心理與教育統(tǒng)計學(xué)第6章概率分布

第 六 章 概 率 分 布 第 6章 章 節(jié) 內(nèi) 容6.1 概 率 的 基 本 概 念6.2 正 態(tài) 分 布6.3 二 項 分 布6.4 樣 本 分 布 6.1 概 率 的 基 本 概 念在 個 別 試 驗 中 其 結(jié) 果 呈 現(xiàn) 出 不 確 定 性 ， 在 大量 重 復(fù) 試 驗 中 其 結(jié) 果 又 具 有 統(tǒng) 計 規(guī) 律 性 的 現(xiàn)象 ， 稱 為 。 例 如 擲 硬 幣 、 拋 骰 子 等概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 是 研 究 和 揭 示 隨 機 現(xiàn) 象 統(tǒng)計 規(guī) 律 性 的 一 門 數(shù) 學(xué) 學(xué) 科 。 6.1.1 什 么 是 概 率 nmAW )(隨 機 事 件 的 當(dāng) n無 限 增 大 時 ， 隨 機 事 件 A的 頻 率 會穩(wěn) 定 在 一 個 常 數(shù) P， 這 個 常 數(shù) 就 是 隨 機 事 件A的 。 nmLimAP n )( （ 一 ） 后 驗 概 率 （ 或 統(tǒng) 計 概 率 ） （ 6.1）（ 6.2） 觀 察 隨 機 事 件 A出 現(xiàn) 的 次 數(shù) 的 方 式 來決 定 A的 概 率 ， 稱 為 后 驗 概 率 。 （ 二 ） 先 驗 概 率 （ 古 典 概 率 ）古 典 概 率 模 型 要 求 滿 足 兩 個 條 件 ： 試 驗 的 所 有 可 能 結(jié) 果 （ 或 基 本 事 件 ） 是 有 限 的 ； 每 一 種 基 本 事 件 出 現(xiàn) 的 可 能 性 相 等 。 nmAP )(n為 基 本 事 件 的 總 數(shù) ；m為 事 件 A包 含 的 基 本 事 件 的 數(shù) 目 。（ 6.3） 在 事 件 A發(fā) 生 之 前 ， 可 以 通 過 計 算 確 定的 概 率 ， 稱 為 。 Dewey.G統(tǒng) 計 了 約 438023個 字 母 ， 得 到 的英 語 中 特 定 字 母 的 頻 率字 母 頻 率 字 母 頻 率 字 母 頻 率E 0.1268 L 0.0394 P 0.0186T 0.0978 D 0.0389 B 0.0156A 0.0788 U 0.028 V 0.0102O 0.0776 C 0.0268 K 0.006I 0.0707 F 0.0256 X 0.0016N 0.0706 M 0.0244 J 0.001S 0.0634 W 0.0214 Q 0.0009R 0.0594 Y 0.0202 Z 0.0006H 0.0573 G 0.0187 歷 史 上 的 投 擲 硬 幣 試 驗 實 驗 者 投 擲次 數(shù) 正 面 向 上的 次 數(shù) 頻 率德 摩 根 2048 1061 0.5181蒲 豐 4040 2048 0.5069K.皮 爾 遜 12000 6019 0.5016K.皮 爾 遜 24000 12012 0.5005 投 擲 硬 幣 的 概 率 是 后 驗 概 率 與 先驗 概 率 ？ 6.1.2 概 率 的 基 本 性 質(zhì)1 的 概 率 都 是 在 0與 1之間 的 正 數(shù) ， 即 ： 0 P(A)12 的 概 率 等 于 零 ， 即 ： P(A)= 0 3 的 概 率 等 于 1， 即 ： P(A)= 1 （ 一 ） 概 率 的 公 理 系 統(tǒng) （ 二 ） 概 率 的 加 法 定 理 若 事 件 發(fā) 生 ， 則 事 件 就 一 定 不發(fā) 生 ， 這 樣 的 兩 個 事 件 為 。 兩 互 不 相 容 事 件 和 的 概 率 ， 等 于 這兩 個 事 件 概 率 之 和 ， 即 ： )()()( BPAPBAP )()()()( 2121 nn APAPAPAAAP (6.4a) (6.4b) （ 三 ） 概 率 的 乘 法 定 理 若 事 件 發(fā) 生 不 影 響 事 件 是 否 發(fā) 生 ，這 樣 的 兩 個 事 件 為 。 兩 個 互 相 獨 立 事 件 同 時 出 現(xiàn) 的 概 率 ， 等于 這 兩 個 事 件 概 率 的 乘 積 ， 即 )()()( BPAPABP )()()()( 2121 nn APAPAPAAAP (6.5a) (6.5b) 例 ： 某 一 學(xué) 生 從 個 試 題 中 任 意 抽 取 一 題 ，進 行 口 試 。 如 果 抽 到 每 一 題 的 概 率 為 1 5，則 抽 到 試 題 或 試 題 的 概 率 是 多 少 ？ 如果 前 一 個 學(xué) 生 把 抽 過 的 試 題 還 回 后 ， 后 一個 學(xué) 生 再 抽 ， 則 個 學(xué) 生 都 抽 到 試 題 1的 概率 是 多 少 ？ 該 學(xué) 生 抽 到 試 題 1或 者 試 題 2為 不 相容 事 件 ： 525151)()()( BPAPBAP四 個 學(xué) 生 均 抽 到 試 題 1為 獨 立 事 件 ： 6251515151514321 AAAAP 例 ： 一 個 口 袋 裝 有 6只 球 ， 其 中 4只 白 球 、 2只 紅 球 ， 從 袋 中 取 球 兩 次 ?？?慮 兩 次 取 球 方 式 （ a） 放 回 抽 樣 ， 第 一 次取 一 只 球 ， 觀 察 其 顏 色 后 放 回 ， 攪 勻 后 再 取一 球 。 （ b） 不 放 回 抽 樣 ， 第 一 次 取 一 球 不放 回 袋 中 ， 第 二 次 從 剩 余 的 球 中 再 取 一 球 。請 問 這 兩 種 情 況 下 取 到 一 只 白 球 和 一 只 紅 球的 概 率 。 放 回 取 樣第 一 次 取 到 白 球 ， 第 二 次 取 到 紅 球 ： 926264)()()( BPAPABP第 一 次 取 到 紅 球 ， 第 二 次 取 到 白 球 ： 926462)()()( , BPAPBAP取 到 一 只 白 球 和 一 只 紅 球 的 概 率 ： 949292)()( , BAPABPP 不 放 回 取 樣 第 一 次 取 到 白 球 ， 第 二 次 取 到 紅 球 ： 1545264)()()( BPAPABP第 一 次 取 到 紅 球 ， 第 二 次 取 到 白 球 ： 1545462)()()( , BPAPBAP取 到 一 只 白 球 和 一 只 紅 球 的 概 率 ： 158154154)()( , BAPABPP 問 題 ： 小 明 的 班 上 有 83名 同 學(xué) ， 至 少 有一 位 同 學(xué) 與 小 明 的 生 日 相 同 的 概 率 ？