聊城大學(xué)《固體物理》第一章1第三節(jié)

上 節(jié) 回 顧 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院1、 晶 體 的 微 觀 描 述2、 晶 格 的 周 期 性3、 幾 種 常 見 晶 體 結(jié) 構(gòu) ： 晶 胞 、 原 胞 、 WS原 胞 等4、 晶 胞 體 積 計(jì) 算 、 致 密 度 及 其 計(jì) 算 、 配 位 數(shù) 等 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院1.4% C鋼 奧 氏 體加 熱 至 850 左 右 淬 火 馬 氏 體 思 考 1 晶 體 的 各 向 異 性 晶 向 指 數(shù)思 考 2 不 同 原 子 面 晶 面 指 數(shù)思 考 3 組 織 轉(zhuǎn) 變K -S 關(guān) 系 ： MAMA 111/110;110/111思 考 3結(jié) 構(gòu) 測 定 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院3） 晶 帶 及 晶 帶 軸 指 數(shù) 的 標(biāo) 定 本 節(jié) 重 點(diǎn)1） 晶 向 指 數(shù) 的 標(biāo) 定 ；2） 晶 面 指 數(shù) 的 標(biāo) 定 ； 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院通 過 晶 格 任 意 兩 格 點(diǎn) 作 一 直 線 ， 這 一直 線 稱 為 晶 列 。 兩 格 點(diǎn) 之 間 的 距 離 稱為 晶 列 的 周 期 。 1、 晶 列晶 體 的 一 個(gè) 基 本 特 點(diǎn) 是 具 有 方 向 性 ， 即 各 向 異 性 ， 沿 晶 格 的 不 同方 向 晶 體 性 質(zhì) 不 同 。如 果 一 平 行 直 線 族 把 格 點(diǎn) 包 括 無 遺 ，且 每 一 直 線 上 都 有 格 點(diǎn) ， 則 稱 這 些 直線 為 同 一 族 晶 列 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 晶 列 的 特 點(diǎn) ：1、 取 向 ；2、 晶 列 上 格 點(diǎn) 的 周 期 ；3、 相 鄰 晶 列 之 間 的 距 離 必 定 相 等 。2. 晶 向在 晶 格 中 ， 每 一 個(gè) 晶 列 定 義 了 一 個(gè) 方 向 ， 稱 為 晶 向 。利 用 晶 向 指 數(shù) 來 表 示 晶 向 。 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院4） 將 這 三 個(gè) 值 乘 以 公 倍 數(shù) ， 化 簡 為 最 小 整 數(shù) l1、 l2、 l3， 加 上方 括 號(hào) ， 則 l1 l2 l3即 為 AB晶 向 的 晶 向 指 數(shù) 。 晶 向 指 數(shù) 的 標(biāo) 定1） 以 晶 胞 的 某 一 陣 點(diǎn) 為 原 點(diǎn) ，三 個(gè) 基 矢 方 向 為 坐 標(biāo) 軸 ， 并 以 點(diǎn)陣 基 矢 的 長 度 分 別 作 為 三 個(gè) 坐 標(biāo)的 單 位 長 度 ；2） 過 原 點(diǎn) 做 一 直 線 ， 使 其 平 行 于 待 標(biāo) 定 的 晶 向 ， 且 方 向 一 致 ；3） 在 直 線 上 選 取 距 原 點(diǎn) 最 近 的 格 點(diǎn) ， 確 定 該 格 點(diǎn) 的 三 個(gè) 坐 標(biāo) 值 ；A B D第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 例 簡 單 立 方 結(jié) 構(gòu) 中 DC晶 向 指 數(shù)解 ： 在 紅 色 的 坐 標(biāo) 系 中 DC： 110 101在 藍(lán) 色 的 坐 標(biāo) 系 中 DC：3)晶 向 指 數(shù) 表 示 的 是 一 組 相 互 平 行 、 方 向 一 致 的 直 線 。 若 兩 直 線相 互 平 行 但 方 向 相 反 ， 則 它 們 的 晶 向 指 數(shù) 數(shù) 字 取 相 反 數(shù) 。注 意 ：1)當(dāng) 涉 及 到 負(fù) 的 指 數(shù) ， 按 慣 例 負(fù) 值 的 指 數(shù) 是 用 數(shù) 字 上 面 加 一 橫 ;2)建 立 不 同 的 坐 標(biāo) 系 ， 所 標(biāo) 定 的 晶 向 指 數(shù) 數(shù) 字 相 同 ， 為 了 比 較 ，坐 標(biāo) 系 只 移 動(dòng) ， 不 轉(zhuǎn) 動(dòng) 。 