2020年考研數學真題及答案

考研數學二真題一 填空題(84=32分)2009年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學二試題一、選擇題：18小題，每小題8分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內。（1）函數與是等價無窮小，則（）（A）1（B）2（C）3（D）無窮多個（2）當時，與是等價無窮小，則（）（A）（B）（C）（D）（3）設函數的全微分為，則點（0，0）（）（A）不是的連續(xù)點（B）不是的極值點（C）是的極大值點（D）是的極小值點（4）設函數連續(xù)，則=（）（A）（B）（C）（D）（5）若不變號，且曲線在點（1，1）的曲率圓為，則在區(qū)間（1，2）內（）（A）有極值點，無零點（B）無極值點，有零點（C）有極值點，有零點（D）無極值點，無零點（6）設函數在區(qū)間-1,3上的圖形為 則函數為（）（7）設、B均為2階矩陣，分別為A、B的伴隨矩陣。若|A|=2，|B|=3，則分塊矩陣的伴隨矩陣為（）（A）（B）（C）（D）（8）設A，P均為3階矩陣，為P的轉置矩陣，且A，若，則為（）（）（）（）（）二、填空題：9-14 小題，每小題 4分，共 24 分，請將答案寫在答題紙指定位置上。（9）曲線在（0，0）處的切線方程為_（10）已知，則k=_（11）=_（12）設是方程確定的隱函數，則=_（13）函數在區(qū)間(0,1上的最小值為_（14）設為3維列向量，為的轉置，若相似于，則=_三、解答題：15-23 小題，共 94 分。請將解答寫在答題紙指定的位置上。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（15）（本題滿分9分）求極限（16）（本題滿分10分）計算不定積分（17）（本題滿分10分）設，其中具有2階連續(xù)偏導數，求與（18）（本題滿分10分）設非負函數y=y(x)(x0)，滿足微分方程，當曲線y=y(x)過原點時，其與直線x=1及y=0圍成平面區(qū)域的面積為2，求D繞y軸旋轉所得旋轉體體積。（19）（本題滿分10分）求二重積分，其中（20）（本題滿分12分）設y=y(x)是區(qū)間內過點的光滑曲線，當時，曲線上任一點處的發(fā)現都過原點，當時，函數y(x)滿足。求y(x)的表達式。（21）（本題滿分11分）（I）證明拉格朗日中值定理：若函數在a,b上連續(xù)，在（a,b）可導，則存在，使得。（II）證明：若函數在x=0處連續(xù)，在內可導，且則存在，且。（22）（本題滿分11分）設（I）求滿足的所有向量；（II）對（I）中的任一向量，證明：線性無關。（23）（本題滿分11分）設二次型（I）求二次型的矩陣的所有特征值；（II）若二次型的規(guī)范形為，求a的值。2008考研數學二真題一、選擇題：（本題共8小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）(1)設，則的零點個數為( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3(2)曲線方程為，函數在區(qū)間上有連續(xù)導數，則定積分在幾何上表示( ) (A) 曲邊梯形的面積 (B) 梯形的面積(C) 曲邊三角形面積 (D) 三角形面積(3)在下列微分方程中，以（為任意的常數）為通解的是( )(A) . (B) .(C) . (D) .(4) 判定函數間斷點的情況( )(A) 有1可去間斷點，1跳躍間斷點(B) 有1跳躍間斷點，1無窮間斷點(C) 有2個無窮間斷點. (D)有2個跳躍間斷點. (5)設函數在內單調有界，為數列，下列命題正確的是( )(A) 若收斂，則收斂 (B) 若單調，則收斂 (C) 若收斂，則收斂. (D) 若單調，則收斂. (6)設函數連續(xù)，若，其中區(qū)域為圖中陰影部分，則( )(A) (B) (C) (D) (7)設為階非零矩陣，為階單位矩陣若，則下列結論正確的是( )(A) 不可逆，不可逆. (B) 不可逆，可逆.(C) 可逆， 可逆. (D) 可逆， 不可逆.(8) 設，則在實數域上，與A合同矩陣為( )(A) . (B) . (C) . (D) . 二、填空題：（914小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上）(9)已知函數連續(xù)，且，則(10)微分方程的通解是 .(11)曲線在點處的切線方程為 .(12)曲線的拐點坐標為 .(13)設，則 .(14)設3階矩陣的特征值為若行列式，則_.