（ 一 年 按 365天 計 算 ）82名 同 學(xué) 與 小 明 的 生 日 均 不 相 同 的 概 率 為 ： 7985.0)365364( 82 不 同P至 少 一 位 同 學(xué) 與 小 明 的 生 日 相 同 的 概 率 為 ：2015.07985.0-11 不 同同 PP n nP 365 1-365364365 ）（不 同 83365 138-365364365 ）（ 00004.0 99996.0-1 不 同同 PPn 20 23 30 40 50 64 100p 0.411 0.507 0.706 0.891 0.97 0.997 1 問 題 ： 83人 的 班 上 ， 至 少 兩 人 生 日 相 同的 概 率 為 多 少 ？ 0 1000 2000 30000 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 50 100 150 2000 0.2 0.4 0.6 0.8 1 “與 小 明 生 日 相 同的 概 率 ” 與 “ 班 級人 數(shù) ” 的 關(guān) 系 “至 少 兩 人 生 日 相同 的 概 率 ” 與 “ 班級 人 數(shù) ” 的 關(guān) 系人 數(shù)概率 人 數(shù)概率 小 明 的 小 組 有 6人 ， （ 1） 有 人 與 小 明 出 生 月份 相 同 的 概 率 為 多 少 ？ （ 2） 至 少 2人 出 生 月份 相 同 的 概 率 為 多 少 ？ 3528.0) 1211(-11 5 不 同同 PP 9606.012 )1612(1112-11 6 不 同同 PP （ 1）（ 2） 6.1.3 概 率 分 布 類 型概 率 分 布 是 指 對 隨 機 變 量 取 不 同 值 時 的 概 率 的描 述 ， 一 般 用 概 率 分 布 函 數(shù) 進 行 描 述 。是 總 體 的 分 布 ， 而 是 樣 本 的分 布 。給 出 的 是 單 個 結(jié) 果 發(fā) 生 的 可 能 性 ，是 對 隨 機 變 量 所 有 可 能 結(jié) 果 的 可 能 性 分 布 描述 ， 通 常 可 以 寫 成 某 個 函 數(shù) 式 形 式 。 分 組 區(qū) 間 組 中 值 人 數(shù) 頻 率 頻 率 密 度180 181 1 0.01 0.0033177 178 3 0.04 0.0133174 175 5 0.06 0.0200171 172 3 0.04 0.0133168 169 5 0.06 0.0200165 166 7 0.08 0.0267162 163 15 0.18 0.0600159 160 18 0.22 0.0733156 157 14 0.17 0.0567153 154 9 0.11 0.0367150 151 3 0.04 0.0133學(xué) 生 身 高 次 數(shù) 分 布 表 次 數(shù) 頻 率 頻 率 密 度 150 159 168 177 150 159 168 177 150 159 168 177 151 160 169 178 151 160 169 178 151 160 169 178 學(xué) 生 身 高 次 數(shù) 分 布 圖 全 國 學(xué) 生 身 高 概 率 分 布 圖 151 160 169 178 151 160 169 178 概 率 概 率 密 度 概 率 分 布 中 的 曲 線 高 度 一 般 為 概 率 密 度 ，面 積 表 示 概 率 ， 橫 坐 標(biāo) 為 樣 本 值 ； 有 少 數(shù) 情 況 下 ， 曲 線 高 度 表 示 概 率 （ 如P179二 項 分 布 ） 。 （ 一 ） 離 散 分 布 與 連 續(xù) 分 布依 隨 機 變 量 的 類 型 ， 可 將 概 率 分 布 分 為 離 散 分布 與 連 續(xù) 分 布 。當(dāng) 隨 機 變 量 只 取 孤 立 的 數(shù) 值 時 ， 這 種 隨 機 變 量稱 為 離 散 隨 機 變 量 ， 離 散 隨 機 變 量 的 概 率 分 布稱 為 離 散 分 布 。連 續(xù) 隨 機 變 量 的 概 率 分 布 稱 為 連 續(xù) 分 布 。心 理 與 教 育 統(tǒng) 計 學(xué) 中 最 常 用 的 離 散 型 分 布 是， 最 常 用 的 連 續(xù) 型 分 布 是 。 （ 二 ） 經(jīng) 驗 分 布 與 理 論 分 布依 分 布 函 數(shù) 的 來 源 ， 可 將 概 率 分 布 分 為 經(jīng) 驗 分布 與 理 論 分 布 。是 指 根 據(jù) 觀 察 或 實 驗 所 獲 得 的 數(shù) 據(jù) 而編 制 的 次 數(shù) 分 布 或 頻 率 分 布 。 經(jīng) 驗 分 布 往 往 是總 體 的 一 個 樣 本 。有 兩 個 含 義 ， 一 是 隨 機 變 量 概 率 分 布的 函 數(shù) （ 如 ） ， 二 是 按 某 種 數(shù) 學(xué) 模 型計 算 出 的 總 體 的 次 數(shù) 分 布 （ 如 ） 。 （ 三 ） 基 本 隨 機 變 量 分 布 與 抽 樣 分 布依 所 描 述 的 數(shù) 據(jù) 的 樣 本 特 性 ， 可 將 概 率 分 布 分為 基 本 隨 機 變 量 分 布 與 抽 樣 分 布 。是 隨 機 變 量 各 種 不 同 取 值 情況 的 概 率 分 布 ， 如 二 項 分 布 與 正 態(tài) 分 布 。是 從 同 一 總 體 內(nèi) 抽 取 的 不 同的 概 率 分 布 ， 如 平 均 數(shù) 分 布 ， 方 差 分 布 ，相 關(guān) 系 數(shù) 分 布 等 。 復(fù) 習(xí) )()()( BPAPABP l古 典 概 率 與 統(tǒng) 計 概 率 )()()( BPAPBAP 加 法 原 理 ：乘 法 原 理 ：l頻 率 與 概 率l頻 率 分 布 與 概 率 分 布 6.2 正 態(tài) 分 布也 稱 為 常 態(tài) 分 布 ， 是 連 續(xù) 型 隨 機 變量 概 率 分 布 的 一 種 ， 是 在 數(shù) 理 統(tǒng) 計 的 理 論 與實 際 應(yīng) 用 中 占 有 最 重 要 地 位 的 一 種 理 論 分 布 。心 理 與 教 育 中 大 量 的 現(xiàn) 象 均 按 正 態(tài) 形 式 分 布 ，如 智 力 高 低 、 成 績 好 壞 、 社 會 態(tài) 度 等 。 