廈門大學(xué)《應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析》第07章因子分析

第 七 章 因 子 分 析第 一 節(jié) 引 言 第 二 節(jié) 因 子 分 析 模 型 第 三 節(jié) 因 子 載 荷 矩 陣 求 解 第 四 節(jié) 公 因 子 重 要 性 的 分 析 第 五 節(jié) 實(shí) 例 分 析 與 計(jì) 算 機(jī) 實(shí) 現(xiàn) 第 一 節(jié) 引 言n 一 般 認(rèn) 為 因 子 分 析 是 從 Charles Spearman在 1904年 發(fā) 表 的 文章 對(duì) 智 力 測 驗(yàn) 得 分 進(jìn) 行 統(tǒng) 計(jì) 分 析 開 始 ， 他 提 出 這 種 方 法用 來 解 決 智 力 測 驗(yàn) 得 分 的 統(tǒng) 計(jì) 方 法 。 目 前 因 子 分 析 在 心 理 學(xué) 、社 會(huì) 學(xué) 、 經(jīng) 濟(jì) 學(xué) 等 學(xué) 科 中 都 取 得 了 成 功 的 應(yīng) 用 ， 是 多 元 統(tǒng) 計(jì)分 析 中 典 型 方 法 之 一 。 n 因 子 分 析 (factor analysis)也 是 一 種 降 維 、 簡 化 數(shù) 據(jù) 的 技 術(shù) 。它 通 過 研 究 眾 多 變 量 之 間 的 內(nèi) 部 依 賴 關(guān) 系 ， 探 求 觀 測 數(shù) 據(jù) 中的 基 本 結(jié) 構(gòu) ， 并 用 少 數(shù) 幾 個(gè) “ 抽 象 ” 的 變 量 來 表 示 其 基 本 的數(shù) 據(jù) 結(jié) 構(gòu) 。 這 幾 個(gè) 抽 象 的 變 量 被 稱 作 “ 因 子 ” ， 能 反 映 原 來眾 多 變 量 的 主 要 信 息 。 原 始 的 變 量 是 可 觀 測 的 顯 在 變 量 ， 而因 子 一 般 是 不 可 觀 測 的 潛 在 變 量 。 n 例 如 ， 在 商 業(yè) 企 業(yè) 的 形 象 評(píng) 價(jià) 中 ， 消 費(fèi) 者 可 以 通 過 一 系 列 指標(biāo) 構(gòu) 成 的 一 個(gè) 評(píng) 價(jià) 指 標(biāo) 體 系 ， 評(píng) 價(jià) 百 貨 商 場 的 各 個(gè) 方 面 的 優(yōu)劣 。 但 消 費(fèi) 者 真 正 關(guān) 心 的 只 是 三 個(gè) 方 面 ： 商 店 的 環(huán) 境 、 商 店的 服 務(wù) 和 商 品 的 價(jià) 格 。 這 三 個(gè) 方 面 除 了 價(jià) 格 外 ， 商 店 的 環(huán) 境和 服 務(wù) 質(zhì) 量 ， 都 是 客 觀 存 在 的 、 抽 象 的 影 響 因 素 ， 都 不 便 于直 接 測 量 ， 只 能 通 過 其 它 具 體 指 標(biāo) 進(jìn) 行 間 接 反 映 。 因 子 分 析就 是 一 種 通 過 顯 在 變 量 測 評(píng) 潛 在 變 量 ， 通 過 具 體 指 標(biāo) 測 評(píng) 抽象 因 子 的 統(tǒng) 計(jì) 分 析 方 法 。 又 比 如 ， 在 研 究 區(qū) 域 社 會(huì) 經(jīng) 濟(jì) 發(fā) 展中 ， 描 述 社 會(huì) 與 經(jīng) 濟(jì) 現(xiàn) 象 的 指 標(biāo) 很 多 ， 過 多 的 指 標(biāo) 容 易 導(dǎo) 致分 析 過 程 復(fù) 雜 化 。 一 個(gè) 合 適 的 做 法 就 是 從 這 些 關(guān) 系 錯(cuò) 綜 復(fù) 雜的 社 會(huì) 經(jīng) 濟(jì) 指 標(biāo) 中 提 取 少 數(shù) 幾 個(gè) 主 要 因 子 ， 每 一 個(gè) 主 要 因 子都 能 反 映 相 互 依 賴 的 社 會(huì) 經(jīng) 濟(jì) 指 標(biāo) 間 共 同 作 用 ， 抓 住 這 些 主要 因 素 就 可 以 幫 助 我 們 對(duì) 復(fù) 雜 的 社 會(huì) 經(jīng) 濟(jì) 發(fā) 展 問 題 進(jìn) 行 深 入分 析 、 合 理 解 釋 和 正 確 評(píng) 價(jià) 。 