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《優(yōu)化設(shè)計(jì)》PPT課件

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《優(yōu)化設(shè)計(jì)》PPT課件

優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 是 現(xiàn) 代 設(shè) 計(jì) 方 法 的 重 要 內(nèi) 容 之 一 。 它 是 以數(shù) 學(xué) 規(guī) 劃 論 為 理 論 基 礎(chǔ) , 以 電 子 計(jì) 算 機(jī) 為 工 具 , 在 充 分考 慮 多 種 設(shè) 計(jì) 約 束 的 前 提 下 , 尋 求 滿 足 某 項(xiàng) 預(yù) 定 目 標(biāo) 的最 佳 設(shè) 計(jì) 方 案 的 一 種 設(shè) 計(jì) 方 法 。 本 章 主 要 介 紹 了 如 下 幾 方 面 內(nèi) 容 :內(nèi) 容 簡(jiǎn) 介 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 的 基 本 概 念 及 數(shù) 學(xué) 模 型 的 建 立 ; 常 用 的 一 維 優(yōu) 化 方 法 ; 多 維 無(wú) 約 束 優(yōu) 化 方 法 ; 約 束 優(yōu) 化 方 法 ; 多 目 標(biāo) 優(yōu) 化 方 法 ; 機(jī) 械 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 的 一 般 步 驟 及 設(shè) 計(jì) 應(yīng) 用 實(shí) 例 。 2.1 概 述2.1.1 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 基 本 概 念 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) ( Optimal Design) 是 20世 紀(jì) 60年 代 發(fā) 展起 來(lái) 的 一 種 現(xiàn) 代 設(shè) 計(jì) 方 法 。 它 是 將 最 優(yōu) 化 原 理 和 計(jì) 算 機(jī)技 術(shù) 應(yīng) 用 于 設(shè) 計(jì) 領(lǐng) 域 , 為 工 程 設(shè) 計(jì) 提 供 一 種 重 要 的 科 學(xué)設(shè) 計(jì) 方 法 。 利 用 這 一 設(shè) 計(jì) 方 法 , 設(shè) 計(jì) 者 就 可 從 眾 多 的 設(shè) 計(jì) 方 案中 尋 找 出 最 佳 設(shè) 計(jì) 方 案 , 從 而 大 大 提 高 設(shè) 計(jì) 效 率 和 質(zhì) 量 ,因 此 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 是 現(xiàn) 代 設(shè) 計(jì) 理 論 和 方 法 的 一 個(gè) 重 要 領(lǐng) 域 ,它 已 廣 泛 應(yīng) 用 于 各 個(gè) 工 業(yè) 設(shè) 計(jì) 領(lǐng) 域 和 各 種 產(chǎn) 品 設(shè) 計(jì) 中 。 所 謂 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) , 就 是 在 規(guī) 定 的 設(shè) 計(jì) 限 制 條 件 下 , 運(yùn) 用最 優(yōu) 化 原 理 和 方 法 將 實(shí) 際 工 程 設(shè) 計(jì) 問(wèn) 題 轉(zhuǎn) 化 為 最 優(yōu) 化 問(wèn) 題 ,然 后 以 計(jì) 算 機(jī) 為 工 具 進(jìn) 行 尋 優(yōu) 計(jì) 算 , 在 全 部 可 行 設(shè) 計(jì) 方 案中 , 尋 求 滿 足 預(yù) 定 設(shè) 計(jì) 目 標(biāo) 的 最 佳 設(shè) 計(jì) 方 案 。 進(jìn) 行 最 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 時(shí) : 首 先 必 須 將 實(shí) 際 問(wèn) 題 加 以 數(shù) 學(xué) 描 述 , 形 成 一 組 由 數(shù) 學(xué)表 達(dá) 式 組 成 的 數(shù) 學(xué) 模 型 ; 然 后 選 擇 一 種 最 優(yōu) 化 數(shù) 值 計(jì) 算 方 法 和 計(jì) 算 機(jī) 程 序 , 在計(jì) 算 機(jī) 上 進(jìn) 行 尋 優(yōu) 運(yùn) 算 求 解 , 得 到 一 組 最 佳 的 設(shè) 計(jì) 參 數(shù) 。 這 組 設(shè) 計(jì) 參 數(shù) 就 是 設(shè) 計(jì) 的 最 優(yōu) 解 。 與 傳 統(tǒng) 設(shè) 計(jì) 方 法 不 同 , 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 過(guò) 程 一 般 分 為 如 下 四 步 : ( ) 設(shè) 計(jì) 課 題 分 析 : 通 過(guò) 對(duì) 設(shè) 計(jì) 課 題 的 分 析 , 提 出 設(shè)計(jì) 目 標(biāo) , 它 可 以 是 單 項(xiàng) 設(shè) 計(jì) 指 標(biāo) , 也 可 以 是 多 項(xiàng) 設(shè) 計(jì) 指 標(biāo) 的組 合 。 從 技 術(shù) 經(jīng) 濟(jì) 的 觀 點(diǎn) 出 發(fā) , 對(duì) 機(jī) 械 設(shè) 計(jì) 而 言 , 機(jī) 器 的 運(yùn) 動(dòng)學(xué) 和 動(dòng) 力 學(xué) 性 能 、 體 積 、 重 量 、 效 率 、 成 本 、 可 靠 性 等 都 可以 作 為 設(shè) 計(jì) 追 求 的 目 標(biāo) 。 然 后 分 析 設(shè) 計(jì) 應(yīng) 滿 足 的 要 求 , 主 要 的 有 : 某 些 參 數(shù) 的 取值 范 圍 ; 某 種 設(shè) 計(jì) 性 能 或 指 標(biāo) 按 設(shè) 計(jì) 規(guī) 范 推 導(dǎo) 出 的 技 術(shù) 性 能; 還 有 工 藝 條 件 對(duì) 設(shè) 計(jì) 參 數(shù) 的 限 制 等 。 ( ) 建 立 數(shù) 學(xué) 模 型 : 將 工 程 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 問(wèn) 題 用 數(shù) 學(xué) 方 程式 的 形 式 予 以 全 面 地 、 準(zhǔn) 確 地 描 述 , 即 建 立 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 。 ( ) 選 擇 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 方 法 : 根 據(jù) 所 建 立 的 數(shù) 學(xué) 方 程 式的 性 質(zhì) 、 設(shè) 計(jì) 精 度 的 要 求 等 選 用 合 適 的 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 方 法 , 并做 出 相 應(yīng) 的 程 序 設(shè) 計(jì) 。 ( ) 上 機(jī) 電 算 求 解 : 將 所 編 程 序 及 有 關(guān) 數(shù) 據(jù) 上 機(jī) 運(yùn)算 , 自 動(dòng) 得 出 最 優(yōu) 值 。 然 后 對(duì) 計(jì) 算 結(jié) 果 做 出 分 析 和 判 斷 ,則 得 出 最 優(yōu) 設(shè) 計(jì) 方 案 。 