正 態(tài) 分 布 由 于 1733年 發(fā) 現(xiàn) 的 。 拉 普拉 斯 、 高 斯 對 正 態(tài) 分 布 的 研 究 也 做 出 了 貢 獻 ，故 有 時 稱 正 態(tài) 分 布 為 。 2 2221 Xey是 圓 周 率 3.14159e是 自 然 對 數(shù) 的 底 2.71828X為 隨 機 變 量 取 值為 理 論 平 均 數(shù) ； 為 理 論 標(biāo) 準(zhǔn) 差 ；y為 概 率 密 度 ， 即 正 態(tài) 分 布 的 縱 坐 標(biāo) 。 6.2.1 正 態(tài) 分 布 的 特 征1.正 態(tài) 分 布 的 形 式 是 對 稱 的 ， 它 的 對 稱 軸 是 經(jīng)過 平 均 數(shù) 的 垂 線 。2.正 態(tài) 分 布 的 中 央 點 （ 即 平 均 數(shù) ） 最 高 ， 然 后逐 漸 向 兩 側(cè) 下 降 ， 曲 線 的 形 式 是 先 向 內(nèi) 彎 ，然 后 向 外 彎 ， 拐 點 位 于 正 負 1個 標(biāo) 準(zhǔn) 差 處 ， 曲線 兩 端 向 X軸 無 限 接 近 。 3. 正 態(tài) 曲 線 下 的 總 的 面 積 為 1， 經(jīng) 過 平 均 數(shù)的 垂 線 將 正 態(tài) 曲 線 下 的 面 積 劃 分 為 相 等 的 兩個 部 分 ， 各 為 0.5。 dxeA X x 2 2221 (6.8) 4. 正 態(tài) 分 布 是 一 族 分 布 。 它 隨 隨 機 變 量 的 平均 數(shù) 、 標(biāo) 準(zhǔn) 差 的 大 小 與 單 位 的 不 同 而 有 不 同的 分 布 形 態(tài) 。 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 的 =0, =1。 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分布 通 常 寫 作 N（ 0， 1） 正 態(tài) 分 布 。 2221 Zey (6.9) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 =2, =1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 =0, =1=-2, =1 平 均 數(shù) 決 定 了 正 態(tài) 曲 線 在 橫 軸 上 的 位 置 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50 0.5 1 1.5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50 0.5 1 1.5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50 0.5 1 1.5 =0, =0.5 =0, =1 =0, =2 標(biāo) 準(zhǔn) 差 大 的 正 態(tài) 曲 線 低 闊 ， 標(biāo) 準(zhǔn) 差 小 的正 態(tài) 曲 線 高 窄 5. 正 態(tài) 分 布 中 各 差 異 量 數(shù) 值 相 互 間 有 固 定的 比 率 。 P102， P163s=1.2533AD=1.4826Qs 標(biāo) 準(zhǔn) 差 ；AD 平 均 差 ；Q 四 分 位 差 。 6. 正 態(tài) 分 布 曲 線 下 ， 標(biāo) 準(zhǔn) 差 與 概 率 （ 面 積 ）有 一 定 的 數(shù) 量 關(guān) 系 2 3 3 2%26.68 %44.95 %74.99 6.2.2 正 態(tài) 分 布 表 的 編 制 和 使 用 利 用 積 分 公 式 可 求 出 正 態(tài) 曲 線 下 任 何 區(qū)間 的 面 積 ， 但 需 要 計 算 。 統(tǒng) 計 學(xué) 家 編 制 了 標(biāo)準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 表 ， 使 其 使 用 非 常 方 便 。 使 用 正 態(tài) 分 布 表 時 ， 首 先 應(yīng) 該 確 定 其 編制 方 法 ： 1） 從 Z=- 開 始 。 2） Z=0開 始 。 P概 率Y概 率 密 度Z分 數(shù) 正 態(tài) 分 布 表 一 般 分 為 三 欄 ：1） Z分 數(shù) (X- )/ ， 一 般 羅 列 到 3.99。2） 概 率 密 度 (y) 某 一 Z分 數(shù) 對 應(yīng) 的 曲 線 縱坐 標(biāo) 高 度 。 當(dāng) Z=0時 ， y=0.39893） 概 率 值 (P) 不 同 Z分 數(shù) 點 與 平 均 數(shù) 之 間的 曲 線 下 的 面 積 。 （ 二 ） 正 態(tài) 分 布 表 的 使 用1.依 據(jù) Z分 數(shù) 求 概 率 （ p）（ 1） 求 某 Z分 數(shù) 值 與 平 均 數(shù) （ Z=0） 之 間 的概 率 。 P概 率Z分 數(shù) （ 2） 求 某 Z分 數(shù) 以 上 或 以 下 的 概 率Z分 數(shù) （ 3） 求 兩 個 Z分 數(shù) 之 間 的 概 率 。Z1 Z2 2. 從 概 率 （ P） 求 Z分 數(shù)（ 1） 已 知 從 平 均 數(shù) 開 始 的 概 率 值 求 Z值 。P概 率Z分 數(shù) （ 2） 已 知 正 態(tài) 分 布 兩 端 的 概 率 值 求 該 概 率 值分 界 點 的 Z值 。 Z分 數(shù) P概 率 （ 3） 若 已 知 正 態(tài) 曲 線 下 中 央 部 分 的 概 率 ， 求Z分 數(shù) Z分 數(shù) P概 率 3. 已 知 概 率 或 Z值 ， 求 概 率 密 度 y。Z分 數(shù) P概 率 6.2.3 次 數(shù) 分 布 的 檢 驗 方 法 （ 一 ） 皮 爾 遜 偏 態(tài) 量 數(shù) 法MoMdM M-MdM-Mo sMMSK o s MMSK d)(3 s為 標(biāo) 準(zhǔn) 差 ， SK為 偏 態(tài) 量 數(shù) ；當(dāng) SK=0時 ， 分 布 對 稱 ；當(dāng) SK0時 ， 為 正 偏 態(tài) ；當(dāng) SK0時 ， 分 布 為 正 偏 態(tài) ；當(dāng) g1200時 ， 偏 度 系 數(shù) 才 可 靠 。 (7.2) 峰 度 系 數(shù) 用 來 反 映 呈 單 峰 的 數(shù) 據(jù) 表 現(xiàn)出 來 的 峰 態(tài) 情 況 3/)( /)( 2242 NXX NXXg峰 度 系 數(shù) ： (7.3) g20 低 闊當(dāng) 觀 測 數(shù) 據(jù) N1000時 ， 峰 度 系 數(shù) 才 可 靠 。 （ 三 ） 觀 察 直 方 圖 150 160 170 180身高024 6810 1214Frequency Mean = 162.3Std. Dev. = 6.975N = 83（ 四 ） 累 加 次 數(shù) 曲 線 比 較 數(shù) 據(jù) 的 累 加 頻 率 分 布 曲 線 與 累 加 正態(tài) 分 布 概 率 曲 線 。 6.2.4 正 態(tài) 分 布 理 論 在 測 驗 中 的 應(yīng) 用（ 一 ） 化 等 級 評 定 為 測 量 數(shù) 據(jù) 在 心 理 與 教 育 評 價 中 ， 對 有 些 心 理 量 ，如 愛 好 、 意 志 強 弱 等 常 用 等 級 評 定 法 賦 予 一定 的 評 價 分 數(shù) 或 等 級 分 數(shù) ， 不 同 評 價 者 的 標(biāo)準(zhǔn) 可 能 不 同 ， 等 級 分 數(shù) 界 線 寬 ， 不 一 定 是 等距 尺 度 。 應(yīng) 該 將 等 級 評 定 等 距 化 。 被 評 定 的 心 理 量 為 正 態(tài) 分 布 ， 才 能 將 等 級評 定 轉(zhuǎn) 化 為 等 距 數(shù) 據(jù) 。E D C B A 表 1為 3位 教 師 對 100名 學(xué) 生 的 學(xué) 習(xí) 能 力 所 作 等 級評 定 的 結(jié) 果 。 表 2為 3名 學(xué) 生 從 3位 老 師 那 里 獲 得的 評 定 等 級 ， 試 將 其 轉(zhuǎn) 化 為 Z分 數(shù) 。 評 定 等 級等 級 教 師 甲 教 師 乙 教 師 丙A 5 10 20B 25 20 25C 40 40 35 D 25 20 15E 5 10 5總 數(shù) 100 100 100 學(xué) 生 教 師 甲 教 師 乙 教 師 丙1 B A A2 A B A3 D C C表 1 教 師 對 學(xué) 生 的 評 定 結(jié) 果 表 2 教 師 對 3名 學(xué) 生 的 評 定 結(jié) 果 學(xué) 生 教 師 甲 教 師 乙 教 師 丙 平 均 分1 0.94 1.65 1.28 1.292 1.96 0.84 1.28 1.363 -0.94 0 -0.32 -0.42 （ 二 ） 確 定 測 驗 題 目 的 難 易 度 題 目 難 易 度 一 般 用 答 對 者 的 百 分 數(shù) 確 定 ，但 是 百 分 數(shù) 不 是 等 距 尺 度 ， 有 時 要 比 較 不 同 難易 度 題 目 之 間 的 難 度 距 離 ， 需 要 將 難 易 百 分 數(shù)根 據(jù) 正 態(tài) 分 布 概 率 轉(zhuǎn) 換 為 難 度 分 數(shù) 。題 號 通 過 率 未 通 過 率 Z分 數(shù) Z+51 0.99 0.01 -2.331 2.6693 0.95 0.05 -1.645 3.3555 0.85 0.15 -1.035 3.965用 未 通 過 率 計 算 Z分 數(shù) （ 三 ） 劃 分 等 級 分 數(shù) 線公 司 對 新 員 工 工 作 績 效 進 行 考 核 。 設(shè) 全 體 員 工的 績 效 得 分 呈 正 態(tài) 分 布 ， 平 均 得 分 80分 ， 標(biāo) 準(zhǔn)差 12分 。 現(xiàn) 根 據(jù) 考 核 結(jié) 果 “ 獎 優(yōu) 罰 劣 ” ： 對 得分 最 高 的 10%員 工 提 升 工 資 和 職 位 ， 對 得 分 最低 的 30%員 工 實 行 換 崗 再 培 訓(xùn) 。 已 知 甲 、 乙 兩名 員 工 的 考 核 得 分 分 別 是 90和 60分 ， 問 他 們 是否 得 到 提 升 或 換 崗 ？ 查 表 Z2=-0.52， Z1=1.28 xz zx 76.73801252.0 2 x 36.95801228.11 x90分 的 員 工 不 能 升 職 ， 60分 的 員 工 會 輪 崗由 得 ： 6.3 二 項 分 布二 項 分 布 是 一 種 具 有 廣 泛 用 途 的 離 散 型 隨 機變 量 的 概 率 分 布 ， 它 是 由 貝 努 里 創(chuàng) 立 的 ， 所以 又 叫 。二 項 分 布 是 心 理 與 教 育 統(tǒng) 計 中 常 用 的 一 種 基本 隨 機 變 量 分 布 。 6.3.1 二 項 試 驗二 項 試 驗 又 稱 為 貝 努 里 試 驗 ， 它 必 須 滿 足 以 下幾 個 條 件 ：1.任 何 一 次 試 驗 恰 好 有 兩 個 結(jié) 果 ， 成 功 與 失 敗 。2.共 有 n次 試 驗 ， 并 且 n是 預(yù) 先 給 定 的 任 一 正 數(shù) 。3.每 次 試 驗 各 自 獨 立 ， 各 次 試 驗 之 間 無 相 互 影響 。4.某 種 結(jié) 果 出 現(xiàn) 的 概 率 在 任 何 一 次 試 驗 中 都 是固 定 的 。 是 否 為 二 項 試 驗 ？(1)投 擲 硬 幣 試 驗(2)一 個 口 袋 裝 有 6只 球 ， 其 中 4只 白 球 、 2只 紅球 ， 從 袋 中 取 球 兩 次 。 （ a） 放 回 抽 樣 ， 第 一 次 取 一 只 球 ， 觀 察 其 顏色 后 放 回 ， 攪 勻 后 再 取 一 球 。 （ b） 不 放 回 抽 樣 ， 第 一 次 取 一 球 不 放 回 袋 中 ，第 二 次 從 剩 余 的 球 中 再 取 一 球 。 6.3.2 二 項 分 布 函 數(shù) nnnnnnnnnnn qCqpCqpCpCqp 111110)(二 項 定 理 ：項 數(shù) ： 二 項 展 開 式 中 共 有 n 1項 。指 數(shù) ： p的 指 數(shù) ， 從 n0下 降 ； q指 數(shù) 從0n為 上 升 。 每 項 p與 q指 數(shù) 之 和 等 于 n。系 數(shù) ： n個 元 素 中 依 次 取 0n個 元 素 的 組合 數(shù) 。 