三、解答題(1523小題，共94分)(15)(本題滿分9分)求極限(16)(本題滿分10分)設函數由參數方程確定，其中是初值問題的解，求(17)（本題滿分9分）計算(18)(本題滿分11分)計算，其中(19)(本題滿分11分)設是區(qū)間上具有連續(xù)導數的單調增加函數，且對任意的，直線，曲線以及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周生成一旋轉體，若該旋轉體的側面面積在數值上等于其體積的2倍，求函數的表達式(20)(本題滿分11分)(I) 證明積分中值定理：若函數在閉區(qū)間上連續(xù)，則至少存在一點，使得；(II) 若函數具有二階導數，且滿足，證明至少存在一點，使得(21)(本題滿分11分)求函數在約束條件和下的最大值和最小值(22) (本題滿分12分)設元線性方程組，其中 ， （I）證明行列式；（II）當為何值時，該方程組有惟一解，并求（III）當為何值時，該方程組有無窮多解，并求其通解(23) (本題滿分10分)設為3階矩陣，為的分別屬于特征值的特征向量，向量滿足，(I)證明線性無關；(II)令，求2007年研究生入學考試數學二試題一、選擇題：110小題，每小題4分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.（1）當時，與等價的無窮小量是 （A） （B） （C） （D） （2）函數在上的第一類間斷點是 （ ） （A）0 （B）1 （C） （D）（3）如圖，連續(xù)函數在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設，則下列結論正確的是： （A） (B) （C） （D） （4）設函數在處連續(xù)，下列命題錯誤的是： （A）若存在，則 （B）若存在，則 . （B）若存在，則 （D）若存在，則. （5）曲線的漸近線的條數為（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. （6）設函數在上具有二階導數，且，令，則下列結論正確的是： (A) 若 ，則必收斂. (B) 若 ，則必發(fā)散 (C) 若 ，則必收斂. (D) 若 ，則必發(fā)散. （7）二元函數在點處可微的一個充要條件是（A）.（B）.（C）.（D）.（8）設函數連續(xù)，則二次積分等于（A） （B）（C） （D）（9）設向量組線性無關，則下列向量組線性相關的是線性相關，則(A) (B) (C) .(D) . （10）設矩陣，則與 (A) 合同且相似 （B）合同，但不相似. (C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 二、填空題：1116小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.（11） _.（12）曲線上對應于的點處的法線斜率為_.（13）設函數，則_.（14） 二階常系數非齊次微分方程的通解為_.（15） 設是二元可微函數，則 _.（16）設矩陣，則的秩為 . 三、解答題：1724小題，共86分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（17） (本題滿分10分)設是區(qū)間上單調、可導的函數，且滿足，其中是的反函數，求.（18）（本題滿分11分） 設是位于曲線下方、軸上方的無界區(qū)域. （）求區(qū)域繞軸旋轉一周所成旋轉體的體積； （）當為何值時，最小？并求此最小值.（19）（本題滿分10分）求微分方程滿足初始條件的特解（20）（本題滿分11分）已知函數具有二階導數，且，函數由方程所確定，設，求.（21） (本題滿分11分)設函數在上連續(xù)，在內具有二階導數且存在相等的最大值，證明：存在，使得.（22） (本題滿分11分) 設二元函數，計算二重積分，其中.（23） (本題滿分11分) 設線性方程組與方程有公共解，求的值及所有公共解.1.【分析】本題為等價無窮小的判定，利用定義或等價無窮小代換即可.【詳解】當時， 故用排除法可得正確選項為（B）. 事實上， 或.所以應選（B）【評注】本題為關于無窮小量比較的基本題型，利用等價無窮小代換可簡化計算. 2【分析】因為函數為初等函數，則先找出函數的無定義點，再根據左右極限判斷間斷點的類型.【詳解】函數在均無意義， 而； ； . 所以為函數的第一類間斷點，故應選（A）.【評注】本題為基礎題型. 對初等函數來講，無定義點即為間斷點，然后再根據左右極限判斷間斷點的類型；對分段函數來講，每一分段支中的無定義點為間斷點，而分段點也可能為間斷點，然后求左右極限進行判斷.