上 述 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 過(guò) 程 的 四 步 其 核 心 是 進(jìn) 行 如 下 兩 項(xiàng) 工 作 : 一 是 分 析 設(shè) 計(jì) 任 務(wù) , 將 實(shí) 際 問(wèn) 題 轉(zhuǎn) 化 為 一 個(gè) 最 優(yōu) 化 問(wèn)題 , 即 建 立 優(yōu) 化 問(wèn) 題 的 數(shù) 學(xué) 模 型 ; 二 是 選 用 適 用 的 優(yōu) 化 方 法 在 計(jì) 算 機(jī) 上 求 解 數(shù) 學(xué) 模 型 ,尋 求 最 優(yōu) 設(shè) 計(jì) 方 案 。 下 面 通 過(guò) 三 個(gè) 簡(jiǎn) 單 的 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 實(shí) 例 , 說(shuō) 明 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型的 一 般 形 式 及 其 有 關(guān) 概 念 。2.1.2 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 的 數(shù) 學(xué) 模 型 例 2-1 如 圖 2-1所 示 , 有 一 圓 形 等 截 面 的 銷 軸 , 一端 固 定 , 一 端 作 用 著 集 中 載 荷 F=10000N和 轉(zhuǎn) 矩T=100NM。 由 于 結(jié) 構(gòu) 需 要 , 軸 的 長(zhǎng) 度 l不 得 小 于 8cm, 已 知 銷 軸 材 料 的 許 用 彎 曲 應(yīng) 力 w=120MPa, 許 用扭 轉(zhuǎn) 切 應(yīng) 力 =80MPa , 允 許 撓 度 f=0.01cm, 密 度=7.8t/m3, 彈 性 模 量 E=2 105MPa。 現(xiàn) 要 求 在 滿 足 使 用 要 求 的 條 件 下 , 試 設(shè) 計(jì) 一 個(gè) 用料 最 省 ( 銷 軸 質(zhì) 量 最 輕 ) 的 方 案 。 圖 2-1 圓 形 等 截 面 的 銷 軸 解 : 根 據(jù) 上 述 問(wèn) 題 , 該 銷 軸 的 力 學(xué) 模 型 是 一 個(gè)懸 臂 梁 。 設(shè) 銷 軸 直 徑 為 d , 長(zhǎng) 度 為 l, 體 積 為 V, 則該 問(wèn) 題 的 物 理 表 達(dá) 式 如 下 :可 見(jiàn) 銷 軸 用 料 取 決 于 其 直 徑 d 和 長(zhǎng) 度 l。 這 是 一 個(gè) 合 理 選 擇d 和 l而 使 體 積 V 最 小 的 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 問(wèn) 題 。(2) 滿 足 的 條 件 : 強(qiáng) 度 條 件 : wdFl 3max 1.0 32.0 dT fdEFlEJFlf 433 3643 彎 曲 強(qiáng) 度 表 達(dá) 式扭 轉(zhuǎn) 強(qiáng) 度 表 達(dá) 式 剛 度 條 件 :撓 度 表 達(dá) 式(1) 銷 軸 用 料 最 省 ( 即 體 積 最 小 ) : min41 2 ldV 結(jié) 構(gòu) 尺 寸 邊 界 條 件 : min 8 cml l 1 2, x d x l 1 2 T TX d l x x 將 題 意 的 有 關(guān) 已 知 數(shù) 值 代 入 , 按 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 的 規(guī) 范 形 式 ,可 歸 納 為 如 下 數(shù) 學(xué) 模 型 :設(shè) :設(shè) 計(jì) 變 量 :目 標(biāo) 函 數(shù) 的 極 小 化 : 3 31 2 1( ) 8.33 8.33 0 ( )g X l d x x 彎 曲 強(qiáng) 度 條 件3 32 13 4 3 43 2 14 2( ) 6.25 6.25 0 ( )( ) 0.34 0.34 0 ( )( ) 8 8 0 ( )g X d xg X l d x xg X l x 扭 轉(zhuǎn) 強(qiáng) 度 條 件剛 度 條 件長(zhǎng) 度 的 邊 界 條 件約 束 條 件 :綜 上 所 述 , 這 是 一 個(gè) 具 有 4個(gè) 約 束 條 件 的 二 元 非 線 性 的 約束 優(yōu) 化 問(wèn) 題 。 2212212 785.04141min xxxxldVXf 例 2-2 現(xiàn) 用 薄 鋼 板 制 造 一 體 積 為 5 , 長(zhǎng) 度 不 小 于 4m的 無(wú) 上 蓋 的立 方 體 貨 箱 。 要 求 該 貨 箱 的 鋼 板 耗 費(fèi) 量 最 少 , 試 確 定 貨 箱 的 長(zhǎng) 、 寬 和高 的 尺 寸 。 3m 解 : 分 析 可 知 , 鋼 板 的 耗 費(fèi) 量 與 貨 箱 的 表 面 積 成 正 比 。 設(shè) 貨 箱 的 長(zhǎng) 、 寬 、 高 分 別 為 , 貨 箱 的 表 面 積 為 S, 則 該問(wèn) 題 的 物 理 表 達(dá) 式 為 : 1 2 3, ,x x x 1 2 1 3 2 32( ) minS x x x x x x 2x 3x(1) 貨 箱 的 鋼 板 耗 費(fèi) 量 ( 即 貨 箱 的 表 面 積 用 料 ) 最 少 :可 見(jiàn) 貨 箱 的 表 面 積 取 決 于 貨 箱 的 長(zhǎng) 度 、 寬 度 和 高 度 。1x1 2 34; 0; 0 x x x (2) 滿 足 的 條 件 :按 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 的 規(guī) 范 形 式 , 可 歸 納 為 如 下 數(shù) 學(xué) 模 型 : 1 2 3 TX x x x 1 2 1 3 2 3min ( ) 2( )f X S x x x x x x 1 1( ) 4 0g X x 設(shè) 計(jì) 變 量 :目 標(biāo) 函 數(shù) 的 極 小 化 :約 束 條 件 : 2 23 31 2 3( ) 0( ) 0( ) 5 0g X xg X xh X x x x 由 等 式 約 束 條 件 可 知 , 三 個(gè) 設(shè) 計(jì) 變 量 中 只 有 兩 個(gè) 是 獨(dú) 立 變 量 , 即 。 所 以 , 該 問(wèn) 題 的 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 應(yīng) 寫 為 : 3 1 25x x x 1 2 TX x x設(shè) 計(jì) 變 量 : 1 2 1 3 2 3 1 2 2 11 1min ( ) 2( ) 10( )f X x x x x x x x x x x 目 標(biāo) 函 數(shù) 的 極 小 化 : 1 1( ) 4 0g X x 2 21 2 3( ) 0( ) 5 0g X xh X x x x 約 束 條 件 :這 樣 , 使 該 優(yōu) 化 問(wèn) 題 的 數(shù) 學(xué) 模 型 更 為 準(zhǔn) 確 、 精 煉 。 例 2-3 某 車 間 生 產(chǎn) 甲 、 乙 兩 種 產(chǎn) 品 。 生 產(chǎn) 甲 種 產(chǎn) 品 每 件 需 使 用 材料 9kg、 3個(gè) 工 時(shí) 、 4kw電 , 可 獲 利 潤(rùn) 60元 。 生 產(chǎn) 乙 種 產(chǎn) 品 每 件 需 用 材料 4kg、 10個(gè) 工 時(shí) 、 5kw電 , 可 獲 利 120元 。 若 每 天 能 供 應(yīng) 材 料 360kg,有 300個(gè) 工 時(shí) , 能 供 200kw電 。 試 確 定 兩 種 產(chǎn) 品 每 天 的 產(chǎn) 量 , 以 使 每 天可 能 獲 得 的 利 潤(rùn) 最 大 。 