n 因 子 分 析 的 內(nèi) 容 非 常 豐 富 ， 常 用 的 因 子 分 析 類 型 是 R型 因 子分 析 和 Q型 因 子 分 析 。 R型 的 因 子 分 析 是 對(duì) 變 量 作 因 子 分 析 ，Q型 因 子 分 析 是 對(duì) 樣 品 作 因 子 分 析 。 本 章 側(cè) 重 討 論 R型 因 子分 析 。 第 二 節(jié) 因 子 分 析 模 型一 因 子 分 析 的 數(shù) 學(xué) 模 型 二 因 子 載 荷 陣 的 統(tǒng) 計(jì) 意 義 一 、 因 子 分 析 的 數(shù) 學(xué) 模 型 n 無 論 是 R型 或 Q型 因 子 分 析 ， 都 用 公 共 因 子 F代 替 X， 一 般 要求 mp， m2時(shí) ， 我 們 可 以 逐 次 對(duì) 每 兩 個(gè) 公 共 因 子 和 進(jìn) 行 上 述 旋 轉(zhuǎn) 。對(duì) 公 因 子 Fl和 Fk進(jìn) 行 旋 轉(zhuǎn) ， 就 是 對(duì) A的 第 l和 k兩 列 進(jìn) 行 正 交變 換 ， 使 這 兩 列 元 素 平 方 的 相 對(duì) 方 差 之 和 達(dá) 到 最 大 ， 而 其 余各 列 不 變 ， 其 正 交 變 換 矩 陣 為 二 、 因 子 得 分n n 第 五 節(jié) 實(shí) 例 分 析 與 計(jì) 算 機(jī) 實(shí) 現(xiàn)一 利 用 SPSS進(jìn) 行 因 子 分 析 二 因 子 分 析 在 市 場 研 究 中 的 應(yīng) 用 一 、 利 用 SPSS進(jìn) 行 因 子 分 析n （ 一 ） 操 作 步 驟1. 在 SPSS窗 口 中 選 擇 AnalyzeData ReductionFactor， 調(diào)出 因 子 分 析 主 界 面 圖 (7.1)， 并 將 變 量 X1X13移 入 Variables框 中 。 圖 7.1 因 子 分 析 主 界 面 2. 點(diǎn) 擊 Descriptives按 鈕 ， 展 開 相 應(yīng) 對(duì) 話 框 ， 見 圖 7.2。 選 擇Initial solution復(fù) 選 項(xiàng) 。 這 個(gè) 選 項(xiàng) 給 出 各 因 子 的 特 征 值 、 各因 子 特 征 值 占 總 方 差 的 百 分 比 以 及 累 計(jì) 百 分 比 。 單 擊Continue按 鈕 ， 返 回 主 界 面 。 圖 7.2 Descriptives子 對(duì) 話 框 3. 點(diǎn) 擊 Extraction按 鈕 ， 設(shè) 置 因 子 提 取 的 選 項(xiàng) ， 見 圖 7.3。 在Method下 拉 列 表 中 選 擇 因 子 提 取 的 方 法 ， SPSS提 供 了 七 種提 取 方 法 可 供 選 擇 ， 一 般 選 擇 默 認(rèn) 選 項(xiàng) ， 即 “ 主 成 分 法 ” 。在 Analyze欄 中 指 定 用 于 提 取 因 子 的 分 析 矩 陣 ， 分 別 為 相 關(guān)矩 陣 和 協(xié) 方 差 矩 陣 。 在 Display欄 中 指 定 與 因 子 提 取 有 關(guān) 的輸 出 項(xiàng) ， 如 未 旋 轉(zhuǎn) 的 因 子 載 荷 陣 和 因 子 的 碎 石 圖 。 在Extract欄 中 指 定 因 子 提 取 的 數(shù) 目 ， 有 兩 種 設(shè) 置 方 法 ： 一 種是 在 Eigenvalues over后 的 框 中 設(shè) 置 提 取 的 因 子 對(duì) 應(yīng) 的 特 征值 的 范 圍 ， 系 統(tǒng) 默 認(rèn) 值 為 1， 即 要 求 提 取 那 些 特 征 值 大 于 1的因 子 ； 第 二 種 設(shè) 置 方 法 是 直 接 在 Number of factors后 的 矩 形框 中 輸 入 要 求 提 取 的 公 因 子 的 數(shù) 目 。 