段函數的定積分.【詳解】利用定積分的幾何意義，可得 ， . 所以 ，故選（C）.【評注】本題屬基本題型. 本題利用定積分的幾何意義比較簡便.4【分析】本題考查可導的極限定義及連續(xù)與可導的關系. 由于題設條件含有抽象函數，本題最簡便的方法是用賦值法求解，即取符合題設條件的特殊函數去進行判斷，然后選擇正確選項.【詳解】取，則，但在不可導，故選（D）. 事實上， 在(A),(B)兩項中，因為分母的極限為0，所以分子的極限也必須為0，則可推得.在（C）中，存在，則，所以(C)項正確，故選(D)【評注】對于題設條件含抽象函數或備選項為抽象函數形式結果以及數值型結果的選擇題，用賦值法求解往往能收到奇效. 5【分析】利用曲線的漸近線的求解公式求出水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線，然后判斷.【詳解】， 所以 是曲線的水平漸近線； ，所以是曲線的垂直漸近線； ， ，所以是曲線的斜漸近線. 故選（D）.【評注】本題為基本題型，應熟練掌握曲線的水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線的求法.注意當曲線存在水平漸近線時，斜漸近線不存在. 本題要注意當時的極限不同.6【分析】本題依據函數的性質，判斷數列. 由于含有抽象函數，利用賦值法舉反例更易得出結果.【詳解】選（D）. 取，而發(fā)散，則可排除（A）；取，而收斂，則可排除（B）；取，而發(fā)散，則可排除（C）； 故選（D）.事實上，若，則. 對任意，因為，所以， 對任意，. 故選（D）.【評注】對于含有抽象函數的問題，通過舉符合題設條件的函數的反例可簡化計算.7.【分析】本題考查二元函數可微的充分條件. 利用可微的判定條件及可微與連續(xù)，偏導的關系.【詳解】本題也可用排除法，（A）是函數在連續(xù)的定義；（B）是函數在處偏導數存在的條件；（D）說明一階偏導數存在，但不能推導出兩個一階偏導函數在點(0,0) 處連續(xù)，所以（A）（B）（D）均不能保證在點處可微. 故應選（C）. 事實上， 由可得 ，即同理有從而 = .根據可微的判定條件可知函數在點處可微，故應選(C). 【評注】二元函數連續(xù)或偏導數存在均不能推出可微，只有當一階偏導數連續(xù)時，才可微.8,【分析】本題更換二次積分的積分次序，先根據二次積分確定積分區(qū)域，然后寫出新的二次積分.【詳解】由題設可知，則， 故應選（B）.【評注】本題為基礎題型. 畫圖更易看出.9.【分析】本題考查由線性無關的向量組構造的另一向量組的線性相關性. 一般令，若，則線性相關；若，則線性無關. 但考慮到本題備選項的特征，可通過簡單的線性運算得到正確選項.【詳解】由可知應選（A）.或者因為，而， 所以線性相關，故選（A）.【評注】本題也可用賦值法求解，如取，以此求出（A），（B），（C），（D）中的向量并分別組成一個矩陣，然后利用矩陣的秩或行列式是否為零可立即得到正確選項.10.【分析】本題考查矩陣的合同關系與相似關系及其之間的聯(lián)系，只要求得的特征值，并考慮到實對稱矩陣必可經正交變換使之相似于對角陣，便可得到答案. 【詳解】 由可得， 所以的特征值為3,3,0；而的特征值為1,1,0. 所以與不相似，但是與的秩均為2，且正慣性指數都為2，所以與合同，故選（B）.【評注】若矩陣與相似，則與具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通過計算與的特征值可立即排除（A）（C）.11【分析】本題為未定式極限的求解，利用洛必達法則即可.【詳解】.【評注】本題利用了洛必達法則. 本題還可用泰勒級數展開計算. 因為 ， 所以 .12.【分析】本題考查參數方程的導數及導數的幾何意義.【詳解】因為，所以曲線在對應于的點的切線斜率為，故曲線在對應于的點的法線斜率為.【評注】本題為基礎題型.13.【分析】本題求函數的高階導數，利用遞推法或函數的麥克老林展開式.【詳解】，則，故.【評注】本題為基礎題型.14.【分析】本題求解二階常系數非齊次微分方程的通解，利用二階常系數非齊次微分方程解的結構求解，即先求出對應齊次方程的通解，然后求出非齊次微分方程的一個特解，則其通解為 .【詳解】對應齊次方程的特征方程為 ， 則對應齊次方程的通解為 . 設原方程的特解為 ，代入原方程可得 ， 所以原方程的特解為， 故原方程的通解為 ，其中為任意常數.【評注】本題為基礎題型.15【分析】本題為二元復合函數求偏導，直接利用公式即可.【詳解】利用求導公式可得， 所以.【評注】二元復合函數求偏導時，最好設出中間變量，注意計算的正確性.16【分析】先將求出，然后利用定義判斷其秩.