BA 1A 1B第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù)聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院晶 向 指 數(shù) 的 另 一 標(biāo) 定 方 法 -數(shù) 學(xué) 法確 定 了 原 點(diǎn) 和 三 個(gè) 基 矢 ， 然 后 確 定 所 要 標(biāo) 定 晶 向 兩 端 的 坐 標(biāo) 值 ，設(shè) 格 點(diǎn) A(x1， x2 ， x3)和 另 一 格 點(diǎn) B( x1， x2 ， x3)， 則 晶 向 AB的指 數(shù) 為 ： x1- x1， x2 - x2， x3- x3 （ 取 互 質(zhì) 整 數(shù) ）例 已 知 簡 單 立 方 結(jié) 構(gòu) 中 的 晶 格 常 數(shù) a，AA1=BB1= a/3， 試 確 定 BA的 晶 向 指 數(shù)解 ： A(1， 1， 2/3)和 B(0， 1， 1/3)， 則 BA的 指 數(shù) 為 1， 0， 1/3，乘 以 最 小 公 倍 數(shù) ， 得 到 BA的 晶 向 指 數(shù) 301 kcxxjbxxiaxxAB )()()( 332211而 表 示 晶 向 指 數(shù) 為 x1- x1， x2 - x2， x3- x3 的 方 向 矢 量 為 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 abcO A B CDE 例 ： 如 圖 在 立 方 體 中 ，D是 BC的 中 點(diǎn) ， 求 BE,AD的 晶 向 指 數(shù) 。 kcjbia ,iOB ,kjiOE kjOBOEBE 解 ： 1)晶 列 BE的 晶 向 指 數(shù) 為 ： 011,kOA ,jiOD 21 kjiOAODAD 21AD的 晶 向 指 數(shù) 為 : 221 2) 晶 向 (11-1)晶 向 11-1晶 向 (111)晶 向 111 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 3、 晶 向 族在 晶 向 的 標(biāo) 定 過 程 中 ， 可 以 發(fā) 現(xiàn) 在 立 方 結(jié)構(gòu) 中 ， 存 在 四 條 體 對(duì) 角 線 ， 八 個(gè) 不 同 晶 向111,111,111,111,111,111,111,111由 于 晶 體 的 對(duì) 稱 性 ， 這 一 組 晶 向 在 性 質(zhì) 上 是 等 同 的 ， 因 此 稱 性 質(zhì)相 同 的 晶 向 為 晶 向 族 （ 或 等 效 晶 向 ） ， 用 角 括 號(hào) 表 示 ： 例 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 4、 已 知 晶 向 標(biāo) 出 位 置例 已 知 在 簡 單 立 方 晶 格 中 如 下 的 晶 向 指 數(shù) ： 111， 101， 122， 標(biāo) 出 其 在 晶 體 結(jié) 構(gòu) 中 的 位 置 。解 ： 如 圖111 kjiR 111 101 kjiR 101 122 kjiR 221 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 5、 晶 面假 設(shè) 所 有 的 格 點(diǎn) 都 分 布 在 相 互 平 行 的 一 組平 面 上 （ 如 圖 ） ， 這 樣 的 平 面 稱 為 晶 面 。這 一 組 晶 面 平 行 等 距 ， 其 特 征 有 二 ：1） 晶 面 的 方 位 ， 2） 晶 面 的 間 距 。 所 謂 晶 面 的 方 位 就 是 說 在 具 體 討 論 晶 體 時(shí) ， 常 常 要 談 到 某 些具 體 晶 面 ， 因 此 ， 需 要 有 一 定 的 方 法 來 標(biāo) 志 不 同 的 晶 面 。 要 描 述 一 個(gè) 晶 面 的 方 位 ， 就 是 在 一 個(gè) 坐 標(biāo) 系 內(nèi) 表 示 出 該 平 面的 法 線 的 方 向 余 弦 ， 或 著 表 示 出 這 平 面 在 三 個(gè) 坐 標(biāo) 軸 上 的 截 距 。 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 A2A3O 2a3a 1a A1Nd n 如 圖 取 一 格 點(diǎn) 為 頂 點(diǎn) ， 原 胞 的 三 個(gè) 基 矢 為 坐 標(biāo) 系 的 三 個(gè) 軸 。321 , aaa 332211 , atOAasOAarOA 設(shè) ， 則 有n 設(shè) 某 一 晶 面 與 三 個(gè) 坐 標(biāo) 軸 分 別 交于 A1,A2,A3,設(shè) 晶 面 的 法 線 ON交 晶面 A1A2A3于 N， ON長 度 為 d， d為相 鄰 晶 面 間 的 距 離 ， 為 整 數(shù) ， 該晶 面 法 線 方 向 的 單 位 矢 量 用 表示 。 