控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與仿真MATLAB控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與仿真教學(xué)

第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真第4章 控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與仿真 4.1 系統(tǒng)建模與仿真框圖的創(chuàng)建4.2 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)4.3 控制系統(tǒng)的時(shí)域仿真4.4 實(shí)例:倒擺系統(tǒng)的建模與仿真 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真4.1 系統(tǒng)建模與仿真框圖的創(chuàng)建 4.1.1 問(wèn)題描述 眾所周知,現(xiàn)實(shí)世界中存在著各種不同的控制系統(tǒng)。對(duì)于線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng),一般可以分為連續(xù)和離散系統(tǒng)。MATLAB中為用戶提供了豐富的針對(duì)各種系統(tǒng)的建模手段。圖4.1顯示了MATLAB中各種線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 圖4.1 連續(xù)與離散系統(tǒng)的關(guān)系示意圖 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 圖4.1中顯示了MATLAB可以完成離散和連續(xù)系統(tǒng)的建模,并且同一系統(tǒng)可以表示成連續(xù)系統(tǒng),也可以表示成離散系統(tǒng),它們之間可以以狀態(tài)方程形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化。這一節(jié)將結(jié)合一個(gè)具體實(shí)例來(lái)演示MATLAB中各種模型創(chuàng)建和相互之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化的方法,以及如何用Simulink進(jìn)行連續(xù)系統(tǒng)的仿真。首先給出實(shí)例的源程序MODLDEMO.M,然后根據(jù)不同的主題結(jié)合實(shí)例進(jìn)行講述。 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 例4.1 對(duì)于Mass Spring Dashpot機(jī)械系統(tǒng)： . .( ) ( ) ( )m y t c y ky t u t (4.1) 試建立該系統(tǒng)的連續(xù)和離散模型,并進(jìn)行時(shí)域和頻域仿真。 解：程序源代碼如下： %MODLDEMO.M 演示各種建模與仿真（時(shí)域和頻域）技巧 clearall,closeall %程序開(kāi)始,清空工作空間,關(guān)閉所有窗口 deletemodldemo.out,diarymodldemo.out %打開(kāi)二進(jìn)制文件 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真disp(*MODLDEMO.OUT*DiaryFileforMODLDEMO.M),disp()m=1 %各種系統(tǒng)常數(shù)定義k=1 %單位kg/s2c=2.02.51.20.0 %單位kg/s 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真%創(chuàng)建系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型disp(StateSpaceModels)km=k/m;A1=01;-km-c(1)/m,A2=01;-km-c(2)/mA3=01;-km-c(3)/m,A4=01;-km-c(4)/mB=01/m,C=10,D=0sys1s=ss(A1,B,C,D);sys2s=ss(A2,B,C,D);sys3s=ss(A3,B,C,D);sys4s=ss(A4,B,C,D); 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真%仿真系統(tǒng)的脈沖和階躍響應(yīng)（時(shí)域）t=0:.2:15;y1=impulse(sys1s,t);y2=impulse(sys2s,t);y3=impulse(sys3s,t);y4=impulse(sys4s,t);figure(1)subplot(221),plot(t,y1,r),title(CriticalDampingImpulse),gridxlabel(Time),ylabel(SystemResponse)subplot(222),plot(t,y2,r),title(OverDampingImpulse),gridxlabel(Time),ylabel(SystemResponse) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真subplot(223),plot(t,y3,r),title(UnderDampingImpulse),gridxlabel(Time),ylabel(SystemResponse)subplot(224),plot(t,y4,r),title(NoDampingImpulse),grid xlabel(Time),ylabel(SystemResponse) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真%y1=step(sys1s,t);y2=step(sys2s,t);y3=step(sys3s,t);y4=step(sys4s,t);figure(2)subplot(221),plot(t,y1,r),title(CriticalDampingStep),gridxlabel(Time),ylabel(SystemResponse)subplot(222),plot(t,y2,r),title(OverDampingStep),grid 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真xlabel(Time),ylabel(SystemResponse)subplot(223),plot(t,y3,r),title(UnderDampingStep),grid xlabel(Time),ylabel(SystemResponse)subplot(224),plot(t,y4,r),title(NoDampingStep),gridxlabel(Time),ylabel(SystemResponse)disp(hitanykeytocontinue),pause 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真%在Matlab中進(jìn)行模型轉(zhuǎn)化。