1 2,x x 1 2( , )f x x 1 2 1 2( , ) 60 120 maxf x x x x 1 1 2( ) 9 4 360g X x x 2 1 2( ) 3 10 300g X x x 3 1 2( ) 4 5 200g X x x 每 天 實(shí) 際 消 耗 的 材 料 、 工 時(shí) 和 電 力 可 分 別 用 以 下 約 束 函 數(shù) 表 示 : 解 : 這 是 一 個(gè) 生 產(chǎn) 計(jì) 劃 問(wèn) 題 , 可 歸 結(jié) 為 既 滿 足 各 項(xiàng) 生 產(chǎn) 條 件 , 又使 每 天 所 能 獲 得 的 利 潤(rùn) 達(dá) 到 最 大 的 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 問(wèn) 題 。 設(shè) 每 天 生 產(chǎn) 的 甲 、 乙 兩 種 產(chǎn) 品 分 別 為 件 , 每 天 獲 得 的 利 潤(rùn) 可用 函 數(shù) 表 示 , 即 1 2 TX x x 1 2 1 2min ( ) ( , ) 60 120f X f x x x x 于 是 上 述 生 產(chǎn) 計(jì) 劃 問(wèn) 題 的 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 應(yīng) 寫 為 :設(shè) 計(jì) 變 量 :目 標(biāo) 函 數(shù) 的 極 小 化 :1 1 2( ) 9 4 360g X x x 2 1 2( ) 3 10 300g X x x 3 1 2( ) 4 5 200g X x x 4 1( ) 0g X x 約 束 條 件 : ( 工 時(shí) 約 束 )( 電 力 約 束 )( 材 料 約 束 ) 5 2( ) 0g X x 由 于 目 標(biāo) 函 數(shù) 和 所 有 約 束 函 數(shù) 均 為 設(shè) 計(jì) 變 量 的 線 性 函 數(shù) , 故 此 優(yōu)化 問(wèn) 題 屬 線 性 約 束 優(yōu) 化 問(wèn) 題 。 【 例 2-1】 欲 用 薄 鋼 板 制 造 一 體積 為 6m3, 高 度 為 1m,長(zhǎng) 度 不 小 于 3m的 無(wú) 蓋貨 箱 (如 圖 2-1所 示 ),試 確 定 貨 箱 的 長(zhǎng) x1和寬 x2, 使 耗 費(fèi) 的 鋼 板最 少 。 圖 2-1 貨 箱 【 例 2-2】 試 設(shè) 計(jì) 一 重 量 最 輕 的 空 心 傳 動(dòng) 軸 。空 心 傳 動(dòng) 軸 的 軸 橫 截 面 形 狀 如 圖2-2所 示 , 圖 中 D、 d分 別 為 軸 的外 徑 和 內(nèi) 徑 。 軸 的 長(zhǎng) 度 不 得 小 于3m。 軸 的 材 料 為 45鋼 , 密 度 為7.8 10-6kg/mm3, 彈 性 模 量E=2 105MPa, 許 用 切 應(yīng) 力=60MPa。 軸 所 受 扭 矩 為M=1.5 10 6Nmm。 圖 2-2 空 心 傳 動(dòng) 軸的 軸 橫 截 面 形 狀 【 例 2-3】 某 廠 因 生 產(chǎn) 需 要 , 欲 購(gòu) 進(jìn) 五 種 配 件 , 其 個(gè) 數(shù) 分 別為 x1、 x2、 x3、 x4、 x5。 每 種 配 件 的 單 價(jià) 分 別 為 60元 、 80元 、 85元 、 100元 、 120元 。 要 求 x1不 少 于20個(gè) , x3不 少 于 40個(gè) , 其 余 每 種 配 件 不 少 于 30個(gè) ,x1、 x2之 和 不 少 于 80個(gè) , x3、 x4之 和 不 少 于 200個(gè) ,x1、 x3、 x4、 x5之 和 不 少 于 400個(gè) 。 問(wèn) 每 種 配 件 為多 少 個(gè) , 配 件 總 的 進(jìn) 價(jià) 才 最 低 。 影 響 總 進(jìn) 價(jià) 的 因 素 是 每 種 配 件 的 個(gè) 數(shù) 。 本 例 是 要求 一 組 參 數(shù) x 1、 x2、 x3、 x4、 x5 , 這 組 參 數(shù) 應(yīng) 在 滿足 一 定 的 條 件 下 , 使 所 有 配 件 的 總 進(jìn) 價(jià) 最 低 。 【 例 2-4】 制 造 一 批 設(shè) 備 , 需 用 毛 坯 長(zhǎng) 度 分 別 為 2.5m, 1.5m和 1.3m的 同 型 號(hào) 槽 鋼 各 120根 、 240根 和 300根 。這 些 不 同 長(zhǎng) 度 的 槽 鋼 都 將 用 長(zhǎng) 度 為 6m的 槽 鋼 截得 。 問(wèn) 如 何 下 料 用 料 最 省 。 本 例 中 , 下 料 的 方 案 有 若 干 個(gè) , 要 求 找 出 其 中 最佳 的 方 案 , 該 方 案 應(yīng) 在 滿 足 設(shè) 備 所 需 不 同 規(guī) 格 槽鋼 根 數(shù) 的 條 件 下 , 使 用 料 最 省 。 【 例 2-5】 圖 2-3為 一 圓 彈 簧 絲 的 螺 旋 扭 轉(zhuǎn) 彈 簧 。 已 知 , 彈 簧 在 垂 直于 其 軸 線 的 平 面 內(nèi) 受 到 一 個(gè) 扭 矩 T作 用 , 所 產(chǎn) 生 的 變 形 即扭 角 為 , 彈 簧 的 許 用 彎 曲 應(yīng) 力 為 b, 彈 性 模 量 為 E。 彈簧 的 結(jié) 構(gòu) 尺 寸 要 求 為 : 鋼 絲 直 徑 dminddmax, 外 徑DminDDmax, 彈 簧 圈 數(shù) nn1, 旋 繞 比 4C8。 試 設(shè) 計(jì) 該彈 簧 , 要 求 其 重 量 最 輕 。 圖 2-3 螺 旋 扭 轉(zhuǎn) 彈 簧 的 受 力 分 析 【 例 2-6】 試 設(shè) 計(jì) 一 閉 式 直 齒 圓 錐 齒 輪 傳 動(dòng) 。 已 知 : 小 錐 齒輪 懸 臂 支 承 , 大 錐 齒 輪 兩 端 支 承 , 軸 交 角 =90 ,小 錐 齒 輪 傳 遞 扭 矩 T1=40Nm, 轉(zhuǎn) 速 n1=960r/rnin,齒 數(shù) 比 u=3, 精 度 等 級(jí) 為 7級(jí) , 電 動(dòng) 機(jī) 驅(qū) 動(dòng) , 工 作機(jī) 載 荷 穩(wěn) 定 , 兩 班 制 工 作 , 使 用 期 限 為 8年 。 小 錐齒 輪 選 用 40Cr, 調(diào) 質(zhì) 處 理 , 硬 度 為 241 286H B,大 錐 齒 輪 選 用 42SiMn, 調(diào) 質(zhì) 處 理 , 硬 度 為 217255H B。 要 求 所 設(shè) 計(jì) 的 圓 錐 齒 輪 傳 動(dòng) 體 積 小 。 【 例 2-7】 某 一 帶 式 運(yùn) 輸 機(jī) 中 的 第 一 級(jí) 采 用 普 通 V帶 傳 動(dòng) 。已 知 動(dòng) 力 機(jī) 為 Y系 列 三 相 異 步 電 動(dòng) 機(jī) , 其 額 定 功率 P=7.5kW, 轉(zhuǎn) 速 n1=1440r/min, 從 動(dòng) 帶 輪 的 轉(zhuǎn)速 n2=630r/min, 允 許 誤 差 為 5%, 兩 班 制 工 作 ,運(yùn) 輸 裝 置 工 作 時(shí) 有 輕 度 沖 擊 。 試 設(shè) 計(jì) 此 帶 傳 動(dòng) ,要 求 帶 傳 動(dòng) 的 輪 廓 尺 寸 最 小 。 【 例 2-7】 (續(xù) ) 帶 傳 動(dòng) 的 設(shè) 計(jì) 參 數(shù) 主 要 有 帶 的 型 號(hào) 、 帶 的 根 數(shù) z、小 帶 輪 直 徑 D1、 大 帶 輪 直 徑 D2、 帶 的 長(zhǎng) 度 L、 中心 距 a、 小 帶 輪 包 角 1、 帶 的 張 緊 力 F0以 及 作 用 在軸 上 的 載 荷 FQ。 由 于 參 數(shù) D2、 a、 1、 F0、 FQ可由 參 數(shù) 傳 動(dòng) 比 i(i=n1/n2= D2/D1)、 D1、 L、 z通 過(guò) 有關(guān) 公 式 確 定 , 所 以 本 例 的 獨(dú) 立 設(shè) 計(jì) 參 數(shù) 只 有 帶 的型 號(hào) 、 D1、 L、 z。 本 例 是 要 通 過(guò) 優(yōu) 選 帶 的 型 號(hào) 、 D1、 L、 z這 組 參 數(shù)得 到 具 有 最 小 輪 廓 且 滿 足 V帶 根 數(shù) 、 小 帶 輪 包 角等 限 制 條 件 的 帶 傳 動(dòng) 。 