微積分學(xué)PPt標準課件08-第8講無窮小量

高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 腳本編寫、教案制作：劉楚中 彭亞新 鄧愛珍 劉開宇 孟益民 第三章 函數(shù)的極限與連續(xù)性本章學(xué)習(xí)要求： 了解函數(shù)極限的概念，知道運用“”和 “X ”語言描 述函數(shù)的極限。 理解極限與左右極限的關(guān)系。熟練掌握極限的四則運算法則 以及運用左右極限計算分段函數(shù)在分段點處的極限。 理解無窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無窮小量間的關(guān)系。 掌握無窮小量的比較，能熟練運用等價無窮小量計算相應(yīng)的 函數(shù)極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關(guān)系。 理解極限存在準則。能較好運用極限存在準則和兩個重要極 限求相應(yīng)的函數(shù)極限。 理解函數(shù)在一點連續(xù)以及在區(qū)間上連續(xù)的概念，會判斷函數(shù) 間斷點的類型。了解基本初等函數(shù)和初等函數(shù)的連續(xù)性以及 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（介值定理、最值定理）。 理解冪級數(shù)的基本概念。掌握冪級數(shù)的收斂判別法。 第 三 章 函 數(shù) 的 極 限 與 連 續(xù) 性第 二 節(jié) 無 窮 小 量 、 無 窮 大 量一 .無 窮 小 量 及 其 運 算 性 質(zhì)二 . 無 窮 大 量 簡 言 之 , 在 某 極 限 過 程 中 , 以 0 為 極 限的 量 稱 該 極 限 過 程 中 的 一 個 無 窮 小 量 . 例1 . , 0 0,lim )1( 220 是 一 個 無 窮 小 量時 xxxx . sin , 0 0,sinlim )2( 0 是 一 個 無 窮 小 量時 xxxx . 1 , 0,1lim )3( 是 一 個 無 窮 小 量時 xxxx . cos , 2 0,coslim )4( 2 是 一 個 無 窮 小 量時 xxxx 0,0 lim )5( 在 任 何 一 個 極 限 過 程 中 , 常 值 函 數(shù) y = 0 均 為 無 窮 小 量 . , )0( 0 ,0 使 當若 X , )|( | 0 0 時Xxxx |)(| xf , )( )( , 0 時當則 稱成 立 xxxxf . 為 無 窮 小 量 分 析 , | 0 , 0 , )(lim 00 時當則若 xxaxfxx , |0)(| |)(| axfaxf . )( , 0 是 一 個 無 窮 小 量時即 當 axfxx , )( 0)( , )()( 0 且則令 xxxaxfx . )( )()( 0 xxxaxf 反 之 亦 然 . 由 以 上 的 分 析 , 你 可 得 出 什 么 結(jié) 論 ? 由 此 可 看 出 , 尋 找 函 數(shù) 極 限 運 算 法 則可 歸 結(jié) 為 尋 找 無 窮 小 量 的 運 算 法 則 . )(lim)( 0 axfx xx , )()( xaxf . )( , ( 0)( , 0 xxxx其 中 同 一 個 極 限 過 程 中 的 有 限 個無 窮 小 量 之 和 仍 是 一 個 無 窮 小 量 . 同 一 個 極 限 過 程 中 的 有 限 個無 窮 小 量 之 積 仍 為 無 窮 小 量 . 常 數(shù) 與 無 窮 小 量 之 積 仍為 無 窮 小 量 . 在 某 極 限 過 程 中 , 以 極 限 不為 零 的 函 數(shù) 除 無 窮 小 量 所 得 到 商仍 為 一 個 無 窮 小 量 . 在 某 一 極 限 過 程 中 , 無 窮 小 量與 有 界 量 之 積 仍 是 一 個 無 窮 小 量 . 證 明 ： 在 某 極 限 過 程 中 , 兩 個 無 窮 小 量 之 和 仍 是 一 個 無 窮 小 量 .證 , , 0 則時 的 兩 個 無 窮 小 量為設(shè) xx , 0 , 2 | , | 0 , 0 101 時當 xx , 2 | , | 0 , 0 202 時當 xx , | 0 , ,min 021 有時則 當取 xx , 22 | | . , 0 是 一 個 無 窮 小 量時即 xx 證 明 : 在 某 一 極 限 過 程 中 , 無 窮 小 量 與 有 界 量 的 積 仍 是 一 個 無 窮 小 量 .證 ,0 0 , )( 10 和即時 的 有 界 量是設(shè) Mxxxf . |)(| , ),U( 10 Mxfxx 時使 當 ,0 ,0 , )( 0)( 20 使 當則又 設(shè) xxx . |)(| , | 0 20 Mxxx 時 , | 0 ,min 021 時則 當令 xx MMxxfxxf |)(|)(| |)()(| . )()( , 0 為 無 窮 小 量時故 當 xxfxx 例2證0sin1lim xxx證 明 ) ( , 01 lim 無 窮 小 量因 為 xx ) ( , ),( 1 |sin| 有 界 量 xx . 0sin1lim xxx故有界量與無窮小量的乘積 證 明 ： 在 某 極 限 過 程 中 以 極 限 不 為 零 的 函 數(shù) 除 無 窮 小 量 所 得 到 商 仍 為 一 個 無 窮 小 量 .