對(duì)于m=k=1,系統(tǒng)簡(jiǎn)化的傳遞函數(shù)為%G(s)=1/s2+cs+1=z(s)/p(s)disp(TransferFunctionForm)sys1t=tf(sys1s),sys2t=tf(sys2s)sys3t=tf(sys3s),sys4t=tf(sys4s)disp(hitanykeytocontinue),pause 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真%將傳遞函數(shù)形式轉(zhuǎn)化成零極點(diǎn)形式disp(ZeroPoleGainForm)sys1z=zpk(sys1t),sys2z=zpk(sys2t)sys3z=zpk(sys3t),sys4z=zpk(sys4t)disp(hitanykeytocontinue),pause%演示留數(shù)定理的使用disp(ResidueForm)n1,d1=tfdata(sys1t);n2,d2=tfdata(sys2t);n3,d3=tfdata(sys3t);n4,d4=tfdata(sys4t); 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真%注意tfdata命令定義元胞數(shù)組%將元胞數(shù)組轉(zhuǎn)化成向量形式n1=n11,d1=d11,n2=n21,d2=d21,n3=n31,d3=d31,n4=n41,d4=d41,%使用留數(shù)定理r1,pr1,kr=residue(n1,d1),r2,pr2,kr=residue(n2,d2)r3,pr3,kr=residue(n3,d3),r4,pr4,kr=residue(n4,d4)disp(hitanykeytocontinue),pause 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 %進(jìn)行頻域仿真,這里使用nyquist函數(shù)（參考bode,freqs等函數(shù)）w=logspace(-2,2,100);re,im=nyquist(sys1s,w);%SS形式re1(:,1)=re(1,1,:);im1(:,1)=im(1,1,:);g1=re1+i*im1;mag1=20*log10(abs(g1);phase1=angle(g1)*180/pi;re,im=nyquist(sys2s,w);%SS形式re2(:,1)=re(1,1,:);im2(:,1)=im(1,1,:);g2=re2+i*im2;mag2=20*log10(abs(g2);phase2=angle(g2)*180/pi;re,im=nyquist(sys3t,w);%TF形式 re3(:,1)=re(1,1,:);im3(:,1)=im(1,1,:);g3=re3+i*im3; 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真mag3=20*log10(abs(g3);phase3=angle(g3)*180/pi;re,im=nyquist(sys4t,w);%TF形式re4(:,1)=re(1,1,:);im4(:,1)=im(1,1,:);g4=re4+i*im4;mag4=20*log10(abs(g4);phase4=angle(g4)*180/pi;%幅值曲線figure(3)subplot(221),semilogx(w,mag1,r),title(CriticalDamping),xlabel(frequency),ylabel(|G(jw)|indb)subplot(222),semilogx(w,mag2,r),title(OverDamping), xlabel(frequency),ylabel(|G(jw)|indb) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真subplot(223),semilogx(w,mag3,r),title(UnderDamping),xlabel(frequency),ylabel(|G(jw)|indb)subplot(224),semilogx(w,mag4,r),title(NoDamping),xlabel(frequency),ylabel(|G(jw)|indb)disp(hitanykeytocontinue),pause%頻率曲線figure(4)subplot(221),semilogx(w,phase1,r),title(CriticalDamping),xlabel(frequency),ylabel(angle) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真subplot(222),semilogx(w,phase2,r),title(OverDamping),xlabel(frequency),ylabel(angle)subplot(223),semilogx(w,phase3,r),title(UnderDamping),xlabel(frequency),ylabel(angle)subplot(224),semilogx(w,phase4,r),title(NoDamping),xlabel(frequency),ylabel(angle) disp(hitanykeytocontinue),pause 