并 且 dnat dnas dnar 321 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 A2 A3O 2a3a 1a A1Nd ndnat dnas dnar 321 dn,aat dn,aas dn,aar 33 22 11coscoscos 321321 1:1:1,cos:,cos:,cos tasarananana 可 見 晶 面 的 法 線 方 向 與 三 個(gè) 坐 標(biāo) 軸 (基 矢 )的 夾 角 的 余 弦 之 比 ，等 于 晶 面 在 三 個(gè) 軸 上 的 截 距 的 倒 數(shù) 之 比 。 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 A2 A3O 2a3a 1a A1Nd na 1a3 a2A3 A2A1n 另 外 由 于 平 行 晶 面 把 格 點(diǎn) 包 括 無遺 ， 則 基 矢 末 端 的 格 點(diǎn) 必 定 落 在和 A1A2A3平 行 晶 面 上 。321 , aaa設(shè) 基 矢 末 端 分 別 落 在離 原 點(diǎn) 為 h1d、 h2d、 h3d的 晶 面 上 ，法 線 單 位 矢 量 為 n， 則 有 dh 1 dh2dh3dhna dhna dhna 33 22 11 dhnaa dhnaa dhnaa 333 222 111 ,cos ,cos ,cos 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 dhnaa dhnaa dhnaa 333 222 111 ,cos ,cos ,cos 332211321 :,cos:,cos:,cos ahahahnanana 321321 1:1:1,cos:,cos:,cos tasarananana 又 tsrhhh 1:1:1: 321 由 于 晶 體 結(jié) 構(gòu) 一 定 ， a1、 a2、 a3一 定 ， 可 見 ， 若 h1、 h2、 h3已 知 ，則 晶 面 法 線 矢 量 的 方 向 余 弦 ， 即 晶 面 的 方 位 就 確 定 了 。 因 此 可 用h1、 h2、 h3來 表 征 晶 面 方 位 。 稱 (h1h2h3)為 晶 面 指 數(shù) 。 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 因 為 h1、 h2、 h3為 整 數(shù) ， 所 以 r、 s、 t必 為 有 理 數(shù) 。 并 且 可 以 證 明 h1， h2， h3一 定 互 質(zhì) ， 稱 它 們 為 該 晶 面 族 的 面 指 數(shù) ， 記 為 (h1h2h3) 。綜 上 所 述 ， 晶 面 指 數(shù) (h1h2h3 )表 示 的 意 義 是 ；(1)基 矢 被 平 行 的 晶 面 等 間 距 的 分 割 成 h1、 h2、 h3 等 份 ；321 , aaa(2)以 為 各 軸 的 長 度 單 位 所 求 得 的 晶 面 在 坐 標(biāo) 軸 上 的 截 距倒 數(shù) 的 互 質(zhì) 比 ； 321 a,a,a(4)最 靠 近 原 點(diǎn) 的 晶 面 在 坐 標(biāo) 軸 上 的 截 距 分 別 為其 他 晶 面 的 截 距 為 這 組 最 小 截 距 的 整 數(shù) 倍 。 332211 , hahaha(3)晶 面 的 法 線 與 基 矢 夾 角 的 方 向 余 弦 的 比 值 。 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院4)將 求 得 h、 k、 l用 圓 括 號(hào) 括 起 來 ， 則 (hkl)即 為 該 晶 面 的 晶 面 指 數(shù) 。 總 上 ， 晶 面 指 數(shù) 的 標(biāo) 定 步 驟 如 下 ：1)以 晶 胞 的 某 一 陣 點(diǎn) 為 原 點(diǎn) (但 不 能 將 原 點(diǎn) 選 在 待 確 定 指 數(shù) 的 晶 面上 )， 三 個(gè) 基 矢 為 坐 標(biāo) 軸 ， 并 以 點(diǎn) 陣 基 矢 的 長 度 分 別 作 為 三 個(gè) 坐 標(biāo)的 單 位 長 度 ；2)以 點(diǎn) 陣 基 矢 的 長 度 為 單 位 ， 量 出 待 定 晶 面 在 各 坐 標(biāo) 軸 上 的 截 距 ;3)取 三 個(gè) 截 距 的 倒 數(shù) ， 并 以 最 小 公 倍 數(shù) 乘 以 這 三 個(gè) 倒 數(shù) ， 得 到 三個(gè) 最 小 的 整 數(shù) h、 k、 l，注 意 ： 1)若 晶 面 在 坐 標(biāo) 軸 上 截 距 為 負(fù) ， 則 在 相 應(yīng) 的 指 數(shù) 上 加 一 橫 ； 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院3)在 原 胞 基 矢 坐 標(biāo) 系 中 求 出 的 面 指 數(shù) 用 (h1h2h3)表 示 ； 而 在 晶 胞基 矢 坐 標(biāo) 系 求 出 的 面 指 數(shù) 用 (hkl)表 示 ， 稱 為 密 勒 指 數(shù) 。 