微積分學(xué)PPt標(biāo)準(zhǔn)課件13-第13講閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 腳本編寫、教案制作：劉楚中 彭亞新 鄧愛珍 劉開宇 孟益民 第三章 函數(shù)的極限與連續(xù)性本章學(xué)習(xí)要求： 了解函數(shù)極限的概念，知道運用“”和 “X ”語言描 述函數(shù)的極限。 理解極限與左右極限的關(guān)系。熟練掌握極限的四則運算法則 以及運用左右極限計算分段函數(shù)在分段點處的極限。 理解無窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無窮小量間的關(guān)系。 掌握無窮小量的比較，能熟練運用等價無窮小量計算相應(yīng)的 函數(shù)極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關(guān)系。 理解極限存在準(zhǔn)則。能較好運用極限存在準(zhǔn)則和兩個重要極 限求相應(yīng)的函數(shù)極限。 理解函數(shù)在一點連續(xù)以及在區(qū)間上連續(xù)的概念，會判斷函數(shù) 間斷點的類型。了解基本初等函數(shù)和初等函數(shù)的連續(xù)性以及 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（介值定理、最值定理）。 理解冪級數(shù)的基本概念。掌握冪級數(shù)的收斂判別法。 一 .最 大 值 和 最 小 值 定 理二 .介 值 定 理三 . 函 數(shù) 的 一 致 連 續(xù) 性 1 最 大 值 和 最 小 值 定 理設(shè) f (x) C ( a, b ), 則 (i) f (x) 在 a, b 上 為 以 下 四 種 單 調(diào) 函 數(shù) 時 aO b xy aO b xy O a b xy O a b xy y = f (x) a, b , y = f (x) a, b , . )()(max, bfxfbax , )()(min, afxfbax ， )()(max , afxfbax . )()(min, bfxfbax 此 時 , 函 數(shù) f (x) 恰 好 在 a, b 的 端 點 a 和 b 處 取 到 最 大 值 和 最 小 值 .則 則 (ii) y = f (x) 為 一 般 的 連 續(xù) 函 數(shù) 時 xya a1 a2 a3 a4 a5 a6 bma mby = f (x)O 1am 2am 3am 4am 5am 6am (最 大 值 和 最 小 值 定 理 )若 f (x) C ( a, b ) , 則 它 在 該 閉 區(qū) 間上 , 至 少 取 到 它 的 最 大 值 和 最 小 值 各 一 次 . 在 定 理 中 , 閉 區(qū) 間 的 條 件 是 很 重 要 的 , 例 如 , y = x 在 (1, 3) 內(nèi) 連 續(xù) , 但 它 不 能 取 到 它 的 最 大值 和 最 小 值 . 若 f (x)C( a, b ), 則 f (x) 在 a, b 上 有 界 . xya a1 a2 a3 a4 a5 a6 bma mby = f (x)O 1am 2am 3am 4am 5am 6am 看 圖 就 知 道 如 何 證 明 了 . 推論 f (x) 在 a, b 上 可 取 到 它 的 最 大 值 M 和 f (x)C ( a, b )故 m f (x) M , xa, b,| f (x) | M* , xa, b,令 M* = max |m|, | M| , 則即 f (x) 在 a, b 上 有 界 .最 小 值 m ,證 二 .介 值 定 理 a xy y = f (x)f (a) bf (b)Of (x)C ( a, b ), f (a) f (b) 0, f ( ) 0.先 看 一 個 圖 描述一下這個現(xiàn)象 (根 存 在 定 理 或 零 點 定 理 )則 至 少 存 在 一 點 (a, b), 使 得 f ( ) 0.設(shè) f (x) C ( a, b ), 且 f (a) f (b) 0,a xy y = f (x)f (a) bf (b)O 如何證明？ 將 區(qū) 間 a, b 等 分 為 a, a1 和 a1, b , 在 這 兩 個 區(qū) 間 中 , 選 擇 與 a, b 性 質(zhì) 相 同 的一 個 , 例 如 , 若 f (a1) f (b) 0 , 則 選 取 區(qū) 間如 此 下 去 , 小 區(qū) 間 的 長 度 趨 于 零 , 并 且a1, b, 然 后 , 對 a1, b 進 行 等 分 , 并 進 行 選擇 , 又 得 一 個 新 的 小 區(qū) 間 .總 保 持 函 數(shù) 區(qū) 間 端 點 值 反 號 的 性 質(zhì) , 由 函 數(shù)的 連 續(xù) 性 , 這 些 小 區(qū) 間 的 左 端 點 或 右 端 點 構(gòu)成 的 數(shù) 列 的 極 限 值 , 就 是 要 求 的 (a, b). f (a) =A f (b) =By y = f (x) Cyf ( ) = C下 面 看 看 , 坐 標(biāo) 平 移 會 產(chǎn) 生 什 么 效 果 .xxxxO a b xa b xO 如 何 描 述 這 個 現(xiàn) 象 ? (介 值 定 理 )設(shè) f (x)C ( a, b ), f (a) A, f (b) B,且 A B, 則 對 于 A, B 之 間 的 任 意 一 個 數(shù) C, 至 少 存 在 一 點 (a, b), 使 得 f () = C. 