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真%繪制系統(tǒng)Nichols圖（對(duì)數(shù)坐標(biāo)形式）figure(5)subplot(221),plot(phase1,mag1,r+),title(CriticalDamping),xlabel(angle),ylabel(|G(jw)|indb),gtext(w=0)subplot(222),plot(phase2,mag2,r+),title(OverDamping),xlabel(angle),ylabel(|G(jw)|indb),gtext(w=0) subplot(223),plot(phase3,mag3,r+),title(UnderDamping), 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真xlabel(angle),ylabel(|G(jw)|indb),gtext(w=0)subplot(224),plot(phase4,mag4,r+),title(NoDamping),xlabel(angle),ylabel(|G(jw)|indb),gtext(w=0)disp(hitanykeytocontinue),pause 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真%繪制Nyquist圖(實(shí)部-虛部形式)figure(6)subplot(221),plot(re1,im1,r+),title(CriticalDamping),xlabel(Real),ylabel(Imag),gtext(w=0)subplot(222),plot(re2,im2,r+),title(OverDamping),xlabel(Real),ylabel(Imag), gtext(w=0) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真subplot(223),plot(re3,im3,r+),title(UnderDamping),xlabel(Real),ylabel(Imag),gtext(w=0)subplot(224),plot(re4,im4,r+),title(NoDamping),xlabel(Real),ylabel(Imag),gtext(w=0)disp(hitanykeytocontinue),pause 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真%直接使用Nyquist函數(shù)繪制Nyquist圖figure(7)subplot(2,2,1),nyquist(sys1s,w),title(CriticalDamping),subplot(2,2,2),nyquist(sys2s,w),title(OverDamping),subplot(2,2,3),nyquist(sys3s,w),title(UnderDamping), 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真subplot(2,2,4),nyquist(sys4s,w),title(NoDamping),disp(hitanykeytocontinue),disp(hitcntrl-ctogetoutofthefileforinteractiveanalysis),pause%使用Simulink框圖（文件名為mdemosl.mdl,如圖4.2所示）進(jìn)行仿真clearall%清空所有內(nèi)存 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真m=1,k=1,c=1.2%定義常數(shù)disp(DatafromgraphicalSimulinkmodel)%計(jì)算線性化模型A,B,C,D=linmod(mdemosl),syss=ss(A,B,C,D);sysz1=zpk(syss),syssm=minreal(syss),sysz2=zpk(syssm)diaryoff%關(guān)閉二進(jìn)制文件 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 圖4.2 Mass Spring Dashpot系統(tǒng)仿真框圖 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 4.1.2 物理模型 例4.1 中研究的對(duì)象是一個(gè)簡(jiǎn)單的物質(zhì)交換機(jī)械系統(tǒng),可以用微分方程表示成2 2 ( ) ( ) ( ) ( )d dm y t c y t ky t u tdt dt (4.2) 其中,y(t)是系統(tǒng)的瞬時(shí)交換的質(zhì)量,k和c分別為比例常數(shù)。如果取狀態(tài)變量x1=y和x2=dy/dt,則可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程形式： 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 可以看出,矩陣A、B、C和D可以看成LTI系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)方程形式,于是式（4.3）可以寫(xiě)成1 12 2120 1 0 ( )/ / 1/( ) 1 0 x xd u tx k m c m x mdt xy t x (4.3) d X AX BUdtY CX DU 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 4.1.3 時(shí)域仿真 一般對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域仿真可以采用impulse、step和lsim函數(shù),這些函數(shù)用來(lái)處理系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。例如,對(duì)于輸入信號(hào)u(t),系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)仿真可表示成 sys=ss(A,B,C,D) Y,T,X=lsim(sys,U,t,xo) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 當(dāng)然,這些函數(shù)也可以處理系統(tǒng)的頻域表達(dá)形式,這時(shí),LTI系統(tǒng)可以通過(guò)下式表示 sys=tf(num,den) 作為一個(gè)典型的例子,例4.1使用了impulse和step函數(shù)來(lái)仿真系統(tǒng)的時(shí)域特性。