證 . )( 0)( ; 0 , )(lim 00 xxxaaxfxx 設(shè) , | 0 ,0 ,2| 000 有時當則取 xxa , 2| |)(| aaxf , ),U( |2 )(1 2| |)(| 00 xxaxfaxfa 故 . )(1 , 0 有 界時即 xfxx . 0)( )(lim 0 xf xxx 故 (i) 一 般 說 來 ,有 界 量 的 倒 數(shù) 不 一 定 有 界 . 例 如 , f (x) = x, x(0, 1).(ii) 我 們 沒 有 涉 及 兩 個 無 窮 小 量 商 的 極 限 的 情 形 ,因 為 它 的 情 形 較 復(fù) 雜 ,將 在 以 后 專 門 討 論 .： . ,3 , , , 0 , 223223 的 情 況時可 觀 察例 如xxxxxxx 例3 . 4lim 2 30 x xx求解 ) ( , 0lim 30 無 窮 小 量由 于 xx ) ( , 4)4(lim 20 極 限 不 為 零 xx . 04lim 2 30 x xx故 , | ,0 ,0 有時當若 XxXM Mxf |)(| , )( , 記 為時 的 無 窮 大 量為則 稱成 立 xxf . )( )( )(lim xxfxfx 或 . )(lim ,)( 稱 為 正 無 窮 大 量 則 換 成 xf Mxfx . )(lim ,)( 稱 為 負 窮 大 量 則 換 成 xf Mxfx 例4 , (i) 2xy ,ln (iii) xy .lim 2 xx ,lnlim 0 xx .lnlim xx,tan (iv) xy ,tanlim2 xx .tanlim2 xx , (ii) 3xy .lim 3 xx (iii), (iv) 自 己 畫畫 圖 會 更 清 楚 . 例5 ? )2( , 是 否 為 無 窮 大 量時當 nnxn 解有時則 當取 , , log 2 NnMN Mn |)2(| . )2(limlim nnnn x故 ,0M 2 |)2(| | Mx nnn 要 , log2 Mn 無 窮 大 量 是 按 絕 對 值 定 義 的 . 例6 無 窮 大 量 是 否 一 定 是 無 界 量 ?在 某 極 限 過 程 中 ,無 界 量 是 否 一 定 是 無 窮 大 量 ? . 2 )1( , ,0 ,2 ,0 , ,4 ,0 ,2 ,0 : , nnxnx nnn 例 如 0 , , 的 項 使總 有 等 于時當取 多 么 大不 論 NnN | Mxn . , , 不 是 無 窮 大 量時故 當不 成 立 nxn 但 該 數(shù) 列 是 無 界 的 . 當 x 時 , 函 數(shù) sinx、 cosx, 是 否 為 無 窮 大 量 ？因 為 sinx、 cosx 是 有 界 函 數(shù) , 所 以 在 任 何 極 限 過 程 中 它 們 都 不 是 無 窮 大 量 . ( 無 窮 大 量 的 倒 數(shù) 為 無 窮 小 量 , x 0 )( 無 窮 小 量 的 倒 數(shù) 為 無 窮 大 量 , x 0 )則例7 . 0 ),( , 1)( xxxxf 且設(shè) .01lim )1( xx .1lim )2( 0 xx 在 某 一 極 限 過 程 中 請 自 己 根 據(jù) 定 義 自 已 進 行 證 明 . ,0)( )( xfxf 是 一 個 無 窮 大 量 且若 . )(1 為 無 窮 小 量則 xf ,0)( )( xfxf 是 一 個 無 窮 小 量 且若 . )(1 為 無 窮 大 量則 xf ,)(lim xf若無 窮 大 量 一 定 是 同 一極 限 過 程 中 的 無 界 量 .反 之 不 真 . |)(|lim xf則 在 某 極 限 過 程 中 ,兩 個 無 窮 大 量 之 積仍 是 一 個 無 窮 大 量 .在 某 極 限 過 程 中 , 無 窮 大 量 與有 界 量 之 和 仍 為 無 窮 大 量 . ,0 , ,0 ,0 : nn yx ,8 ,6 ,4 ,2 : nn yx ,)1( , ,4 ,3 2, ,1 : nx nn ,)1( , ,4 ,3 2, ,1 : 1ny nn 此 時時顯 然 . , , , nn yxn例8 兩 個 無 窮 大 量 的 和 是 否 仍 為 無 窮 大 量 ?考 察 例9 有 界 量 與 無 窮 大 量 的 乘 積是 否 一 定 為 無 窮 大 量 ？ 不 著 急 , 看 個 例 題 : , )( )(1 xxxf 1, 1 |)(| , )1 | ( 2 xxgxx 時不 妨 設(shè)當 . )( 011)()( 21 xxxxxgxf而 , )( )( 32 xxxf . )( 1)()( 232 xxxxxgxf 例9 有 界 量 與 無 窮 大 量 的 乘 積是 否 一 定 為 無 窮 大 量 ？ 不 著 急 , 看 個 例 題 : , )( )(1 xxxf 1, 1 |)(| , )1 | ( 2 xxgxx 時不 妨 設(shè)當 . )( 011)()( 21 xxxxxgxf而 , )( )( 32 xxxf . )( 1)()( 232 xxxxxgxf 不 一 定 再 是 無 窮 大 量 . 在 某 個 極 限 過 程 中 , 無 窮 大 量 一 定 是 無 界 量 , 但 無 界 量不 一 定 是 無 窮 大 量 .兩 個 無 窮 大 量 的 和 不 一 定 是 無 窮 大 量 . 無 窮 大 量 與 有 界 量 之 積 不 一 定 是 無 窮 大 量 .