這 里 我 們 均 選 擇 系 統(tǒng) 默認(rèn) 選 項(xiàng) ， 單 擊 Continue按 鈕 ， 返 回 主 界 面 。 圖 7.3 Extraction子 對(duì) 話 框 4.點(diǎn) 擊 Rotation按 鈕 ， 設(shè) 置 因 子 旋 轉(zhuǎn) 的 方 法 。 這 里 選 擇Varimax(方 差 最 大 旋 轉(zhuǎn) )， 并 選 擇 Display欄 中 的 Rotated solution復(fù) 選 框 ， 在 輸 出 窗 口 中 顯 示 旋 轉(zhuǎn) 后 的 因 子 載 荷 陣 。單 擊 Continue按 鈕 ， 返 回 主 界 面 。 圖 7.4 Rotation子 對(duì) 話 框 5.點(diǎn) 擊 Scores按 鈕 ， 設(shè) 置 因 子 得 分 的 選 項(xiàng) 。 選 中 Save as variables復(fù) 選 框 ， 將 因 子 得 分 作 為 新 變 量 保 存 在 數(shù) 據(jù) 文 件 中 。選 中 Display factor score coefficient matrix復(fù) 選 框 ， 這 樣 在 結(jié)果 輸 出 窗 口 中 會(huì) 給 出 因 子 得 分 系 數(shù) 矩 陣 。 單 擊 Continue按 鈕返 回 主 界 面 。 6. 單 擊 OK按 鈕 ， 運(yùn) 行 因 子 分 析 過 程 。 圖 7.5 Scores子 對(duì) 話 框 （ 二 ） 主 要 運(yùn) 行 結(jié) 果 解 釋1. Communalities（ 給 出 變 量 共 同 度 ）變 量 共 同 度 反 映 每 個(gè) 變 量 對(duì) 所 提 取 的 所 有 公 共 因 子 的 依 賴 程 度 ，此 數(shù) 值 是 因 子 載 荷 陣 中 每 一 行 的 因 子 載 荷 量 的 平 方 和 ， 提 取 的因 子 個(gè) 數(shù) 不 同 ， 變 量 共 同 度 也 不 同 。2. Total Variance Explained（ 給 出 各 公 因 子 方 差 貢 獻(xiàn) 表 ）Initial Eigenvalues給 出 初 始 相 關(guān) 矩 陣 或 協(xié) 差 陣 矩 陣 的 特 征 值 ，用 于 確 定 哪 些 因 子 應(yīng) 該 被 提 取 ， 共 有 三 項(xiàng) ： Total列 為 各 因 子對(duì) 應(yīng) 的 特 征 值 ， 本 例 中 共 有 四 個(gè) 因 子 對(duì) 應(yīng) 的 特 征 值 大 于 1， 因此 應(yīng) 提 取 相 應(yīng) 的 四 個(gè) 公 因 子 ； % of Variance列 為 各 因 子 的 方 差貢 獻(xiàn) 率 ； Cumulative %列 為 各 因 子 的 累 積 方 差 貢 獻(xiàn) 率 ， 由 表7.1可 以 看 出 ， 前 四 個(gè) 因 子 已 經(jīng) 可 以 解 釋 89.651%的 方 差 。Rotation Sums of Squared Loadings給 出 提 取 出 的 公 因 子 經(jīng) 過旋 轉(zhuǎn) 后 的 方 差 貢 獻(xiàn) 情 況 。 表 7.1 特 征 根 與 方 差 貢 獻(xiàn) 率 表 表 7.2 旋 轉(zhuǎn) 前 因 子 載 荷 陣 表 7.3 旋 轉(zhuǎn) 后 因 子 載 荷 陣 Rotated Component Matrix 4.714E-02 .925 -.130 5.040E-02 .221 .950 5.080E-02 .104 .183 1.323E-02 .895 .152 .176 -4.567E-02 .880 .134 .174 .909 .109 .101 .724 .150 .470 .350 .236 .104 .166 .938 .232 .110 .157 .943 .843 3.187E-02 -.267 4.853E-02 .845 .157 .255 6.884E-02 .848 .214 .235 .254 .782 .163 .431 .387 .793 .193 .445 .302 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 1 2 3 4 Component 注 意 ： 在 因 子 表 達(dá) 式 中 的 各 變 量 為 進(jìn) 行 標(biāo) 準(zhǔn) 化 變 換 后 的 標(biāo) 準(zhǔn) 變量 ， 均 值 為 0， 標(biāo) 準(zhǔn) 差 為 1。