圖4.3和圖4.4分別為例4.1執(zhí)行的仿真結(jié)果。 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 圖4.3 典型二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)曲線 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 圖4.4 典型二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 4.1.4 模型轉(zhuǎn)換 LTI系統(tǒng)的頻域描述可以用傳遞函數(shù)表示為 Y(s)=G(s)U(s) (4.5) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為 1( ) G s C sI A B D (4.6) 對(duì)于例4.1研究的簡(jiǎn)單SISO機(jī)械系統(tǒng),其傳遞函數(shù)可以寫(xiě)成簡(jiǎn)單的標(biāo)量形式 2 1( ) mG s c ks sm m (4.7) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 但是對(duì)于多輸入多輸出（MIMO）系統(tǒng)而言,其傳遞函數(shù)描述就有些復(fù)雜了,這時(shí)MATLAB中的模型轉(zhuǎn)換函數(shù)可以發(fā)揮作用,它可以完成系統(tǒng)在狀態(tài)方程形式與傳遞函數(shù)形式之間的互換,同時(shí)也可以將傳遞函數(shù)形式轉(zhuǎn)換成零極點(diǎn)-增益形式。相關(guān)的函數(shù)包括 sys1=ss(A,B,C,D) sys2=tf(sys1) sys3=zpk(sys2) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 我們也可以采用ssdata、tfdata和zpkdata等命令將存儲(chǔ)在與一個(gè)指定LTI對(duì)象相聯(lián)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的信息抽取出來(lái)。例如 num,den=tfdata(sys2) 返回LTI對(duì)象sys2的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù),num與den為相應(yīng)的元胞數(shù)組,其行數(shù)為輸出的維數(shù),列數(shù)等于輸入的維數(shù)。其中第i行第j列元素表示從第j個(gè)輸入到第i個(gè)輸出的傳遞函數(shù)。 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 另一種從數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中得到元胞數(shù)組的方法是使用MATLAB的celldisp命令。簡(jiǎn)單的顯示數(shù)據(jù)的信息,可以使用如下的命令: fieldnames(sys2) num1=sys2.num,den1=sys2.den celldisp(num1),celldisp(den1) 也可以對(duì)零極點(diǎn)-增益形式完成顯示的操作。例如 Z,P,K=zpkdata(sys3) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 將獲取LTI系統(tǒng)sys3每一個(gè)IO通道的零極點(diǎn)和增益大小。元胞數(shù)組Z、P和矩陣K 的行與列分別與輸出和輸入的維數(shù)相同。其中第i行第j列元素表示從第j個(gè)輸入到第i個(gè)輸出傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)和增益。 對(duì)于單輸入單輸出（SISO）系統(tǒng),其傳遞函數(shù)與零極點(diǎn)-增益形式可以簡(jiǎn)化成普通的分?jǐn)?shù)形式，即 1 21 2 3( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )num s s z s zG s Kden s s p s p s p (4.8) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 4.1.5 留數(shù)定理 我們也可以將系統(tǒng)寫(xiě)成幾個(gè)分?jǐn)?shù)相加的形式,例如對(duì)于SISO的機(jī)械系統(tǒng),G(s)可以寫(xiě)成 1 12 1 221,2 1( )( ) ( )( ) 42B s r rmG s k sc kA s s p s ps sm mc c mkp m (4.9)(4.10) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 r1,r2可以通過(guò)各種不同的方法計(jì)算得到。對(duì)于上述問(wèn)題,MATLAB可用residue函數(shù)來(lái)完成這一運(yùn)算，即 r,p,k=residue(B,A) 其中B和A 為包含多項(xiàng)式系數(shù)的行向量,而r和p 是包含留數(shù)和極點(diǎn)的列向量。如果B(s)比A(s)的維數(shù)大,則k(s)不為零。 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 4.1.6 頻域仿真 系統(tǒng)的頻域仿真在概念上是非常直觀的,但是計(jì)算起來(lái)常常比較復(fù)雜。作為練習(xí),讀者可以針對(duì)不同的值,計(jì)算下面的表達(dá)式 G(j)=CjI-A-1 B+D (4.11) 然后通常采用下列三種方法來(lái)繪制頻域曲線：Bode圖、Nichols圖和Nyquist曲線。 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 MATLAB中的一些函數(shù)用來(lái)獲取系統(tǒng)的頻域信號(hào)。首先必須產(chǎn)生一個(gè)頻率的向量。