二 者 是不 同 的 。 不 同 的 晶 體 結(jié) 構(gòu) ， 對(duì) 應(yīng) 關(guān) 系 是 不 同 的 。 2)平 行 晶 面 的 晶 面 指 數(shù) 相 同 ， 或 數(shù) 字 相 同 而 正 負(fù) 相 反 。應(yīng) 用 ： 1)已 知 晶 體 結(jié) 構(gòu) （ 晶 胞 ） ， 標(biāo) 出 某 一 晶 面 的 面 指 數(shù) ； 2)已 知 晶 體 結(jié) 構(gòu) 和 某 一 晶 面 的 面 指 數(shù) ， 在 晶 體 結(jié) 構(gòu) （ 晶 胞 ） 中標(biāo) 出 某 一 晶 面 ； 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 abcO A B CD E FG HI 例 2： 如 圖 所 示 ， I和 H分 別 為 BC， EF之 中 點(diǎn) ， 試 求 晶 面 AEG， ABCD，OEFG， DIHG的 密 勒 指 數(shù) 。cba AEG ABCD DIHG OEFG111 1 21abc在 三 個(gè) 坐 標(biāo)軸 上 的 截 距 解 答 1:1:1化 整 得 (hkl) (111) 11:1:1 (001) 1:11:21(120)取 倒 數(shù) 之 比 0 01:1:1 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 ABCDc b aE FG 例 3: 在 立 方 晶 系 中 畫 出 (210)、 晶 面 。)121(晶 面 在 三 個(gè) 坐 標(biāo) 軸 上 的 截 距 分 別 為 ：a b c21 1 (210)121( 1 21 1密 勒 指 數(shù) 是 (210) 的 晶 面 是 ABCD面 ；(121)密 勒 指 數(shù) 是 的 晶 面 是 EFG面 ； 解 答 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 在 晶 體 系 中 ， 某 些 晶 面 的 性 質(zhì) 是 相 同 的 ， 它 們 的 晶 面 指 數(shù) 數(shù) 字 相同 但 排 列 順 序 不 同 ， 這 些 晶 面 稱 為 同 一 晶 面 族 （ 或 等 效 晶 面 ） 。用 hkl表 示 。 如 100， 111等 。6、 晶 面 族 （ 等 效 晶 面 ） 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 例 、 證 明 ： 簡 單 立 方 晶 格 中 晶 向 hkl垂 直 于 晶 面 (hkl) zx yA C BO證 明 ： 設(shè) 晶 格 常 數(shù) 為 a， 晶 向 hkl的 方向 矢 量 可 以 寫 成 ： klajkaihaR 根 據(jù) 晶 面 密 勒 指 數(shù) 定 義 距 原 點(diǎn) 最 近 的 平 面ABC在 三 個(gè) 晶 軸 上 的 截 距 分 別 lakaha ,則 ABC平 面 中 的 兩 矢 量 AB 和 BC分 別 為)( ihajkaOAOBAB )( jkaklaOBOCBC 則 ABR )()( ihajkaklajkaiha 0 22 aaBCR )()( jkaklaklajkaiha 022 aa 所 以 簡 單立 方 晶 格中 晶 向 hkl垂 直 于 晶面 (hkl) zx yA C BO證 明 ： 對(duì) 于 正 交 系 ， 設(shè) 晶 格 常 數(shù) 為 a、 b、 c，晶 向 hkl的 方 向 矢 量 可 以 寫 成 ： klcjkbihaR 根 據(jù) 晶 面 密 勒 指 數(shù) 定 義 距 原 點(diǎn) 最 近 的 平 面ABC在 三 個(gè) 晶 軸 上 的 截 距 分 別 lckbha ,則 ABC平 面 中 的 兩 矢 量 AB 和 BC分 別 為)( ihajkbOAOBAB )( jkaklcOBOCBC 則 ABR )()( ihajkbklcjkbiha 0 22 abBCR )()( jkbklcklcjkbiha 022 bc 所 以 上 述 結(jié)論 只 適 合 立方 晶 系 和 三角 晶 系 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 7、 晶 帶 及 晶 帶 軸 （ 010）（ 100）（ 010） （ 110）001C晶 帶 軸如 圖 畫 有 陰 影 線 的 晶 面 都 屬 于 001晶 帶 軸 。