【 例 2-8】 右 圖 所 示 的 人 字 架 由 兩 個(gè) 鋼 管 構(gòu)成 , 其 頂 點(diǎn) 受 外 力 2F=3 105N。人 字 架 的 跨 度 2B=152cm, 鋼 管壁 厚 T=0.25cm, 鋼 管 材 料 的 彈 性模 量 E=2.1 105Mpa, 材 料 密 度=7.8 103K g/m3, 許 用 壓 應(yīng) 力 y= 420MPa。 求 在 鋼 管 壓 應(yīng) 力 不 超 過(guò) 許 用 壓 應(yīng) 力 y和 失 穩(wěn) 臨 界應(yīng) 力 e的 條 件 下 , 人 字 架 的 高 h和 鋼 管 平 均 直 徑 D, 使 鋼 管 總 質(zhì)量 m為 最 小 。 圖 2- 人 字 架 的 受 力 人 字 架 的 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 問(wèn) 題 歸 結(jié) 為 :Tx DH 使 結(jié) 構(gòu) 質(zhì) 量 minm x 但 應(yīng) 滿 足 強(qiáng) 度 約 束 條 件 yx 穩(wěn) 定 約 束 條 件 ex 鋼 管 所 受 的 壓 力 12 2 21 ( )FL F B hF h h 失 穩(wěn) 的 臨 界 力 22e EIF L鋼 管 所 受 的 壓 應(yīng) 力 1 2 2 21 F B hFA TDh 鋼 管 的 臨 界 應(yīng) 力 2 2 22 28ee E T DFA B h 強(qiáng) 度 約 束 條 件 yx 可 以 寫 成 12 2 2 yF B hTDh 穩(wěn) 定 約 束 條 件 ex 可 以 寫 成 12 2 2 2 22 2 28F B h E T DTDh B h 人 字 架 的 總 質(zhì) 量 12 2 2, 2 2m D h AL TD B h 這 個(gè) 優(yōu) 化 問(wèn) 題 是 以 D和 h為 設(shè) 計(jì) 變 量 的 二維 問(wèn) 題 , 且 只 有 兩 個(gè) 約 束 條 件 , 可 以 用解 析 法 求 解 。除 了 解 析 法 外 , 還 可 以 采 用 作 圖 法 求 解 。 圖 2- 人 字 架 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 的 圖 解 1 2 , , , TnX x x x 1 2( ) ( , , , )nf X f x x x ( ) 0 ( 1,2, , )ug X u m ( ) 0 ( 1,2, , )vh X v p n ( ) 0ug X ( ) 0vh X 從 以 上 三 個(gè) 實(shí) 例 可 以 看 出 , 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 的 數(shù) 學(xué) 模 型 需要 用 設(shè) 計(jì) 變 量 、 目 標(biāo) 函 數(shù) 和 約 束 條 件 等 基 本 概 念 才 能 予以 完 整 的 描 述 , 可 以 寫 成 以 下 統(tǒng) 一 形 式 :求 設(shè) 計(jì) 變 量 : (2-1)使 極 小 化 函 數(shù) : (2-2)滿 足 約 束 條 件 :其 中 , 稱 為 不 等 式 約 束 條 件 , 稱 為 等 式 約 束 條 件 。 若 用 向 量 表 示 設(shè) 計(jì) 變 量 , 表 示 向 量 X 屬 于 n 維 實(shí) 歐 氏 空 間 ; 用 min、 max 表 示 極 小 化 和 極 大 化 , s.t.( subjected to的 英 文 縮 寫 ) 表 示 “ 滿 足 于 ” , m、 p 分 別 表 示 不 等 式 約 束 和 等 式 約 束 的 個(gè) 數(shù) 。 則 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 可 以 寫 成 以 下 向 量 形 式 : 1 2 , , , TnX x x x nX R min ( ) . ( ) 0 ( 1,2, , ) ( ) 0 ( 1,2, , )nuv f X X Rst g X u mh X v p n (2-3) min ( ) nf XX R上 式 就 是 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 的 一 般 表 達(dá) 式 。 這 一 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 ,稱 為 約 束 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 問(wèn) 題 。 (2-4)這 一 優(yōu) 化 問(wèn) 題 不 受 任 何 約 束 , 稱 為 無(wú) 約 束 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 問(wèn) 題 。式 ( 2-4) 即 為 無(wú) 約 束 優(yōu) 化 問(wèn) 題 的 數(shù) 學(xué) 模 型 表 達(dá) 式 。若 上 式 所 列 數(shù) 學(xué) 模 型 內(nèi) m = p = 0, 則 成 為 當(dāng) 涉 及 問(wèn) 題 要 求 極 大 化 目 標(biāo) 函 數(shù) 時(shí) , 只 要 將 式 中 目 標(biāo) 函 數(shù) 改寫 為 即 可 。 因 為 和 具 有 相 同 的 解 。 同 樣 , 當(dāng) 不 等 式 約 束 為 : “ ” 時(shí) , 只 要 將 不 等 式 兩 端 同 乘 以“ 1”, 即 可 得 到 “ ” 的 一 般 形 式 。 一 個(gè) 完 整 的 規(guī) 格 化 的 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 應(yīng) 包 含 有 三 部 分 內(nèi) 容 : 即 設(shè) 計(jì)變 量 X、 目 標(biāo) 函 數(shù) 、 約 束 條 件 和 。 它 們 又 稱為 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 的 三 要 素 。 ( )f X ( )f Xmin ( )f X max ( )f X ( )f X ( ) 0 ug X ( ) 0 vh X * * * *1 2 , , , TnX x x x * ( )f X 建 立 出 的 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 , 在 計(jì) 算 機(jī) 上 求 得 的 解 稱 為 優(yōu) 化 問(wèn) 題 的 最優(yōu) 解 , 它 包 括 :最 優(yōu) 方 案 :最 優(yōu) 目 標(biāo) 函 數(shù) 值 :即 優(yōu) 化 問(wèn) 題 的 最 優(yōu) 解 由 最 優(yōu) 設(shè) 計(jì) 方 案 X*( 或 稱 最 優(yōu) 點(diǎn) ) 和 最 優(yōu) 目 標(biāo) 函數(shù) 值 兩 部 分 組 成 。 最 優(yōu) 目 標(biāo) 函 數(shù) 值 是 最 優(yōu) 點(diǎn) X*帶 入 目 標(biāo)函 數(shù) 所 求 得 的 最 優(yōu) 函 數(shù) 值 , 它 是 評(píng) 價(jià) 設(shè) 計(jì) 方 案 優(yōu) 劣 程 度 的 一 個(gè) 標(biāo)量 值 。 * ( )f X * ( )f X ( )f X 下 面 就 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 三 要 素 的 有 關(guān) 問(wèn) 題 說(shuō) 明 如 下 : 在 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 過(guò) 程 中 需 要 調(diào) 整 和 優(yōu) 選 的 參 數(shù) , 稱 為 設(shè) 計(jì) 變 量 。 