采樣點(diǎn)的坐標(biāo)通常采用對(duì)數(shù)形式,即從10d1到10d2共n個(gè)點(diǎn),可以通過(guò)下面的命令來(lái)完成: w=logspace(d1,d2,n) bode和nyquist函數(shù)可以用來(lái)計(jì)算每一個(gè)頻率所對(duì)應(yīng)的G(j)，即 MAG,PHASE=bode(sys,w) RE,IM=nyquist(sys,w) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 圖4.5典型二階系統(tǒng)的Bode幅值曲線 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 圖4.6 典型二階系統(tǒng)的Bode頻率曲線 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 圖 4.7 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 圖 4.8 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 4.1.7 仿真框圖及系統(tǒng)建立 許多設(shè)計(jì)系統(tǒng)都可以由一些基本的組件和框圖中的反饋回路組成。在有些情況下,尋找系統(tǒng)的等價(jià)描述和相應(yīng)的狀態(tài)空間矩陣是比較困難的。幸運(yùn)的是,我們可以借助MATLAB從系統(tǒng)的Simulink仿真框圖直接建立它的狀態(tài)空間描述。這些工作可以通過(guò)MATLAB中的控制工具箱或Simulink的圖形仿真界面來(lái)完成。 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 為了演示這一過(guò)程,同樣考慮一下例4.1所述的簡(jiǎn)單機(jī)械系統(tǒng)。首先建立該系統(tǒng)的Simulink仿真框圖,然后自動(dòng)創(chuàng)建原系統(tǒng)的狀態(tài)空間和整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)形式。下面將狀態(tài)方程展開(kāi),并且進(jìn)行Laplace變換 1 2 1 22 1 22 1 1( ) ( )11( ) ( ) ( )d x x X s X sdt sd k cx x x udt m m mkm mX s X s U sc cs sm m (4.12) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 上述拉普拉斯變換可以對(duì)應(yīng)于如圖4.10所示的基本模塊。 現(xiàn)在將這些模塊連接起來(lái),定義輸出為Y(s)=X1(s),最后得到如圖4.2所示的仿真框圖。下面我們可以使用linmod函數(shù)來(lái)計(jì)算LTI系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣： A,B,C,D=linmod(mdemosl) 計(jì)算的結(jié)果與前面得到的結(jié)果一致。 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 圖4.9 MATLAB計(jì)算產(chǎn)生的典型二階系統(tǒng)的Nyquist曲線 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 圖4.10 Laplace變換下的基本模塊 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真4.2 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì) 在經(jīng)典控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中通常以線性系統(tǒng)模型為研究對(duì)象。對(duì)于一個(gè)線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng),其狀態(tài)方程可以描述為d X AX Bdt y CX (4.13) (4.14) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 這里已經(jīng)假定系統(tǒng)的輸出沒(méi)有顯式地包含輸入變量u（即D=0）。系統(tǒng)（4.14）也可以表示為傳遞函數(shù)形式： Y(s)=G(s)U(s)G(s)=C(sI-A)-1B (4.15) 一個(gè)LTI系統(tǒng)的控制系統(tǒng)方框圖如圖4.11所示。 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真圖4.11 系統(tǒng)的線性狀態(tài)方程模型 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 4.2.1 經(jīng)典比例控制器 在經(jīng)典控制系統(tǒng)的例子中,首先來(lái)看一下圖4.12所示的一個(gè)簡(jiǎn)單的閉環(huán)系統(tǒng)。對(duì)于一個(gè)SISO系統(tǒng)而言,系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)僅僅是式（4.15）所示的標(biāo)量函數(shù),該傳遞函數(shù)嵌入在圖4.12所示的方框圖中。 反饋回路包含傳感器傳遞函數(shù)H(s),而控制器部分只有簡(jiǎn)單的增益環(huán)節(jié)K c組成,rd是閉環(huán)系統(tǒng)期望的響應(yīng)或參考點(diǎn)。 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 圖4.12 SISO系統(tǒng)的經(jīng)典比例控制器框圖 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 圖4.12所示閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以寫(xiě)成( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( )c c dc d c dcY s G s K E s G s K R s H s Y sK G sY s R s G s R sK G s H s (4.16) 其中,Gc(s)為閉環(huán)傳遞函數(shù),Kc是經(jīng)典比例增益。