令 (x) = f (x) C 故 由 根 存 在 定 理 , 至 少 存 在 一 點 (a, b) 使 則 (x)C ( a, b ) C 在 A, B 之 間 (a) (b) = ( f (a) C )( f (b) C )= ( A C ) ( B C ) 0yBCAO a b b xx證 ( )= 0, 即 f ( ) = C . 最 大 、 最 小 值 定 理介 質(zhì) 定 理 ？ 引 入設(shè) f (x) C ( a, b ), 則 f (x) 取 得值 m 之 間 的 任 何 一 個 值 . 推論介 于 其 在 a, b 上 的 最 大 值 M 和 最 小 .)()()()( 21 n xfxfxff n 設(shè) f (x)C ( a, b ), 證 明 : 至 少 存 在 一 點 x1 , xn , 使 得例1 a x1 x2 xn b, 證故由 ),()( baCxf , )(max)()(min , Mxfxfmxf baxbax , )()( 1 Mn xfxfm n 從 而由 介 值 定 理 , 至 少 存 在 一 點 ( x1 , xn ), 使. )()()( 1 n xfxff n 證 明 方 程 x5 3x =1, 在 x =1 與 x =2 之 間令 f (x) = x5 3x 1, x1, 2,則 f (x)C( 1, 2 ),又 f (1) = 3, f (2) = 25, f (1) f (2) 0, b 0 )設(shè) f (x) = x a sin x b , x 0, a + b ,則 f (x)C( 0, a + b ),而 f (0) = 0 a sin 0 b = b 0, 則 f (0) f (a + b) 0, 由 根 存 在綜 上 所 述 , 方 程 在 ( 0, a + b 上 至 少 有 一 個 根 , 例4 : . , 證 明并 且 連 續(xù)在 圓 周 上 有 定 義已 知 函 數(shù) f , , 使處和在 其 兩 個 端 點可 以 找 到 一 直 徑 ba證 . , 極 坐 標(biāo) 系以 某 個 半 徑 為 極 軸 建 立以 圓 心 為 極 點 , , 的也 是函 數(shù)確 定圓 周 上 的 一 點 可 由 極 角于 是 f . 2 , 為 周 期且 以的 函 數(shù) ).()( , , ff使 得原 問 題 歸 結(jié) 為 求 一從 而 . )( ),()()( 是 一 連 續(xù) 函 數(shù)則令 ff ; 0,0)0( 的 直 徑 即 為 所 求則 對 應(yīng) 于 極 角若 ).()( bfaf ,0)0( 則 由若 )2()()()()( ffff ),0()()0()0()( ffff )()()( ff ,0)()0( , ,0 )( 且上 連 續(xù)在故 函 數(shù) ,0)( ),0( : 00 使 得由 介 質(zhì) 定 理 可 知 ).()( 00 ff即 有 證 畢 三 *. 函 數(shù) 的 一 致 連 續(xù) 性設(shè) 函 數(shù) f (x) 在 U(x0) 內(nèi) 有 定 義 . , 若 , 當(dāng) | x x0 | 時 , 有成 立 , 則 稱 函 數(shù) f (x) 在 點 x0 處 是 連 續(xù) 的 .| f (x) f (x0) | .部 性 的 概 念函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 是 一 個 局 .言 的函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 是 對 點 而 : , 0 的 位 置 有 關(guān)而 且 與 點不 僅 依 賴 于定 義 中 的 x .) ,( 0 x :續(xù) 函 數(shù) 所 具 有 的 特 性一 致 連 續(xù) 性 是 指 有 些 連 ,0 對 于 任 意 給 定 的 一 個 0,)( 有 關(guān) 的可 以 找 到 只 與 , 21 xxI 和內(nèi) 的 任 意 兩 點使 對 區(qū) 間 ),( | 21 就 有只 要 xx . |)()(| 21 xfxf , 0, , 1 Ix 對 于 任 意 給 定 的 一 個就 是 說 )( , ) ,( 11 就 夾 在 水 平 線曲 線時當(dāng) xfyxxx . )( )( 11 之 間與 xfyxfy 大 數(shù) 學(xué) 家 魏 爾 斯 特 拉 斯 給 我 們 提 供 了一 個 在 閉 區(qū) 間 上 判 別 函 數(shù) 一 致 連 續(xù) 的 原 則內(nèi) 閉 一 致 連 續(xù) 性 ： 若 函 數(shù) 在 區(qū) 間 I 內(nèi) 連 續(xù) , 則 在 區(qū) 間 I 內(nèi)的 任 何 一 個 閉 區(qū) 間 a, b I 上 , 函 數(shù) 是 一致 連 續(xù) 的 .