0)( qp 11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 1 0 10 5 11 6 15 20 15 6 11)( qp 2)( qp 3)( qp 4)( qp 5)( qp 6)( qp 楊 輝 三 角 形 用 n 次 方 的 二 項 展 開 式 來 表 達 在 n 次 二項 試 驗 中 成 功 事 件 出 現(xiàn) 的 不 同 次 數(shù) （ X 0，1） 的 概 率 分 布 ， 叫 做 二 項 分 布 函 數(shù) 。 二 項 分 布 是 一 種 離 散 型 隨 機 變 量 的 概 率 分 布 設(shè) 有 n次 試 驗 ， 各 次 試 驗 彼 此 獨 立 的 ， 每 次 試驗 某 事 件 出 現(xiàn) 的 概 率 都 是 p， 某 事 件 不 出 現(xiàn) 的概 率 都 是 q（ 1-p） ， 則 對 于 某 事 件 出 現(xiàn) X次（ 0， 1， 2， ， n） 的 概 率 分 布 為 ： xnxxn qpCpnxb ),( )!(! ! xnx nCx n 式 中 ： (6.6) 例 10個 硬 幣 投 擲 一 次 ， 或 1個 硬 幣 投 擲 10次 ， 問 5次 正 面 向 上 的 概 率 是 多 少 ？解 ： 根 據(jù) 題 意 ， n=10， p=q=0.5， X=5 5105510 )5.0()5.0()5.0,10,5( Cb 5105 )5.0()5.0()!510(!5 !10 24609.0 例 已 知 某 長 一 批 產(chǎn) 品 中 一 級 品 率 為 0.2現(xiàn)在 從 中 隨 機 地 抽 查 20只 。 問 20只 元 件 中 恰好 有 6個 一 級 品 的 概 率 是 多 少 ？ 6206620 )8.0()2.0()2.0,20,6( Cb解 :n=20, p=0.2, q=0.8. x=6 6206 )8.0()2.0()!620(!6 !20 109.0 某 人 進 行 射 擊 練 習(xí) ， 如 果 每 次 射 擊 擊中 的 命 中 率 為 0.02， 獨 立 射 擊 400次 ，試 求 至 少 擊 中 兩 次 的 概 率 。解 ： 擊 中 的 次 數(shù) 為 x， 其 對 應(yīng) 概 率 為 ： xxxCxb 400400 )98.0()02.0()02.0,400,( )1()0(1 xPxPP 399400 )98.0)(02.0(400)98.0(1 9972.0 n 一 個 口 袋 裝 有 6只 球 ， 其 中 4只 白 球 、 2只紅 球 ， 從 袋 中 取 球 兩 次 。n 放 回 抽 樣 ， 第 一 次 取 一 只 球 ， 觀 察 其 顏 色后 放 回 ， 攪 勻 后 再 取 一 球 。n 求 取 到 一 只 白 球 與 一 只 紅 球 的 概 率 。 9431322)62()64()64,2,1( 1112 Cb解 ： 實 驗 次 數(shù) n=2， 取 到 白 球 的 次 數(shù) x=1， 白球 的 概 率 p=4/6， 紅 球 的 概 率 q=2/6. 6.3.3 二 項 分 布 的 性 質(zhì) （ 一 ） 二 項 分 布 是 離 散 型 分 布 ， 概 率 直 方 圖 是階 躍 式 。 因 為 X為 不 連 續(xù) 變 量 ， 用 概 率 條 圖 表 示 更為 合 適 。1個 硬 幣 投 擲 5次 ， 正 面 向 上 0， 1， 2， 3， 4， 5次的 概 率 分 別 為 ： 03125.0)5.0()5.0()5.0,5,0( 05025 Cb 15625.0)5.0()5.0()5.0,5,1( 15115 Cb 3125.0)5.0()5.0()5.0,5,2( 25225 Cb 3125.0)5.0()5.0()5.0,5,3( 35335 Cb 15625.0)5.0()5.0()5.0,5,4( 45445 Cb 03125.0)5.0()5.0()5.0,5,5( 45555 Cb 0 1 2 3 4 5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0 1 2 3 4 50 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 -5 0 5 10 15 20 250 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.185次 10次 20次 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 450 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 40次 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 900 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.0780次 160次 p=q=0.5 0 1 2 3 4 50 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 p=0.2， q=0.8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 -5 0 5 10 15 20 250 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 450 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 900 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12當(dāng) pq,二 項 分 布 為 負 偏 態(tài) 。當(dāng) n很 大 ， 偏 態(tài) 逐 漸 降 低 ， 最 終 趨 近 于 正 態(tài) 。當(dāng) pq時 ， 且 nq5.這 時 二 項分 布 為 正 態(tài) 分 布 的 近 似 形 。 5次 10次 20次40次 80次 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 160次 （ 二 ） 二 項 分 布 的 平 均 數(shù) 和 標(biāo) 準(zhǔn) 差n 如 果 二 項 分 布 滿 足 p q且 nq 5（ 或 者 p q且 np 5時 ， 二 項 分 布 接 近 于 正 態(tài) 分布 。 可 用 下 面 的 方 法 計 算 二 項 分 布 的 平均 數(shù) 和 標(biāo) 準(zhǔn) 差 。 