對(duì)于單位反饋情況有H(s)=1,Gc(s)可以簡(jiǎn)化為( )( ) 1 ( ) cc cK G sG s K G s (4.17) 下面是標(biāo)量輸入函數(shù)的時(shí)域表示 u(t)=Kc(rd(t)-y(t)=Kc(rd(t)-CTX(t) (4.18) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 從而式（4.14）可以寫(xiě)成( )T Tc d c c c dd X AX K Br K BC X A K BC X K Brdt (4.19) 這里的參考點(diǎn)rd成為系統(tǒng)的一個(gè)獨(dú)立輸入變量。 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 既然控制器只有唯一的參數(shù)Kc需要確定,因此該系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)比較簡(jiǎn)單。閉環(huán)系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)由狀態(tài)方程系數(shù)矩陣的特征值或者整個(gè)系統(tǒng)的根極點(diǎn)確定。我們可以在時(shí)域中通過(guò)選擇合適的控制參數(shù)Kc,使得(A-KcBCT)的特征值產(chǎn)生期望的暫態(tài)響應(yīng)（上升時(shí)間、最大超調(diào)量等）。與此類似,也可以在傳遞函數(shù)中通過(guò)選擇合適的控制參數(shù)Kc來(lái)設(shè)計(jì)式（4.17）系統(tǒng)的根極點(diǎn)位置。這兩種設(shè)計(jì)方法是等價(jià)的。我們知道G c(s)的極點(diǎn)是1+KcG(s)的根,因此可以將極點(diǎn)配置方程看作控制增益Kc的根。運(yùn)用根軌跡方法可以確定滿足設(shè)計(jì)要求的控制參數(shù)。 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 4.2.2 狀態(tài)反饋控制器 上述經(jīng)典控制器的主要不足是系統(tǒng)僅有唯一的控制參數(shù)Kc可供調(diào)整,而對(duì)于N維控制系統(tǒng),系統(tǒng)開(kāi)環(huán)矩陣具有N個(gè)特征值或者開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)具有N個(gè)極點(diǎn),即 det(A-I)=0 或 det(sI-A)=0 (4.20) 要想將所有這些系統(tǒng)根極點(diǎn)調(diào)整到需要的位置,控制器至少需要N個(gè)獨(dú)立變量,因此僅僅將系統(tǒng)輸出信號(hào)進(jìn)行反饋將不能滿足控制器設(shè)計(jì)的要求。一個(gè)自然的想法就是將系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量X都進(jìn)行反饋,這就產(chǎn)生了狀態(tài)反饋控制器。 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 對(duì)于SISO系統(tǒng),狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)輸入變成 u(t)=rd(t)-KTsX(t) (4.21) Ks稱為系統(tǒng)的反饋系數(shù)。 這樣,閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以寫(xiě)成( ) T Td s s dd X AX Br BK X A BK X Brdt (4.22) 閉環(huán)系統(tǒng)的框圖如圖4.13所示。同時(shí),圖4.11所示的狀態(tài)反饋系統(tǒng)變成圖4.14所示的仿真框圖。 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 圖4.13 SISO系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 圖 4.14 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 4.2.3 完全可控性 為了設(shè)計(jì)具有狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制器,讓我們首先熟悉有關(guān)系統(tǒng)可控性的定義。 假設(shè)一個(gè)SISOLTI系統(tǒng)由式（4.23）描述 Td X AX Bu y C Xdt (4.23) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 如果該系統(tǒng)能夠構(gòu)造一個(gè)無(wú)約束的輸入信號(hào)u(t),使得系統(tǒng)能夠在有限的時(shí)間間隔內(nèi)（t0ttf）由初始狀態(tài)運(yùn)動(dòng)到任何其它的狀態(tài),則可以說(shuō)系統(tǒng)在t0時(shí)刻是可控的。如果系統(tǒng)的每個(gè)狀態(tài)都是可控的,則稱該系統(tǒng)是完全可控的。 不失一般性,假設(shè)X(tf)=0,t0=0,則 ( )0( ) (0) ( )tAt A tX t e X e Bu d (4.24) 根據(jù)完全可控性的定義,有 ( )0( ) 0 (0) ( )ff ftAt A tX t e X e Bu d (4.25) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真或者 0 1 01 100 0(0) ( )( )(0) ( ) ( )f ft ANA kkkN Ntk kk kk kX e Bu de a AX A B a u d A B 根據(jù)Sylvester積分公式 有 (4.26) (4.27) (4.28) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 當(dāng)如下矩陣非奇異時(shí),系統(tǒng)滿足完全可控的條件： M=B AB A 2BAN-1 B (4.30)或者012 1 2 1(0) N NX B AB A B A B (4.29) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 4.2.4 極點(diǎn)配置 設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器的最簡(jiǎn)單方法是采用極點(diǎn)配置。