同 一 晶 帶 中 各 晶 面 的 法 線 都 與 晶 帶 軸 垂 直 。相 交 于 同 一 直 線 或 平 行 于 同 一 直線 的 一 組 晶 面 組 成 一 個(gè) 晶 帶 。這 一 組 晶 面 叫 做 共 帶 面 ， 而 該 直 線(用 晶 向 指 數(shù) 表 示 )叫 做 晶 帶 軸 。注 意 ： 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院hu+kv+lw=0 晶 帶 定 理 晶 帶 軸 指 數(shù) 的 確 定 ： -用 到 晶 帶 定 理設(shè) 晶 帶 軸 的 晶 向 指 數(shù) 為 uvw， 由 矢 量 代 數(shù) 可 知 ， 該 晶 帶 中 任 一 晶面 (hkl)與 晶 帶 軸 指 數(shù) 間 具 有 如 下 關(guān) 系 ： 若 已 知 晶 帶 中 兩 個(gè) 晶 面 指 數(shù) 分 別 為 (h1k1l1)和 (h2k2l2)， 晶 帶 軸 的 晶 向指 數(shù) 為 uvw， 則 0 111 wlvkuh 0222 wlvkuh wvu :(k1l2-k2l1)： (l1h2-l2h1)： (h1k2-h2k1)適 合 所 有 晶 系 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 但 為 了 方 便 ， 一 般 采 用 交 叉 法 求 解 。 設(shè) 兩 個(gè) 非 平 行 晶 面 (h1k1l1)和(h2k2l2)， 它 們 的 晶 帶 軸 為 ： 222222 111111 lkhlkh lkhlkh去 掉 第 一 列 和 最 后 一 列 ， 得 到 三 個(gè) 二 介 行 列 式 ， 則 u： v： w=(k1l2-k2l1)： (l1h2-l2h1)： (h1k2-h2k1)由 此 得 出 在 立 方 晶 系 中 ， 任 意 三個(gè) 非 平 行 晶 面 (h 1k1l1)和 (h2k2l2)、(h3k3l3)屬 于 同 一 晶 帶 的 條 件 是 ： 0333 222 111 lkh lkh lkh 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 證 明 ： 若 任 意 三 個(gè) 非 平 行 晶 面 (h1k1l1)和 (h2k2l2)、 (h3k3l3)屬 于 同 一晶 帶 ， 設(shè) 晶 帶 軸 晶 向 指 數(shù) 為 u、 v、 w， 則 由 晶 帶 定 理 得 ： 000333 222 111 wlvkuh wlvkuh wlvkuh而 u、 v、 w有 非 零 解 的 條 件 為 0 333 222 111 lkh lkh lkh 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 根 據(jù) 晶 帶 軸 定 理 可 以 得 到 晶 面 指 數(shù) 標(biāo) 定 的 數(shù) 學(xué) 方 法AO BC D E例 、 已 知 如 圖 立 方 系 中 OA=4/5a, CD = a/2, BE=a/3， 試 標(biāo) 出 ABC的 晶 面 指 數(shù) 。解 答 ： 設(shè) ABC的 晶 面 指 數(shù) 為 (hkl)， ：該 法 線 垂 直 于 ABC晶 面 內(nèi) 的 所 有 直 線 ， 即 存 在 下 列 關(guān) 系 ： 0,0 ACR ABR則 該 面 的 法 線 矢 量 可 表 示 為klajkaihaR 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 由 矢 量 運(yùn) 算 可 以 得 到 矢 量 ：kajaiaAB 157 kaiaAC 103 AO BC D E根 據(jù) 交 叉 法 可 得 到 晶 面 指 數(shù) 為 ：30103010 7151571515 010 1515:103 157:30 715: lkh 150:25:45 所 以 （ hkl） 為 （ 9 5 30） 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 8、 晶 面 間 距 zx yA C BON正 交 系 ， 晶 面 ABC(hkl)為 離 原 點(diǎn) 最 近 的 晶 面 ，ON垂 直 晶 面 ABC， 三 個(gè) 基 矢 長 度 為 a， b， ccoshaONd coskbONd coslcONd ahdcos bkdcos cldcos 2222222 coscoscos clbkahd 第 四 節(jié) 晶 列 晶 向 指 數(shù) 與 晶 面 指 數(shù) 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 12222 clbkahd 222 1 clbkahd立 方 系 ， 三 個(gè) 基 矢 長 度 為 a 222 lkh ad