二 項 分 布 的 平 均 數(shù) 為 np npq 二 項 分 布 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 為 （ 6 7） （ 6 8） n 求 p=0.2， q=0.8， n=160次 的 二 項 分 布 的 平 均 值和 標(biāo) 準(zhǔn) 差 。 322.0160 np 06.58.02.0160 npq解 ： np=0.2160=325， 該 二 項 分 布 接 近 正 態(tài)分 布 。 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 6.3.4 二 項 分 布 的 應(yīng) 用二 項 分 布 函 數(shù) 除 了 用 來 求 成 功 事 件 恰 好 出 現(xiàn) X次 的 概 率 之 外 ， 在 教 育 中 主 要 用 來 判 斷 試 驗結(jié) 果 的 機 遇 性 與 真 實 性 的 界 限 。 例 如 ， 一 個 學(xué) 生 憑 猜 測 做 10個 是 非 題 ， 平均 可 以 猜 對 5題 。 什 么 情 況 下 可 以 說 他 是 真會 而 不 是 猜 測 呢 ？做 對 題 數(shù) 概 率 累 加 概 率0 0.000977 0.0009771 0.009766 0.0107422 0.043945 0.0546883 0.11719 0.171884 0.20508 0.376955 0.24609 0.62305 6 0.20508 0.828137 0.11719 0.945318 0.043945 0.989269 0.009766 0.9990210 0.000977 1 做 對 8道 題 的累 加 概 率 達 到0.989， 8道 題以 上 即 可 認 為是 真 會 做 。 例 如 ， 一 個 學(xué) 生 憑 猜 測 做 10個 四 選 一 的 選 擇 題 ，什 么 情 況 下 可 以 說 他 是 真 會 而 不 是 猜 測 呢 ？做 對 題 數(shù) 概 率 累 加 概 率0 0.056314 0.0563141 0.18771 0.244032 0.28157 0.525593 0.25028 0.775884 0.146 0.921875 0.058399 0.980276 0.016222 0.996497 0.00309 0.99958 8 0.000386 0.999979 2.86E-05 110 9.54E-07 1 做 對 5道 題以 上 即 可 認為 是 真 會 做 。 統(tǒng) 計 游 戲小 時 候 經(jīng) 常 看 到 有 這 樣 的 游 戲 ， 在 一 塊 傾 斜 的板 上 有 n排 釘 子 ， 在 釘 子 的 下 方 有 n 1個 格 子 ，對 應(yīng) 的 獎 勵 。 自 側(cè) 方 彈 出 一 個 玻 璃 球 ， 任 其 自由 下 落 ， 在 下 落 的 過 程 中 讓 小 球 碰 到 釘 子 時 ，會 改 變 下 落 方 向 。 每 碰 裝 一 次 時 ， 玻 璃 球 向 兩邊 下 落 的 可 能 性 相 等 。 一 塊 錢 可 以 玩 5次 ， 中間 對 應(yīng) 的 獎 勵 很 小 ， 兩 側(cè) 對 應(yīng) 的 獎 勵 可 能 有 5元 、 10元 。 Galton釘 板 概 率 模 型請 問 每 個 格 子 內(nèi) 的 概 率 是 多 少 ？ 0.5 0.510.25 0.5 0.25 10.5 0.50.25 0.5 0.250.125 0.375 0.375 0.1250.0625 0.25 0.375 0.25 0.0625 xnxxn qpCpnxb ),( xnxxnCnxb )5.0()5.0()5.0,( 復(fù) 習(xí) xnxxn qpCpnxb ),( )!(! ! xnx nC xn 式 中 ： (6.6) 二 項 分 布 函 數(shù) ： -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 p=q=0.5 80次 160次 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 20次 謝 謝 大 家 ！ 6.4 樣 本 分 布樣 本 分 布 指 樣 本 統(tǒng) 計 量 的 分 布 ， 在 科 學(xué) 研 究中 ， 一 般 是 通 過 一 個 樣 本 進 行 分 析 ， 只 有 知道 了 樣 本 統(tǒng) 計 量 的 分 布 規(guī) 律 ， 才 能 依 據(jù) 樣 本對 總 體 進 行 推 論 。在 談 及 樣 本 統(tǒng) 計 量 的 分 布 時 ， 首 先 要 保 證 各個 樣 本 是 獨 立 的 ， 各 個 樣 本 都 服 從 同 樣 的 分布 。樣 本 的 取 樣 方 法 應(yīng) 該 用 隨 機 抽 樣 的 方 法 。 研 究 總 體 與 從 中 抽 取 的 樣 本 之 間 的 關(guān) 系 是 統(tǒng) 計學(xué) 的 中 心 內(nèi) 容 。 對 這 種 關(guān) 系 的 研 究 可 從 兩 方 面 著手 ：（ 1)抽 樣 分 布 ： 從 總 體 到 樣 本 ， 這 就 是 研 究 抽樣 分 布 (sampling distribution)的 問 題 ， 統(tǒng) 計 量的 概 率 分 布 稱 為 抽 樣 分 布 ； （ 2） 統(tǒng) 計 推 斷 ： 從 樣 本 到 總 體 ， 這 就 是 統(tǒng) 計 推斷 (statistical inference)問 題 。 統(tǒng) 計 推 斷 是 以 總 體 分 布 和 樣 本 抽 樣 分 布 的 理論 關(guān) 系 為 基 礎(chǔ) 的 。 為 了 能 正 確 地 利 用 樣 本 去 推 斷總 體 ， 并 能 正 確 地 理 解 統(tǒng) 計 推 斷 的 結(jié) 論 ， 須 對 樣本 的 抽 樣 分 布 有 所 了 解 。 我 們 知 道 ， 由 總 體 中 隨 機 地 抽 取 若 干 個 體 組成 樣 本 ， 即 使 每 次 抽 取 的 樣 本 含 量 相 等 ， 其 統(tǒng) 計量 (如 ， S)也 將 隨 樣 本 的 不 同 而 有 所 不 同 ， 因 而 樣本 統(tǒng) 計 量 也 是 隨 機 變 量 ， 也 有 其 概 率 分 布 。 我 們把 統(tǒng) 計 量 的 概 率 分 布 稱 為 抽 樣 分 布 。 