其基本思想是首先確定閉環(huán)系統(tǒng)N個(gè)根極點(diǎn)的期望位置,然后設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)姆答佋鲆?從而將系統(tǒng)的極點(diǎn)調(diào)整到期望的位置。 如果系統(tǒng)是完全可控的,則這一過(guò)程完全可以表示成包含N個(gè)未知參數(shù)的N個(gè)方程組的求解。所需要設(shè)計(jì)的反饋控制增益就是該方程組的解。 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 如果系統(tǒng)比較簡(jiǎn)單,則完全可以通過(guò)手工計(jì)算完成系統(tǒng)的極點(diǎn)配置,但無(wú)論是手工計(jì)算,還是通過(guò)MATLAB函數(shù)自動(dòng)計(jì)算,其基本步驟都是相同的，如下所示： （1）檢查系統(tǒng)的可控矩陣是否滿秩。 （2）確定閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點(diǎn),1,2,N。 （3）確定希望配置的極點(diǎn)位置后,可以建立期望的特征方程。 11 2 1( )( ) ( ) 0N NN Ns s s s s 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 （4）最后建立閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程,即(sI-(A-BKTs)=0,將（3）、（4）步建立的方程聯(lián)立,由于其多項(xiàng)式的系數(shù)相等,由此可以建立N個(gè)位置參數(shù)的N個(gè)方程組,從而可以唯一地確定系統(tǒng)的反饋增益矩陣KTs。 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 例4.2 假定SISOLTI系統(tǒng)的狀態(tài)方程為0 1 020.6 1d X AX Bu A Bsdt 閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點(diǎn)為1,2=-1.82.4j,試設(shè)計(jì)確定系統(tǒng)狀態(tài)反饋的增益矩陣。 解：首先觀察開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn) 21 20.6 020.6ssI A ss 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 可以看出,系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為s1,2=4.539,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點(diǎn)是由期望的系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)特性（上升時(shí)間、讀者可以驗(yàn)證,1,2=-1.82.4j的閉環(huán)極點(diǎn)將產(chǎn)生較好的動(dòng)態(tài)特性（大約10%的最大超調(diào)量和大約0.6s的上升時(shí)間）。因此,期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)是不唯一的。 下面在已經(jīng)確定期望閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的情況下來(lái)設(shè)計(jì)系統(tǒng)的反饋增益矩陣。 Step1：驗(yàn)證系統(tǒng)的可控性。 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 矩陣M的秩等于N,因此系統(tǒng)滿足完全可控性條件。 Step23：計(jì)算期望的特征方程 (s-1)(s-2)=(s+1.8-j2.4)(s+1.8+j2.4)=s2+1s+2=0 Step4：計(jì)算閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程0 10 0 0 1 1 1 1 020.6 0M B AB det( ( ) ( 0T Ts ssI A BK sI A BK 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真1 2 1 21 20 001 0 120.6Ts TsBK k k k kA BK k k 因此 2 2 11 21( ( ) 20.6 020.6Ts ss I A BK s k s kk s k 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 4.2.5 帶全觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制 設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器的主要問(wèn)題是要求系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量都是可測(cè)的。然而對(duì)于一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)而言,有些狀態(tài)的信號(hào)值很難測(cè)量甚至不可能直接通過(guò)傳感器進(jìn)行測(cè)量,或者雖然可以進(jìn)行直接測(cè)量,但在經(jīng)濟(jì)上卻要增加相應(yīng)的成本。