高考數(shù)學一輪總復習 第七章 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法課件.ppt

第七章 立體幾何與空間向量,第7節(jié) 立體幾何中的向量方法,1理解直線的方向向量與平面的法向量 2能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關系 3能用向量方法證明有關直線和平面位置關系的一些定理(包括三垂線定理). 4能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何中的應用 5能用向量法解決空間的距離問題,要點梳理 1用向量證明空間中的平行或垂直 (1)直線的方向向量：直線的方向向量就是指和這條直線所對應向量_(或共線)的向量，顯然一條直線的方向向量有_個 (2)若直線l，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面的法向量，顯然一個平面的法向量也有_個，它們是_向量,平行,無數(shù),無數(shù),共線,質(zhì)疑探究：在求平面法向量時，所列方程組中有三個變量，但只有兩個方程，如何處理？ 提示：給其中某一變量恰當賦值，求出該方程組的一組非零解，即可以作為平面法向量的坐標 (3)用向量證明空間中的平行關系 設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1l2(或l1與l2重合)v1v2. 設直線l的方向向量為v，與平面共面的兩個不共線向量v1和v2，則l或l存在兩個實數(shù)x，y使vxv1yv2.,設直線l的方向向量為v，平面的法向量為u，則l或l vu. 設平面和的法向量分別為u1，u2，則u1u2. (4)用向量證明空間中的垂直關系 設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1l2v1v2v1·v20. 設直線l的方向向量為v，平面的法向量為u，則lvu. 設平面和的法向量分別為u1和u2，則u1u2u1·u20.,2用向量計算空間角和距離 空間向量與空間角的關系 (1)設異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2所成的角滿足cos |cosm1，m2|. (2)設直線l的方向向量和平面的法向量分別為m，n，則直線l與平面所成角滿足sin |cosm1，m2|.,b如圖，n1，n2分別是二面角­l­的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小滿足cos cosn1，n2或cosn1，n2 c點面距的求法,基礎自測 1(2015·西安模擬)若直線l的方向向量為a(1，1,2)，平面的法向量為u(2,2，4)，則( ) Al Bl Cl Dl與斜交 解析 因為直線l的方向向量a(1，1,2)與平面的法向量u(2,2，4)共線，則說明了直線與平面垂直 答案 B,2設平面的法向量為(1,2，2)，平面的法向量為(2，4，k)，若，則k等于( ) A2 B4 C4 D2,3如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線NO、AM的位置關系是( ) A平行 B相交 C異面垂直 D異面不垂直,答案 C,4在長方體ABCD­A1B1C1D1中，AB2，BCAA11，則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為_,5在四面體PABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，設PAPBPCa，則點P到平面ABC的距離為_,解析 根據(jù)題意，可建立如圖所示的空間直角坐標系Pxyz，則P(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a) 過點P作PH平面ABC，交平面ABC于點H，則PH的長即為點P到平面ABC的距離,典例透析 考向一 用向量證明垂直或求異面直線所成的角 例1 (2015·湖北省八校聯(lián)考)如圖，直三棱柱ABCABC的側棱長為3，ABBC，且ABBC3，點E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點，且AEBF.,(1)求證：無論E在何處，總有BCCE； (2)當三棱錐BEBF的體積取得最大值時，求異面直線AF與AC所成角的余弦值,思路點撥 (1)借助于線面關系證明BC面ABC，從而可證BCCE.當VBEBF為最大值確定E(F)的位置，解三角形求角的余弦值 (2)以B為原點建系，用向量求解 (法一)(1) 證明：由題意知，四邊形BBCC是正方形，連接AC，BC，則BCBC.,又ABBC，BBAB， AB平面BBCC. BCAB，BC平面ABC. 又CE平面ABC，BCCE.,活學活用1 (2015·鄭州第一次質(zhì)檢)如圖，正方形ADEF和等腰梯形ABCD垂直，已知BC2AD4，ABC60°，BFAC. (1)求證：AC平面ABF； (2)求異面直線BE與AC所成的角的余弦值 (1)證明 因為平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD， AFAD，AF平面ADEF，所以AF平面ABCD. 