由 總 體 隨 機 抽 樣 (random sampling)的 方 法可 分 為 有 復(fù) 置 抽 樣 和 不 復(fù) 置 抽 樣 兩 種 。 復(fù) 置 抽 樣 ： 指 每 次 抽 出 一 個 個 體 后 ， 這 個 個 體應(yīng) 返 回 原 總 體 ；不 復(fù) 置 抽 樣 ： 指 每 次 抽 出 的 個 體 不 返 回 原 總 體 。對 于 無 限 總 體 ， 返 回 與 否 都 可 保 證 各 個 體 被 抽到 的 機 會 相 等 。對 于 有 限 總 體 ， 就 應(yīng) 該 采 取 復(fù) 置 抽 樣 ， 否 則 各個 體 被 抽 到 的 機 會 就 不 相 等 。 導(dǎo) 言一 、 抽 樣 的 目 的 運 用 樣 本 推 斷 總 體試 驗 測 定 所 得 樣 本 數(shù) 據(jù)試 驗 目 的 獲 得 總 體 信 息因 此 要 研 究 樣 本 與 總 體 關(guān) 系 如 何 通 過 對 樣 本 數(shù) 據(jù) 的 分 析 獲 得總 體 信 息 總 體 1x2x3x kx 導(dǎo) 言總 體 1x2x3x kx 二 、 樣 本 平 均 數(shù) 及 其 分 布 ：iX iX 許 多 Si 形 成 樣 本 標(biāo) 準(zhǔn) 差 抽 樣 分 布 。 許 多 形 成 樣 本 平 均 數(shù) 抽 樣 分 布 。 由 樣 本 平 均 數(shù) 構(gòu) 成的 總 體 稱 為 樣 本 平 均 數(shù) 的 抽 樣 總 體 。 和 一 個 標(biāo) 準(zhǔn) 差 Si 。每 一 個 樣 本 有 一 個 樣 本 平 均 數(shù) 樣 本 平 均 數(shù) 抽 樣 分 布 iX 樣 本 平 均 數(shù) 分 布151164153157161182178175172175 151 164 153164 161 182157 161 172 156平 均 值169163 原 始 數(shù) 據(jù) 的 分 布 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 樣 本 平 均 數(shù) 分 布 圖 示 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 n=2n=3n=4n=5n=6隨 機 抽 樣 1000次 1. 總 體 分 布 為 正 態(tài) ， 方 差 已 知 ， 樣 本 平 均數(shù) 的 分 布 為 正 態(tài) 分 布 。 X nX X 平 均 數(shù) 分 布 的 平 均 數(shù) ；平 均 數(shù) 分 布 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 ， 一 般 稱 為 標(biāo)準(zhǔn) 誤 ， 可 用 SE表 示 。X (7.4a) (7.4b) 2. 總 體 分 布 為 非 正 態(tài) ， 方 差 已 知 ， 這 時 樣本 足 夠 大 時 ， 樣 本 平 均 數(shù) 的 分 布 為 漸 近 正態(tài) 分 布 。 X nX (7.5a) (7.5b) 6.4.2 樣 本 標(biāo) 準(zhǔn) 差 和 方 差 分 布151164153157161182178175172175 151 164 153164 161 182157 161 172 711.367.77標(biāo) 準(zhǔn) 差 0 5 10 15 20 25 30 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 標(biāo) 準(zhǔn) 差 分 布 圖 示 n=2n=3n=4n=5n=6隨 機 抽 樣 1000次 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 n 自 正 態(tài) 分 布 的 總 體 中 抽 取 容 量 為 n的 樣 本 ，當(dāng) 樣 本 量 足 夠 大 時 (n30)， 樣 本 方 差 及 標(biāo) 準(zhǔn)差 分 布 趨 近 于 正 態(tài) 分 布 。 sX ns 2 22 sX (7.6a) (7.6b) (7.6c) 二 、 樣 本 平 均 數(shù) 及 其 分 布 ：n 抽 樣 分 布 總 體 與 原 總 體 有 什 么 關(guān) 系 ？n 與 ？n 與 ？ n 抽 樣 分 布 總 體 與 原 總 體 關(guān) 系 如 下 ：n 1、 樣 本 平 均 數(shù) 分 布 的 平 均 數(shù) 等 于 原 總 體 平 n 2、 樣 本 平 均 數(shù) 分 布 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 等 于 原 總 體 標(biāo)n 即 x = ,nx = n（ 標(biāo) 準(zhǔn) 誤 ） 準(zhǔn) 差 除 以均 數(shù) ， 即ix is 標(biāo) 準(zhǔn) 誤標(biāo) 準(zhǔn) 誤 (平 均 數(shù) 抽 樣 總 體 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 ) 的 大 小 反 映 樣 本 平 均 數(shù) 的 抽 樣 誤 差 的 大 小 ， 即 精確 性 的 高 低 。 標(biāo) 準(zhǔn) 誤 大 ， 說 明 各 樣 本 平 均 數(shù) 間差 異 程 度 大 ， 樣 本 平 均 數(shù) 的 精 確 性 低 。 反 之 ， 小 ，說 明 各 樣 本 平 均 數(shù) 間 的 差 異 程 度 小 ， 樣 本 平 均數(shù) 的 精 確 性 高 。 的 大 小 與 原 總 體 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 成 正比 ， 與 樣 本 含 量 n的 平 方 根 成 反 比 。 從 某 特 定 總 體抽 樣 ， 因 為 是 一 常 數(shù) ， 所 以 只 有 增 大 樣 本 含 量 才能 降 低 樣 本 平 均 數(shù) 的 抽 樣 誤 差 。 x = nX X x xX X 注 意 ， 樣 本 標(biāo) 準(zhǔn) 差 與 樣 本 標(biāo) 準(zhǔn) 誤 是 既 有 聯(lián) 系又 有 區(qū) 別 的 兩 個 統(tǒng) 計 量 。 二 者 的 區(qū) 別 在 于 ： 樣 本 標(biāo) 準(zhǔn) 差 S 是 反 映 樣 本 中 各 觀 測值 x1 ， x2 ， xn， 變 異 程 度 大 小 的 一 個 指標(biāo) ， 它 的 大 小 說 明 了 對 該 樣 本 代 表 性 的 強弱 。 