7. 由 于 我 們 已 經(jīng) 在 Scores子 對(duì) 話 框 中 選 擇 了 Save as variables復(fù) 選 框 ， 因 此 ， 因 子 得 分 已 經(jīng) 作 為 新 的 變 量 保 存 在 數(shù) 據(jù) 文 件中 ， 變 量 名 分 別 為 fac1_1、 fac2_1、 fac3_1和 fac4_1。 此 后 ，我 們 還 可 以 利 用 因 子 得 分 進(jìn) 行 其 他 的 統(tǒng) 計(jì) 分 析 。 表 7.4 因 子 得 分 系 數(shù) 矩 陣 二 、 因 子 分 析 在 市 場 研 究 中 的 應(yīng) 用n 表 7.5是 研 究 消 費(fèi) 者 對(duì) 購 買 牙 膏 偏 好 的 調(diào) 查 數(shù) 據(jù) 。 通 過 市 場的 攔 截 訪 問 ， 用 7級(jí) 量 表 詢 問 受 訪 者 對(duì) 以 下 陳 述 的 認(rèn) 同 程 度（ 1表 示 非 常 不 同 意 ， 7表 示 非 常 同 意 ） 。V1： 購 買 預(yù) 防 蛀 牙 的 牙 膏 是 重 要 的 ；V2： 我 喜 歡 使 牙 齒 亮 澤 的 牙 膏 ；V3： 牙 膏 應(yīng) 當(dāng) 保 護(hù) 牙 齦 ；V4： 我 喜 歡 使 口 氣 清 新 的 牙 膏 ；V 5： 預(yù) 防 壞 牙 不 是 牙 膏 提 供 的 一 項(xiàng) 重 要 利 益 ；V6： 購 買 牙 膏 時(shí) 最 重 要 的 考 慮 是 富 有 魅 力 的 牙 齒 。 表 7.5 牙 膏 屬 性 評(píng) 分 得 分 表 n 將 表 7.5中 的 數(shù) 據(jù) 通 過 SPSS進(jìn) 行 因 子 分 析 ， 得 到 相 關(guān) 結(jié) 果 是 ：1. 特 征 根 和 累 計(jì) 貢 獻(xiàn) 率 表 7.6 方 差 貢 獻(xiàn) 率 表 從 表 7.6可 以 看 出 ， 提 取 兩 個(gè) 因 子 累 計(jì) 方 差 貢 獻(xiàn) 率 就 達(dá) 到 82%，第 三 個(gè) 特 征 根 相 比 下 降 較 快 ， 因 此 我 們 選 取 兩 個(gè) 公 共 因 子 。2.因 子 的 含 義為 了 得 到 意 義 明 確 的 因 子 含 義 ， 我 們 將 因 子 載 荷 陣 進(jìn) 行 方 差 最大 法 旋 轉(zhuǎn) ， 得 到 旋 轉(zhuǎn) 后 的 因 子 載 荷 矩 陣 如 下 表 7.7。 表 7.7 旋 轉(zhuǎn) 后 因 子 載 荷 矩 陣 n 從 因 子 載 荷 陣 可 以 看 出 ： 因 子 1與 V1（ 預(yù) 防 蛀 牙 ） ， V3（ 保護(hù) 牙 齦 ） ， V5（ 預(yù) 防 壞 牙 ） 相 關(guān) 性 強(qiáng) ， 其 中 V5的 載 荷 是 負(fù) 數(shù) ，是 由 于 這 個(gè) 陳 述 是 反 向 詢 問 的 ； 因 子 2與 V2（ 牙 齒 亮 澤 ） ，V4（ 口 氣 清 新 ） ， V6（ 富 有 魅 力 ） 的 相 關(guān) 系 數(shù) 相 對(duì) 較 高 。 因此 ， 我 們 命 名 因 子 1為 “ 護(hù) 牙 因 子 ” ， 是 人 們 對(duì) 牙 齒 的 保 健態(tài) 度 ； 因 子 2是 “ 美 牙 因 子 ” ， 說 明 人 們 “ 通 過 牙 膏 美 化牙 齒 影 響 社 交 活 動(dòng) ” 的 重 視 。 從 這 兩 方 面 分 析 ， 對(duì) 牙 膏 生產(chǎn) 企 業(yè) 開 發(fā) 新 產(chǎn) 品 都 富 有 啟 發(fā) 意 義 。 本 章 結(jié) 束