可 表示 為 : 1 2 , ., T nnX x x x X R 由 于 實(shí) 際 工 程 設(shè) 計(jì) 對(duì) 象 的 不 同 , 則 選 取 的 設(shè) 計(jì) 變 量 也 就 不 同 。 它 可 以 是 幾 何 參 數(shù) : 如 零 件 外 形 尺 寸 、 截 面 尺 寸 、 機(jī) 構(gòu) 的 運(yùn) 動(dòng) 尺寸 等 ; 也 可 以 是 某 些 物 理 量 : 如 零 部 件 的 重 量 、 體 積 、 力 與 力 矩 、 慣性 矩 等 ; 還 可 以 是 代 表 機(jī) 器 工 作 性 能 的 導(dǎo) 出 量 : 如 應(yīng) 力 、 變 形 等 。 總 之 , 設(shè) 計(jì) 變 量 必 須 是 對(duì) 該 項(xiàng) 設(shè) 計(jì) 性 能 指 標(biāo) 優(yōu) 劣 有 影 響 的 參 數(shù) 。 設(shè) 計(jì) 變 量 是 一 組 相 互 獨(dú) 立 的 基 本 參 數(shù) 。 一 般 用 向 量 X 來(lái) 表 示 。 設(shè) 計(jì) 變 量 的 每 一 個(gè) 分 量 都 是 相 互 獨(dú) 立 的 。 以 n個(gè) 設(shè) 計(jì) 變 量 為 坐 標(biāo) 軸 所 構(gòu) 成 的 實(shí) 數(shù) 空 間 稱 為 設(shè) 計(jì) 空 間 , 或 稱n維 實(shí) 歐 式 空 間 , 用 Rn表 示 。1. 設(shè) 計(jì) 變 量 當(dāng) n=2 時(shí) , X=x1,x2T 是 二 維 設(shè) 計(jì) 向 量 ; 當(dāng) n=3 時(shí) , X=x1,x2, x3T 為 三 維 設(shè) 計(jì) 向 量 , 設(shè) 計(jì) 變 量x1,x2, x3組 成 一 個(gè) 三 維 空 間 ; 當(dāng) n3 時(shí) , 設(shè) 計(jì) 空 間 是 一 個(gè) 想 象 的 超 越 空 間 , 稱 n維實(shí) 數(shù) 空 間 。 其 中 二 維 和 三 維 設(shè) 計(jì) 空 間 如 圖 2-2所 示 。 圖 2-2 設(shè) 計(jì) 空 間(a) (b) 設(shè) 計(jì) 變 量 可 分 為 連 續(xù) 變 量 和 離 散 變 量 。 在 工 程 設(shè) 計(jì) 中 , 當(dāng) 有 些 設(shè) 計(jì) 變 量 的 取 值 要 求 是 離 散型 量 , 則 稱 離 散 設(shè) 計(jì) 變 量 , 如 齒 輪 的 齒 數(shù) 、 模 數(shù) , 鋼 管的 直 徑 、 鋼 板 的 厚 度 等 。 對(duì) 于 離 散 設(shè) 計(jì) 變 量 , 在 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 過(guò) 程 中 常 是 先 把 它視 為 連 續(xù) 量 , 在 求 得 連 續(xù) 量 的 優(yōu) 化 結(jié) 果 后 再 進(jìn) 行 圓 整 或標(biāo) 準(zhǔn) 化 , 以 求 得 一 個(gè) 實(shí) 用 的 最 優(yōu) 設(shè) 計(jì) 方 案 。 設(shè) 計(jì) 變 量 的 個(gè) 數(shù) , 稱 為 自 由 度 ( 維 數(shù) ) , 它 決 定 了優(yōu) 化 問(wèn) 題 的 大 小 范 圍 , 當(dāng) : n 2 10 為 小 型 優(yōu) 化 問(wèn) 題 ; n 10 50 為 中 型 優(yōu) 化 問(wèn) 題 ; n 50 為 大 型 優(yōu) 化 問(wèn) 題 2. 目 標(biāo) 函 數(shù) 目 標(biāo) 函 數(shù) 是 用 來(lái) 評(píng) 價(jià) 設(shè) 計(jì) 方 案 優(yōu) 劣 的 標(biāo) 準(zhǔn) , 又 稱 評(píng) 價(jià)函 數(shù) 。 它 是 設(shè) 計(jì) 變 量 的 函 數(shù) , 常 記 為 1 2( ) ( , , , )nf x f x x x 確 定 目 標(biāo) 函 數(shù) , 是 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 中 最 重 要 的 決 策 之 一 。 因?yàn)?這 不 僅 直 接 影 響 優(yōu) 化 方 案 的 質(zhì) 量 , 而 且 還 影 響 到 優(yōu) 化 過(guò)程 。 目 標(biāo) 函 數(shù) 可 以 根 據(jù) 工 程 問(wèn) 題 的 要 求 從 不 同 角 度 來(lái) 建 立 ,例 如 : 機(jī) 械 零 件 設(shè) 計(jì) 中 的 重 量 、 體 積 、 效 率 、 可 靠 性 、 幾何 尺 寸 、 承 載 能 力 ; 機(jī) 械 設(shè) 計(jì) 中 的 運(yùn) 動(dòng) 誤 差 、 功 率 、 應(yīng) 力 、動(dòng) 力 特 性 ; 產(chǎn) 品 設(shè) 計(jì) 中 的 成 本 、 壽 命 等 。 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 就 是 要 尋 求 一 個(gè) 最 優(yōu) 設(shè) 計(jì) 方 案 , 即 最 優(yōu) 點(diǎn) X*,從 而 使 目 標(biāo) 函 數(shù) 達(dá) 到 最 優(yōu) 值 。 在 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 中 , 一 般取 最 優(yōu) 值 為 目 標(biāo) 函 數(shù) 的 最 小 值 。 一 個(gè) 優(yōu) 化 問(wèn) 題 , 可 以 用 一 個(gè) 目 標(biāo) 函 數(shù) 來(lái) 衡 量 , 稱 之 為單 目 標(biāo) 優(yōu) 化 問(wèn) 題 ; 也 可 以 用 多 個(gè) 目 標(biāo) 函 數(shù) 來(lái) 衡 量 , 稱 之 為多 目 標(biāo) 優(yōu) 化 問(wèn) 題 。 *( )f X 如 圖 2-3所 示 , 當(dāng) 目 標(biāo) 函 數(shù) f(x)等于 某 一 值 時(shí) , 就 可 得 到 一 條等 值 線 , 它 是 在 設(shè) 計(jì) 平 面 上 由 f (x) Ci 的 無(wú) 數(shù) 個(gè) 設(shè) 計(jì) 點(diǎn) X 所 連 成 , 當(dāng) f(x) 為 不等 的 函 數(shù) 值 時(shí) , 可 以 得 到 一 族等 值 線 。 目 標(biāo) 函 數(shù) 可 以 通 過(guò) 等 值 線 ( 面 ) 在 設(shè) 計(jì) 空 間 中 表 現(xiàn) 出 來(lái) 。1 2, ,c c 現(xiàn) 以 二 維 優(yōu) 化 問(wèn) 題 為 例 , 來(lái) 說(shuō) 明目 標(biāo) 函 數(shù) 的 等 值 線 (面 )的 幾 何 意 義 。 圖 2-3 二 維 目 標(biāo) 函 數(shù) 的 等 值 線ci(i=1,2,) 由 于 每 一 條 曲 線 上 的 各 點(diǎn) 都 具 有 相等 的 目 標(biāo) 函 數(shù) 值 , 所 以 這 些 曲 線 稱 為 目標(biāo) 函 數(shù) 的 等 值 線 。 所 謂 目 標(biāo) 函 數(shù) 的 等 值 線 ( 面 ) ,就 是 當(dāng) 目 標(biāo) 函 數(shù) f(X) 的 值 依 次 等 于 一系 列 常 數(shù) ( i=1, 2, )時(shí) , 設(shè) 計(jì) 變 量X 取 得 一 系 列 值 的 集 合 。ic 對(duì) 于 一 個(gè) 目 標(biāo) 函 數(shù) 來(lái) 說(shuō) , 它 可以 有 無(wú) 窮 多 條 的 等 值 線 。 可 以 說(shuō) 等值 線 充 滿 了 設(shè) 計(jì) 空 間 。 由 圖 可 見(jiàn) , 等 值 線 族 反 映 了 目標(biāo) 函 數(shù) 值 的 變 化 規(guī) 律 , 等 值 線 越 向里 面 , 目 標(biāo) 函 數(shù) 值 越 小 。 