【詳解】.【評注】本題考查矩陣的運算和秩，為基礎題型.17【分析】對含變上限積分的函數方程，一般先對x求導，再積分即可.【詳解】 兩邊對求導得 ，（）兩邊積分得. （1）將代入題中方程可得 .因為是區(qū)間上單調、可導的函數，則的值域為，單調非負，所以. 代入（1）式可得，故.【評注】利用變限積分的可導性是解函數方程的方法之一. 18.【分析】V(a)的可通過廣義積分進行計算，再按一般方法求V(a) 的最值即可【詳解】（）.（）令，得. 當時，單調增加； 當時，單調減少. 所以在取得極大值，即為最大值，且最大值為.【評注】本題為定積分幾何應用的典型問題，需記憶相關公式，如平面圖形的面積，繞坐標軸的旋轉體的體積公式等.19.【分析】本題為不含的可降階方程，令，然后求解方程.【詳解】本題不含，則設，于是，原方程變?yōu)?， 則 ，解之得，將代入左式得 ， 于是 ，結合得， 故 .【評注】本題為基礎題型.20.【分析】本題實質上是二元復合函數的求導，注意需用隱函數求導法確定.【詳解】令，則. 兩邊對求導得 ，又，可得 在兩邊對求導得 . 所以 . . 【評注】也可利用兩邊對求導得 可得. 21【分析】由所證結論可聯(lián)想到構造輔助函數，然后根據題設條件利用羅爾定理證明.【詳解】令，則在上連續(xù)，在內具有二階導數且.（1）若在內同一點取得最大值，則， 于是由羅爾定理可得，存在，使得. 再利用羅爾定理，可得 存在，使得，即.（2）若在內不同點取得最大值，則，于是 ， 于是由零值定理可得，存在，使得 于是由羅爾定理可得，存在，使得. 再利用羅爾定理，可得 ，存在，使得，即.【評注】對命題為的證明，一般利用以下兩種方法：方法一：驗證為的最值或極值點，利用極值存在的必要條件或費爾馬定理可得證； 方法二：驗證在包含于其內的區(qū)間上滿足羅爾定理條件. 22.【分析】由于積分區(qū)域關于軸均對稱，所以利用二重積分的對稱性結論簡化所求積分.【詳解】因為被積函數關于均為偶函數，且積分區(qū)域關于軸均對稱，所以 ，其中為在第一象限內的部分. 而 . 所以 .【評注】被積函數包含時, 可考慮用極坐標，解答如下：.23【分析】將方程組和方程合并，然后利用非齊次線性方程有解的判定條件求得.【詳解】將方程組和方程合并，后可得線性方程組其系數矩陣.顯然，當時無公共解.當時，可求得公共解為 ,為任意常數；當時，可求得公共解為 .【評注】本題為基礎題型，考查非齊次線性方程組解的判定和結構.（24） (本題滿分11分)設三階對稱矩陣的特征向量值，是的屬于的一個特征向量，記，其中為3階單位矩陣. （I）驗證是矩陣的特征向量，并求的全部特征值與特征向量；（II）求矩陣. 【分析】本題考查實對稱矩陣特征值和特征向量的概念和性質. 【詳解】（I）， 則是矩陣的屬于2的特征向量. 同理可得 ，. 所以的全部特征值為2，1，1 設的屬于1的特征向量為，顯然為對稱矩陣，所以根據不同特征值所對應的特征向量正交，可得. 即 ，解方程組可得的屬于1的特征向量 ，其中為不全為零的任意常數. 由前可知的屬于2的特征向量為 ，其中不為零.（II）令，由（）可得，則 .【評注】本題主要考查求抽象矩陣的特征值和特征向量，此類問題一般用定義求解，要想方設法將題設條件轉化為的形式. 請記住以下結論：（1）設是方陣的特征值，則分別有特征值 可逆），且對應的特征向量是相同的. （2）對實對稱矩陣來講，不同特征值所對應的特征向量一定是正交的精品 Word 可修改 歡迎下載 親愛的用戶：煙雨江南，畫屏如展。在那桃花盛開的地方，在這醉人芬芳的季節(jié)，愿你生活像春天一樣陽光，心情像桃花一樣美麗，感謝你的閱讀。1、最困難的事就是認識自己。21.4.274.27.202100:0500:05:354月-2100:052、自知之明是最難得的知識。二二一二二一年四月二十七日2021年4月27日星期二3、越是無能的人，越喜歡挑剔別人。00:054.27.202100:054.27.202100:0500:05:354.27.202100:054.27.20214、與肝膽人共事，無字句處讀書。4.27.20214.27.202100:0500:0500:05:3500:05:355、三軍可奪帥也。星期二, 四月 27, 2021四月 21星期二, 四月 27, 20214/27/20216、最大的驕傲于最大的自卑都表示心靈的最軟弱無力。12時5分12時5分27-4月-214.27.20217、人生就是學校。21.4.2721.4.2721.4.27。2021年4月27日星期二二二一二二一年四月二十七日8、你讓愛生命嗎，那么不要浪費時間。00:0500:05:354.27.2021星期二, 四月 27, 2021