樣 本 標(biāo) 準(zhǔn) 誤 是 樣 本 平 均 數(shù) ， ， 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 ， 它 是 抽 樣 誤 差 的 估 計 值 ， 其 大小 說 明 了 樣 本 間 變 異 程 度 的 大 小 及 精 確 性 的 高低 。 X 1x 2x kx 對 于 大 樣 本 資 料 ， 常 將 樣 本 標(biāo) 準(zhǔn) 差 S與 樣 本平 均 數(shù) 配 合 使 用 ， 記 為 S， 用 以 說 明 所考 察 性 狀 或 指 標(biāo) 的 優(yōu) 良 性 與 穩(wěn) 定 性 。 對 于 小 樣 本 資 料 ， 常 將 樣 本 標(biāo) 準(zhǔn) 誤 與 樣 本平 均 數(shù) 配 合 使 用 ， 記 為 ， 用 以 表 示 所 考 察 性 狀 或 指 標(biāo) 的 優(yōu) 良 性 與 抽 樣 誤 差 的 大 小 。 XX xX X x 3、 若 原 分 布 為 正 態(tài) 分 布 ， 平 均 數(shù) 分 布 亦 為 正 態(tài) 分布 。若 原 分 布 是 非 正 態(tài) 分 布 ， 當(dāng) n增 大 時 ， 平 均 數(shù) 分 布亦 趨 向 正 態(tài) 分 布 。所 以 n30時 ， 可 以 認 為 新 分 布 符 合 正 態(tài) 分 布 。 例 3-4， 某 品 種 葡 萄 總 體 ， 果 穗 長 =30cm， =10.8cm, 隨 機 抽 50個 果 穗 ，所 得 樣 本 平 均 數(shù) 與 相 差 不 超 過 3cm的 概 率 是 多 少 ？解 ： 已 知 U= 查 附 表 3得U UU U 以 上 做 法 對 不 對 不 對 ！分 析 ： 已 知 、 ， 求 | -| 3cm的 概 率 ， 求 樣 本 平 均 數(shù) 的 信 息 ， 算 U值 須 用 ， 上 面 的 解 答 錯 用 。x- 3 =0.2810.8？ x 正 確 做 法 ：從 樣 本 均 數(shù) 分 布 規(guī) 律 入 手 樣 本 均 數(shù) 分 布解 ： U= U UU U x = , x = nx 53.1508.10 xxx- 3= =1.961.53 若 題 目 改 為 某 葡 萄 品 種 總 體 ， 果 穗 長 =30cm， =10.8cm， 若 從 其 中 抽 取 50個 穗 ，問 50 穗 中 ， 長 度 與 相 差 不 超 過 3cm的 果 穗共 有 多 少 穗 ？解 ： U= P=0.22=22%50 0.22=11（ 穂 ）x- =0.28 例 3-5 某 枇 杷 單 果 重 =30g, =9.6g, 今 從 中 抽 取 50個分 析 ： 已 知 總 體 分 布 =30， =9.6, 問解 ： 的 概 率 是 多 少 ？ x 9.5 = = =1.36n 50 xx- 29-30 1U= = = =0.741.36 1.36 x 29g的 概 率 P？ 樣 本 中 果 ， 其 平 均 單 果 重 x 29g查 附 表 3得 兩 尾 概 率 0.46， 那 么 單 尾 概 率 =0.46/2=0.23,所 以平 均 單 果 重 小 于 等 于 29g的 概 率 為 0.23。 若 將 是 題 目 改 成 ： 某 枇 杷 品 種 平 均 單 果 重 =30g， =9.6g,問 單 果 重 小 于 29g的 概 率 是多 少 ?解 ： U=P（ 29X30時 ， t分 布 接 近 正 態(tài) 分 布 ， 方 差大 于 1， 隨 著 n-1的 增 大 而 方 差 趨 于 1. （ 二 ） t分 布 表 的 使 用t值 p 845.22/01.0 t 845.2005.0 t （ 三 ） 樣 本 平 均 數(shù) 的 分 布n 1. 總 體 分 布 為 正 態(tài) ， 方 差 未 知 時 ， 樣 本 平均 數(shù) 的 分 布 為 t分 布 。 nsnss nX 11 n XXs 2)( 1 )( 21 n XXsn其 中 ： 平 均 數(shù) 分 布 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 為 ： (7.8) n 2. 當(dāng) 總 體 為 非 正 態(tài) 分 布 ， 其 方 差 由 未 知 時 ，若 滿 足 n30這 一 條 件 ， 樣 本 平 均 數(shù) 的 分 布 近似 為 t分 布 。 nsnss nX 11 復(fù) 習(xí)1. 總 體 分 布 為 正 態(tài) ， 方 差 已知 ， 樣 本 平 均 數(shù) 的 分 布 為 正態(tài) 分 布 。 2. 總 體 分 布 為 正 態(tài) ， 方 差 未 知 時 ，樣 本 平 均 數(shù) 的 分 布 為 t分 布 。 XiXZ nsXnsXt nii 11 nX X n snss nX 11 n XXs 2)( 1 )( 21 n XXsn 6.4.4 卡 方 分 布 2分 布 是 統(tǒng) 計 分 析 中 應(yīng) 用 較 多 的 一 種 抽樣 分 布 。 從 一 個 服 從 正 態(tài) 分 布 的 總 體 中 ， 每 次 隨機 抽 取 隨 機 變 量 ： nXXX 11211 ,nXXX 22221 , nXXX 33231 , 222 11211 , nXXX 21iX222 22221 , nXXX222 33231 , nXXX 22iX 23iX nXXX 11211 ,nXXX 22221 , nXXX 33231 , XZ nZZZ 11211 , nZZZ 22221 ,nZZZ 33231 , 222 11211 , nZZZ222 22221 , nZZZ222 33231 , nZZZ 2 1iZ 22iZ 23iZ 由 得 ： （ 一 ） 卡 方 分 布 的 計 算 ： 2 222 )( XZi 總 體 為 正 態(tài) 分 布 ， 已 知 總 體 平 均數(shù) 。 總 體 為 正 態(tài) 分 布 ， 總 體 平 均 數(shù) 未知 ， 可 用 樣 本 平 均 數(shù) 代 替 。 222 22 )( nsXX S2分 布 實 質(zhì) 是 卡 方 分 布 df=n-1 (7.9a) (7.9b) （ 二 ） 卡 方 分 布 的 特 點 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 0.02 0.04 0