對(duì) 于 有 中 心 的 曲 線 族 來(lái) 說(shuō) , 等值 線 族 的 共 同 中 心 就 是 目 標(biāo) 函 數(shù) 的無(wú) 約 束 極 小 點(diǎn) X*。 故 從 幾 何 意 義 上來(lái) 說(shuō) , 求 目 標(biāo) 函 數(shù) 無(wú) 約 束 極 小 點(diǎn) 也就 是 求 其 等 值 線 族 的 共 同 中 心 。 等 值 線 有 以 下 幾 個(gè) 特 點(diǎn) : (1)不 同 值 的 等 值 線 不 相 交 ; (2) 除 極 值 點(diǎn) 外 , 在 設(shè) 計(jì) 空 間 內(nèi) , 等 值 線 不 會(huì) 中 斷 ; (3) 等 值 線 充 滿 整 個(gè) 設(shè) 計(jì) 空 間 ; (4)等 值 線 分 布 的 疏 或 密 , 反 應(yīng) 出 函 數(shù) 值 變 化 的 慢 或 快 ; (5)一 般 來(lái) 說(shuō) , 在 極 值 點(diǎn) 附 近 , 等 值 線 近 似 是 同 心 橢 圓族 , 極 值 點(diǎn) 就 是 橢 圓 的 中 心 點(diǎn) 。 在 設(shè) 計(jì) 空 間 內(nèi) , 目 標(biāo) 函 數(shù) 值 相 等 點(diǎn) 的 連 線 : 對(duì) 于 二 維 優(yōu) 化 問(wèn) 題 , 構(gòu) 成 了 等 值 線 ; 對(duì) 于 三 維 優(yōu) 化 問(wèn) 題 , 構(gòu) 成 了 等 值 面 ; 對(duì) 于 四 維 以 上 的 優(yōu) 化 問(wèn) 題 , 則 構(gòu) 成 了 等 值 超 曲 面 。 3. 約 束 條 件 約 束 條 件 是 設(shè) 計(jì) 變 量 選 取 的 限 制 條 件 , 或 稱 設(shè) 計(jì) 約 束 。 按 照 約 束 條 件 的 形 式 不 同 , 約 束 有 不 等 式 和 等 式 約 束 兩類 , 一 般 表 達(dá) 式 為 :不 等 式 約 束等 式 約 束 ( ) 0 1,2, ,ug x u m ( ) 0 1,2, ,vh x v p 按 照 設(shè) 計(jì) 約 束 的 性 質(zhì) 不 同 , 約 束 又 可 分 為 如 下 兩 類 : ( ) 性 能 約 束 : 是 根 據(jù) 設(shè) 計(jì) 性 能 或 指 標(biāo) 要 求 而 確 定 的一 種 約 束 條 件 , 例 如 零 件 的 工 作 應(yīng) 力 、 變 形 的 限 制 條 件 以 及對(duì) 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 參 數(shù) 如 位 移 、 速 度 、 加 速 度 值 的 限 制 條 件 均 屬 性 能約 束 。 ( ) 邊 界 約 束 : 則 是 對(duì) 設(shè) 計(jì) 變 量 取 值 范 圍 的 限 制 , 例如 對(duì) 齒 輪 的 模 數(shù) 、 齒 數(shù) 的 上 、 下 限 的 限 制 以 及 對(duì) 構(gòu) 件 長(zhǎng) 度 尺 寸 的 限 制 都 是 邊 界 約 束 。 任 何 一 個(gè) 不 等 式 約 束 方 程 的 圖 形 將 設(shè) 計(jì) 空 間 劃 分 為 兩部 分 : 一 部 分 滿 足 約 束 , 即 gj(X) 0; 另 一 部 分 則 不 滿 足 約 束 , 即 gj(X) 0。 故 將 該 分 界 線 或 分 界 面 稱 為 約 束 邊 界 ( 或 約 束 面 ) 。 等 式 約 束 本 身 也 是 約 束 邊 界 , 不 過(guò) 此 時(shí) 只 有 約 束 邊 界上 的 點(diǎn) 滿 足 約 束 , 而 邊 界 兩 邊 的 所 有 部 分 都 不 滿 足 約 束 。 以 二 維 問(wèn) 題 為 例 , 如 圖 2-4所 示 , 其 中 陰 影 方 向 部 分 表示 不 滿 足 約 束 的 區(qū) 域 。 圖 2-4 約 束 邊 界 u vD=X| g (X) 0, h (X)=0 (u=1,2, ,m ; v=1,2, ,pn) (2-5)圖 2-5 二 維 問(wèn) 題 的 可 行 域 不 滿 足 約 束 條 件 的 設(shè) 計(jì) 點(diǎn) 構(gòu) 成 該 優(yōu) 化 問(wèn) 題 的 不 可 行 域 。 可 行 域 也 可 看 做 滿 足 所 有 約 束 條 件 的 設(shè) 計(jì) 點(diǎn) 的 集 合 , 因 此 , 可 用集 合 表 示 如 下 : 約 束 的 幾 何 意 義是 它 將 設(shè) 計(jì) 空 間 一 分為 二 , 形 成 了 可 行 域和 非 可 行 域 。 每 一 個(gè) 不 等 式 約束 或 等 式 約 束 都 將 設(shè)計(jì) 空 間 分 為 兩 部 分 ,滿 足 所 有 約 束 的 部 分形 成 一 個(gè) 交 集 , 該 交集 稱 為 此 約 束 問(wèn) 題 的可 行 域 , 記 做 D, 見(jiàn)圖 2-5。 綜 上 所 述 , 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 是 對(duì) 實(shí) 際 問(wèn) 題 的 數(shù) 學(xué) 描 述和 概 括 , 是 進(jìn) 行 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 的 基 礎(chǔ) 。 因 此 , 根 據(jù) 設(shè) 計(jì) 問(wèn) 題的 具 體 要 求 和 條 件 建 立 完 備 的 數(shù) 學(xué) 模 型 是 關(guān) 系 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì)成 敗 的 關(guān) 鍵 。 這 是 因 為 優(yōu) 化 問(wèn) 題 的 計(jì) 算 求 解 完 全 是 圍 繞 數(shù) 學(xué) 模 型進(jìn) 行 的 。 也 就 是 說(shuō) , 優(yōu) 化 計(jì) 算 所 得 的 最 優(yōu) 解 實(shí) 際 上 只 是數(shù) 學(xué) 模 型 的 最 優(yōu) 解 。 此 解 是 否 滿 足 實(shí) 際 問(wèn) 題 的 要 求 , 是否 就 是 實(shí) 際 問(wèn) 題 的 最 優(yōu) 解 , 完 全 取 決 于 數(shù) 學(xué) 模 型 和 實(shí) 際問(wèn) 題 的 符 合 程 度 。 建 立 優(yōu) 化 數(shù) 學(xué) 模 型 是 一 項(xiàng) 重 要 而 復(fù) 雜 的 工 作 : 一 方 面 希 望 建 立 一 個(gè) 盡 可 能 完 善 的 數(shù) 學(xué) 模 型 , 以求 精 確 地 表 達(dá) 實(shí) 際 問(wèn) 題 , 得 到 滿 意 的 結(jié) 果 ; 另 一 方 面 又 力 求 使 所 建 立 的 數(shù) 學(xué) 模 型 盡 可 能 簡(jiǎn) 單 , 以 便 于 計(jì) 算 與 求 解 。 前 者 是 指 總 體 布 局 、 結(jié) 構(gòu) 或 系 統(tǒng) 的 類 型 以 及 幾 何 形 式 的 優(yōu) 化 設(shè)計(jì) ; 后 者 是 在 總 體 方 案 選 定 后 , 對(duì) 具 體 設(shè) 計(jì) 參 數(shù) ( 幾 何 參 數(shù) 、 性 能參 數(shù) 等 ) 的 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 。 總 體 方 案 設(shè) 計(jì) 是 一 種 創(chuàng) 造 性 活 動(dòng) , 必 須 依 靠 思 考 與 推 理 , 綜 合運(yùn) 用 多 學(xué) 科 的 專 門 知 識(shí) 和 豐 富 的 實(shí) 踐 經(jīng) 驗(yàn) , 才 能 獲 得 正 確 、 合 理 的設(shè) 計(jì) 。 