xxx 0例 11解 2arctan1limexp 2 xxxx 00 11limexp 22xxx 1e .)1( lim 110 xxx ex 求1運用取對數(shù)法 .原式 )1ln(lim exp 20 x xxx 00 2 11 1 exp xx 21 )1(2 1 exp ex例 12解 . )( 111 lim 2 nn nn 求這是數(shù)列的極限xxnn xxnn )()( 111 lim 111 lim 22 x xxx 1 ) 111 ( lnlimexp 2 t ttt ) 1 ( lnlimexp 20 xt 1 e羅必達(dá) 例 13解此題也可用重要極限的方法來求解. :方法求解此題可以按重要極限的 22 11 11 1 22 111lim111lim nnnnnnnn nnnn .e