故AFAC，又BFAC，AFBFF，所以AC平面ABF.,(2)解：由(1)得AF，AB，AC兩兩垂直，則以A點為坐標原點，,思路點撥 立體幾何題目一般有兩種思路：傳統(tǒng)法和向量法傳統(tǒng)法是借助立體幾何中的相關定義、定理，通過邏輯推理證明來完成(1)要證明線面平行，根據(jù)判定定理可通過證明線線平行來實現(xiàn)；(2)求二面角要先找到或作出二面角的平面角，再通過解三角形求解向量法則是通過建立空間直角坐標系，求出相關的坐標，利用向量的計算完成證明或求解直線一般求其方向向量，平面一般求其法向量(1)只要說明直線的方向向量與對應平面的法向量垂直即可；(2)二面角的大小即為兩個平面的法向量的夾角或其補角,圖(1),圖(2),拓展提高 本題法一采用了傳統(tǒng)法，在第二問中要作出CBMD的平面角，這里采用了棱BM的垂面(面CGH)法，作、證、算于一體二面角的做法一直是個難點，不如建系用向量方法求簡單，如方法二,活學活用2 (2014·四川高考) 三棱錐A ­ BCD及其側視圖、俯視圖如圖所示設M，N分別為線段AD，AB的中點，P為線段BC上的點，且MNNP.,(1)證明：P是線段BC的中點； (2)求二面角A ­ NP ­ M的余弦值 (1)證明 如圖所示，取BD的中點O，連接AO，CO. 由側視圖及俯視圖知，ABD，BCD為正三角形，所以AOBD，OCBD. 因為AO，OC平面AOC，且AOOCO，所以BD平面AOC.,考向三 用向量求線面角 例3 (2014·福建高考) 在平面四邊形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.將ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如圖所示 (1)求證：ABCD； (2)若M為AD中點，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值 思路點撥 (1)轉化為證明AB平面BCD；(2)利用坐標法,(1)證明 平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD. 又CD平面BCD，ABCD. (2) 解：過點B在平面BCD內(nèi)作BEBD.,活學活用3 (2015·東北三校模擬)如圖，四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，PDDC2AD，ADDC，BCD45°. (1)設PD中點為M，求證：AM平面PBC； (2)求PA與平面PBC所成角的正弦值,活學活用4 (2015·天津南開調(diào)研)在直三棱柱中，AA1ABBC3，AC2，D是AC的中點 (1)求證：B1C平面A1BD； (2)求點B1到平面A1BD的距離,規(guī)范答題7 向量法求空間角 典例 (本小題滿分12分)如圖，已知在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA11，直線BD與平面AA1B1B所成的角為30°，AE垂直BD于點E，F(xiàn)為A1B1的中點 (1)求異面直線AE與BF所成角的余弦值； (2)求平面BDF與平面AA1B所成二面 角(銳角)的余弦值.,審題視角 (1)研究的幾何體為長方體，AB2，AA11. (2)所求的是異面直線所成的角和二面角 (3)可考慮用空間向量法求解 滿分展示 解 (1)以A為坐標原點，以AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系(如圖所示)(2分),【答題模板】 利用向量求空間角的步驟： 第一步：建立空間直角坐標系 第二步：確定點的坐標 第三步：求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標 第四步：計算向量的夾角(或函數(shù)值) 第五步：將向量夾角轉化為所求的空間角 第六步：反思回顧查看關鍵點、易錯點和答題規(guī)范,提醒：(1)利用向量求角是高考的熱點，幾乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用 (2)本題易錯點是在建立坐標系時不能明確指出坐標原點和坐標軸，導致建系不規(guī)范 (3)將向量的夾角轉化成空間角時，要注意根據(jù)角的概念和圖形特征進行轉化，否則易錯,思維升華 【方法與技巧】,1用向量知識證明立體幾何問題有兩種基本思路：一種是用向量表示幾何量，利用向量的運算進行判斷；另一種是用向量的坐標表示幾何量，共分三步：(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量(或坐標)表示問題中所涉及的點、線、面，把立體幾何問題轉化為向量問題；(2)通過向量運算，研究點、線、面之間的位置關系；(3)根據(jù)運算結果的幾何意義來解釋相關問題,2利用向量求角，各類角都可以轉化為向量的夾角來運算 (1)求兩異面直線a、b的夾角，須求出它們的方向向量a，b的夾角，則cos |cosa，b|. (2)求直線l與平面所成的角 可先求出平面的法向量n與直線l的方向向量a的夾角則sin |cosn，a|. (3)求二面角l的大小，可先求出兩個平面的法向量n1，n2所成的角，則n1，n2或n1，n2 3求點到平面的距離，若用向量知識，則離不開以該點為端點的平面的斜線段,【失誤與防范】,1用向量知識證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何中的定理如要證明線面平行，只需要證明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，即化歸為證明線線平行，用向量方法證明直線ab，只需證明向量ab(R)即可若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行，仍需強調(diào)直線在平面外,2利用向量求角，一定要注意將向量夾角轉化為各空間角因為向量夾角與各空間角的定義、范圍不同 3求點到平面的距離，有時利用等積法求解可能更方便 4求二面角要根據(jù)圖形確定所求角是銳角還是鈍角,