因 此 , 總 體 方 案 優(yōu) 化 其 大 量 工 作 是 依 據(jù) 知 識(shí) 和 經(jīng) 驗(yàn) 進(jìn) 行 演 繹和 推 理 , 可 用 人 工 智 能 方 法 ( 特 別 是 專 家 系 統(tǒng) 技 術(shù) ) 適 宜 于 求 解 這類 問(wèn) 題 。 設(shè) 計(jì) 參 數(shù) 優(yōu) 化 是 擇 優(yōu) 確 定 具 體 的 設(shè) 計(jì) 參 數(shù) , 屬 于 數(shù) 值 計(jì) 算 型 工作 , 比 較 容 易 總 結(jié) 出 可 供 計(jì) 算 分 析 用 的 數(shù) 學(xué) 模 型 , 因 而 一 般 采 用 數(shù)學(xué) 規(guī) 劃 方 法 來(lái) 求 解 。 本 章 主 要 介 紹 設(shè) 計(jì) 參 數(shù) 優(yōu) 化 問(wèn) 題 。 工 程 設(shè) 計(jì) 的 類 型 很 多 , 總 的 來(lái) 說(shuō) , 它 可 以 分 為 兩 個(gè) 層 次 :2.1.3 優(yōu) 化 問(wèn) 題 的 分 類 總 體 方 案 優(yōu) 化 ; 設(shè) 計(jì) 參 數(shù) 優(yōu) 化 。這 兩 者 之 間 有 著 密 切 的 聯(lián) 系 , 但 也 存 在 著 實(shí) 質(zhì) 性 的 區(qū) 別 。 根 據(jù) 優(yōu) 化 問(wèn) 題 的 數(shù) 學(xué) 模 型 是 否 含 有 設(shè) 計(jì) 約 束 , 可 將工 程 優(yōu) 化 問(wèn) 題 分 為 : 工 程 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 問(wèn) 題 中 的 絕 大 多 數(shù) 問(wèn) 題 都 是 約 束優(yōu) 化 問(wèn) 題 。工 程 優(yōu) 化 問(wèn) 題 約 束 優(yōu) 化 問(wèn) 題無(wú) 約 束 優(yōu) 化 問(wèn) 題 一 維 優(yōu) 化 問(wèn) 題多 維 無(wú) 約 束 優(yōu) 化 問(wèn) 題非 線 性 規(guī) 劃 問(wèn) 題線 性 規(guī) 劃 問(wèn) 題二 次 規(guī) 劃 問(wèn) 題凸 規(guī) 劃 問(wèn) 題 對(duì) 于 優(yōu) 化 問(wèn) 題 數(shù) 學(xué) 模 型 的 求 解 , 目 前 可 采 用 的 求 解 方 法 有 三 種 : 數(shù) 學(xué) 解 析 法 : 就 是 把 優(yōu) 化 對(duì) 象 用 數(shù) 學(xué) 模 型 描 述 出 來(lái) 后 , 用 數(shù) 學(xué)解 析 法 ( 如 微 分 、 變 分 法 等 ) 來(lái) 求 出 最 優(yōu) 解 , 如 高 等 數(shù) 學(xué) 中 求 函 數(shù) 極值 或 條 件 極 值 的 方 法 。 數(shù) 學(xué) 解 析 法 是 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 的 理 論 基 礎(chǔ) 。 但 它 僅 限 于 維 數(shù) 較 少 且 易 求導(dǎo) 的 優(yōu) 化 問(wèn) 題 的 求 解 。 數(shù) 學(xué) 解 析 法 圖 解 法 數(shù) 值 迭 代 法 圖 解 法 : 就 是 直 接 用 作 圖 的 方 法 來(lái) 求 解 優(yōu) 化 問(wèn) 題 , 通 過(guò) 畫 出 目標(biāo) 函 數(shù) 和 約 束 函 數(shù) 的 圖 形 , 求 出 最 優(yōu) 解 。 此 法 的 特 點(diǎn) 是 簡(jiǎn) 單 直 觀 , 但 僅 限 于 n 2的 低 維 優(yōu) 化 問(wèn) 題 的 求 解 。 2.1.4 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 的 迭 代 算 法 圖 2-6 所 示 為 采 用 圖 解 法 來(lái) 求 解 如 下 二 維 優(yōu) 化 問(wèn) 題 :min f(X) = x12+x22 4x1+4 s.t. g1(X) = x2 x1 2 0 g2(X) = x12 x2+1 0 g3(X) = x1 0 g4(X) = x2 0 該 問(wèn) 題 的 目 標(biāo) 函 數(shù) 、 約 束 函 數(shù) 的 立 體 圖 如 圖 2-6(a)所 示 ; 該 問(wèn) 題 的 設(shè) 計(jì) 空 間 關(guān) 系 圖 如 圖 2-6(b)所 示 , 陰 影 線 部 分 即 為由 所 有 約 束 邊 界 圍 成 的 可 行 域 。 該 問(wèn) 題 的 約 束 最 優(yōu) 點(diǎn) 為 圖 中 的 X*點(diǎn) , 即 X*=x 1*, x2*T =0.58, 1.34 T; 約 束 最 優(yōu) 值 為 : 的 最 優(yōu) 解 的 結(jié) 果 。f(X*)=0.38。 (a)問(wèn) 題 的 立 體 圖 (b)設(shè) 計(jì) 空 間 關(guān) 系 圖 圖 2-6 二 維 優(yōu) 化 問(wèn) 題 的 幾 何 解 數(shù) 值 迭 代 法 : 完 全 是 依 賴 于 計(jì) 算 機(jī) 的 數(shù) 值 計(jì) 算 特 點(diǎn) 而 產(chǎn) 生 的 ,它 是 具 有 一 定 邏 輯 結(jié) 構(gòu) 并 按 一 定 格 式 反 復(fù) 迭 代 計(jì) 算 , 逐 步 逼 近 優(yōu) 化 問(wèn)題 最 優(yōu) 解 的 一 種 方 法 。 采 用 數(shù) 值 迭 代 法 可 以 求 解 各 種 優(yōu) 化 問(wèn) 題 。1. 數(shù) 值 迭 代 法 的 迭 代 格 式數(shù) 值 迭 代 法 的 基 本 思 想 是 : 搜 索 、 迭 代 、 逼 近 。 為 了 求 得 目 標(biāo) 函 數(shù) 的 極 小 點(diǎn) , 其 迭 代 過(guò) 程 如 下 : 在 設(shè) 計(jì) 空 間 給 出 一 初 始 迭 代 點(diǎn) ; 從 出 發(fā) , 按 照 確 定 的 搜 索 方 向 和 迭 代 步 長(zhǎng) , 求得 第 一 個(gè) 改 進(jìn) 設(shè) 計(jì) 點(diǎn) , 它 應(yīng) 該 滿 足 : ; 再 以 為 新 的 初 始 點(diǎn) , 重 復(fù) 上 述 步 驟 , 求 得 , 如此 反 復(fù) 迭 代 , 從 而 得 到 一 個(gè) 不 斷 改 進(jìn) 的 點(diǎn) 列 及 一 相 應(yīng)的 遞 減 函 數(shù) 值 數(shù) 列 。 (0)X (0)S (0)(1)X (1) (0)( ) ( )f X f X( ) , 0,1,2, kX k ( ) ( ), 1,2, kf X k ( )f X *X(1)X (2) (3), ,X X 這 一 迭 代 過(guò) 程 用 數(shù) 學(xué) 式 子 表 達(dá) , 得 數(shù) 值 迭 代 法 的 基 本 迭 代 格 式 為 :(0)X ( 1) ( ) ( ) ( )( 1) ( )( 1) ( 0,1,2, )( ) ( )( ) 0 ( 1,2, , )k k K kk kkuX X S kf X f Xg X u m 式 中 : X(k)前 一 步 已 取 得 的 設(shè) 計(jì) 方 案 ( 迭 代 點(diǎn) ) ; X(k+1)新 的 改 進(jìn) 設(shè) 計(jì) 方 案 ( 新 的 迭 代 點(diǎn) ) ; S(k)第 k次 迭 代 計(jì) 算 的 搜 索 方 向 ; (k) 第 k次 迭 代 計(jì) 算 的 步 長(zhǎng) 因 子 。 ( 2-6) 這 樣 一 步 步 地 重 復(fù) 數(shù) 值 計(jì) 算 , 不 斷 用 改 進(jìn) 的 新 點(diǎn) 迭 代 前 次 設(shè)計(jì) 點(diǎn) , 逐 步 改 進(jìn) 值 并 使 設(shè) 計(jì) 點(diǎn) 最 終 逼 近 極 小 點(diǎn) ( 極 值 點(diǎn) ) 。( )f X *X這 一 迭 代 過(guò) 程 如 圖 2-7所 示 。 圖 2-7 二 維 優(yōu) 化 問(wèn) 題 的 迭 代 過(guò) 程 在 優(yōu) 化 算 法 中 , 關(guān) 于 迭 代 方 法 有 多 種 , 它 們 之 間 的區(qū) 別 就 在 于 確 定 (k) 和 S(k)的 方 式 不 同 。 特 別 是 S(k)的 確 定 ,在 各 種 方 法 中 起 著 關(guān) 鍵 性 的 作 用 。 關(guān) 于 (k) 和 S(k)的 確 定 ,將 在 后 面 各 節(jié) 中 介 紹 。 通 過(guò) 以 上 分 析 及 其圖 2-7可 知 , 要 用 數(shù) 值 迭代 法 尋 找 最 優(yōu) 點(diǎn) X*, 這里 關(guān) 鍵 要 解 決 三 個(gè) 問(wèn) 題 : 一 是 如 何 確 定 迭代 步 長(zhǎng) (k); 二 是 怎 樣 選 定 搜索 方 向 S(k); 三 是 如 何 判 斷 是否 找 到 了 最 優(yōu) 點(diǎn) X* , 以終 止 迭 代 。 2.迭 代 計(jì) 算 的 終 止 準(zhǔn) 則 ( 1) ( ) 1k kX X 目 前 , 通 常 采 用 的 迭 代 終 止 準(zhǔn) 則 有 以 下 幾 種 :( ) 點(diǎn) 距 足 夠 小 準(zhǔn) 則相 鄰 兩 迭 代 點(diǎn) 之 間 的 距 離 已 達(dá) 到 充 分 小 , 即 ( 2-7)式 中 , 給 定 的 計(jì) 算 精 度 , 一 般 可 取 10-3 10-5。( ) 函 數(shù) 值 下 降 量 足 夠 小 準(zhǔn) 則 相 鄰 兩 迭 代 點(diǎn) 的 函 數(shù) 值 下 降 量 已 達(dá) 到 充 分 小 , 即( 1) ( ) 2( ) ( )k kf X f X ( 2-8) 式 中 , 給 定 的 計(jì) 算 精 度 , 一 般 可 取 10-3 10-5 。 目 標(biāo) 函 數(shù) 在 迭 代 點(diǎn) 的 梯 度 已 達(dá) 到 充 分 小 , 即( ) 函 數(shù) 梯 度 充 分 小 準(zhǔn) 則( 1) 3( )kf X ( 2-9) 1 2 式 中 , 給 定 的 計(jì) 算 精 度 , 一 般 可 取 10-3。 這 是 由 于 函 數(shù) 極 值 點(diǎn) 的 必 要 條 件 是 函 數(shù) 在 這 一點(diǎn) 的 梯 度 值 的 模 為 零 。 因 此 當(dāng) 迭 代 點(diǎn) 的 函 數(shù) 梯 度 的模 已 充 分 小 時(shí) , 則 認(rèn) 為 迭 代 可 以 終 止 。 上 述 三 個(gè) 準(zhǔn) 則 都 可 以 單 獨(dú) 使 用 。 只 要 其 中 一 個(gè)得 到 滿 足 , 就 可 以 認(rèn) 為 達(dá) 到 了 近 似 最 優(yōu) 解 , 迭 代 計(jì)算 到 此 結(jié) 束 。 對(duì) 于 約 束 優(yōu) 化 問(wèn) 題 , 不 同 的 優(yōu) 化 方 法 有 各 自 的終 止 準(zhǔn) 則 , 在 此 不 再 介 紹 。 3 已 知 一 n元 函 數(shù) , 則 該 函 數(shù) 在 點(diǎn) 處 的 梯 度可 記 為 :2.2 優(yōu) 化 方 法 的 數(shù) 學(xué) 基 礎(chǔ) (略 ) )(Xf 在 介 紹 有 關(guān) 優(yōu) 化 算 法 時(shí) , 常 常 要 用 到 函 數(shù) 的 梯 度 和海 森 (H essian)矩 陣 的 概 念 。 這 里 簡(jiǎn) 要 介 紹 之 。1. 多 元 函 數(shù) 的 梯 度( ) ( ) ( )( ) 1 2( ) ( ) ( )( ) , , , Tk k kk nf X f X f Xf X x x x ( 2-19) 函 數(shù) 的 梯 度 在 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 中 有 著 十 分 重 要 的 作 用 。 由 于 梯 度 是 一 個(gè) 向 量 , 而 梯 度 方 向 是 函 數(shù) 具 有 最 大 變 化率 的 方 向 。 亦 即 梯 度 方 向 是 指 函 數(shù) 的 最 速 上 升 方 向 , 而 負(fù) 梯度 方 向 則 為 函 數(shù) 的 最 速 下 降 方 向 。 如 圖 2-11所 示 。 ( )kX 圖 2-11 梯 度 方 向 與 等 值 線 的 關(guān) 系 已 知 一 n元 函 數(shù) , 則 該 函 數(shù) 在 點(diǎn) 的 所 有 二 階 偏 導(dǎo) 數(shù) 組 成 的矩 陣 , 稱 為 函 數(shù) 在 點(diǎn) 的 二 階 偏 導(dǎo) 數(shù) 矩 陣 或 海 森 (H essian)矩 陣 ,經(jīng) 常 記 作 。 該 二 階 偏 導(dǎo) 數(shù) 矩 陣 的 組 成 形 式 如 下 :2. 多 元 函 數(shù) 的 海 森 矩 陣 )(Xf ( )kX( )( )kH X 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )21 1 2 12 ( ) 2 ( ) 2 ( )( ) 2 ( ) 22 1 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )21 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k knk k kk k nk k kn n nf X f X f Xx x x x xf X f X f XH X f X x x x x xf X f X f Xx x x x x )(Xf ( )kX (2-21) 由 于 n元 函 數(shù) 的 偏 導(dǎo) 數(shù) 有 n n個(gè) , 而 且 偏 導(dǎo) 數(shù) 的 值 與 求 導(dǎo) 次 序 無(wú)關(guān) , 所 以 函 數(shù) 的 二 階 偏 導(dǎo) 數(shù) 矩 陣 是 一 個(gè) n n階 的 對(duì) 稱 矩 陣 。 海 森 矩 陣 在 判 別 多 元 函 數(shù) 極 值 的 充 分 條 件 以 及 在 牛 頓 法 構(gòu)造 牛 頓 搜 索 方 向 時(shí) 都 有 重 要 用 途 。( )( )kH X 2.3 一 維 優(yōu) 化 方 法 求 解 一 維 目 標(biāo) 函 數(shù) f(x)最 優(yōu) 解 的 過(guò) 程 , 稱 為 一 維 優(yōu) 化( 或 一 維 搜 索 ) , 所 使 用 的 方 法 稱 為 一 維 優(yōu) 化 方 法 。 一 維 優(yōu) 化 方 法 是 最 簡(jiǎn) 單 、 最 基 本 的 方 法 , 在 數(shù) 值 方 法 迭代 計(jì) 算 過(guò) 程 中 都 要 進(jìn) 行 一 維 搜 索 。 可 以 把 多 維 優(yōu) 化 問(wèn) 題 化 為 一 些 一 維 問(wèn) 題 來(lái) 處 理 。 求 解 優(yōu) 化 問(wèn) 題 的 迭 代 算 法 的 迭 代 公 式 為 : (k)值 被 稱 為 一 維 搜 索 的 最 優(yōu) 步 長(zhǎng) 。 kkkk SXX 1 kkkkk SXfSXf min 一 維 搜 索 方 法 一 般 分 兩 步 進(jìn) 行 : 首 先 在 方 向 S(k)上 確 定 一 個(gè) 包 含 函 數(shù) 極 小 點(diǎn) 的 初 始 區(qū)間 , 即 確 定 函 數(shù) 的 搜 索 區(qū) 間 , 該 區(qū) 間 必 須 是 單 峰 區(qū)間 ; 然 后 采 用 縮 小 區(qū) 間 或 插 值 逼 近 的 方 法 得 到 最 優(yōu) 步 長(zhǎng) ,即 求 出 該 搜 索 區(qū) 間 內(nèi) 的 最 優(yōu) 步 長(zhǎng) 和 一 維 極 小 點(diǎn) 。 一 維 搜 索 方 法 主 要 有 : 分 數(shù) 法

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