這樣,如果不能得到系統(tǒng)的全狀態(tài)向量,前面講述的狀態(tài)反饋控制就不可能實(shí)現(xiàn)。 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 解決以上問(wèn)題的方法是利用系統(tǒng)某種數(shù)學(xué)形式的仿真來(lái)估計(jì)不能測(cè)量的狀態(tài)值,這種方法稱之為系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)。 下面假定以SISOLTI系統(tǒng)為研究對(duì)象,這意味著系統(tǒng)有唯一的可控變量和唯一的可測(cè)量。同時(shí),假定系統(tǒng)輸出y(t)是唯一能夠測(cè)量的量,它將被引入到狀態(tài)觀測(cè)器中來(lái)提高狀態(tài)值的估計(jì)過(guò)程。這里采用 來(lái)表示狀態(tài)向量X(t)的在t時(shí)刻的估計(jì)值。 ( )X t 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 狀態(tài)觀測(cè)器的框圖如圖4.15所示（注意變量xc表示 。該觀測(cè)器使用u(t)和y(t)作為輸入量,并且輸出系統(tǒng)狀態(tài)關(guān)于時(shí)間的估計(jì)值。從框圖中可以看出 ( )X t ( ) ( ) ( )Td X t AX Bu L y C X A LC X Bu Lydt (4.31) 這里的L為未知的增益,它是根據(jù)該子系統(tǒng)期望的暫態(tài)響應(yīng)特性確定的,稱為狀態(tài)觀測(cè)器的增益矩陣。對(duì)于SISO系統(tǒng),L是長(zhǎng)度為N的列向量。 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真圖4.15 SISO系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器模型 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 觀測(cè)器的設(shè)計(jì)過(guò)程與前面講述的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)反饋控制器類似。這里的觀測(cè)器的增益選擇應(yīng)使?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的特征值是穩(wěn)定的,同時(shí)使得觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)變化快于整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)屬性。觀測(cè)器的特征值由下式確定： det(sI-(A-LCT)=0 (4.32) 在狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)中加入狀態(tài)觀測(cè)器,可得到圖4.16所示的系統(tǒng)框圖。對(duì)于該系統(tǒng),系統(tǒng)輸入為 ( ) ( ) ( )Td su t r t K X t (4.33) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 如果系統(tǒng)模型與狀態(tài)觀測(cè)器模型都采用相同的狀態(tài)空間矩陣A、B、CT進(jìn)行描述,則對(duì)于被研究對(duì)象有Td X AX Bu y C Xdt 將式（4.33）的輸入代入上面的方程,則得到系統(tǒng)的完整模型(4.34) Td sd X AX Br BK Xdt (4.35) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真圖4.16 具有全狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋 控制系統(tǒng)框圖（SISO系統(tǒng)） 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 對(duì)于狀態(tài)觀測(cè)器,將式（4.33）代入式（4.31）可以得到觀測(cè)器的完整模型 ( )( )T T Td sT T Ts dd X A LC X Br BK X LC Xdtd X A BK LC X Br LC Xdt 或者 (4.36) (4.37) 定義誤差向量 ( ) TE X Xd E A LC Edt 將式（4.37）代入得到誤差向量的動(dòng)態(tài)模型 (4.38) (4.39) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 4.2.6 完全可觀性 如果系統(tǒng)的每個(gè)狀態(tài)X(t0)都可以通過(guò)y(t)一段時(shí)間的觀測(cè)值來(lái)確定,則該系統(tǒng)被稱為是完全可觀的?？紤]式（4.23）定義的SISOLTI系統(tǒng),其時(shí)域解為 ( )0( ) (0) ( )tT At T A ty t C e X C e Bu d (4.40) 假設(shè)u()=0,為方便計(jì)算,上式可以寫(xiě)成( ) (0)T Aty t C e X (4.41) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 其中,CTeAt已知,y(t)可測(cè)。因此狀態(tài)向量X(0)可以通過(guò)y(t)的觀測(cè)值間接計(jì)算得到。 對(duì)于SISO系統(tǒng),方程（4.41）僅有一個(gè)方程,但包含N個(gè)未知參數(shù)。然而,由于該方程獨(dú)立于時(shí)間變量,因此,在多個(gè)時(shí)刻對(duì)y(t)進(jìn)行測(cè)量,可以獲得多個(gè)類似的方程,將它們聯(lián)立,就可以唯一確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)X(0)。 下面給方程（4.41）兩邊同時(shí)乘以已知的系數(shù)矩陣,得到 ) ( ) (0)( ) ( ) (0)T TT TT At T T At T T AtT At T At T T A tA t A t T AtC e y C e C e XC e e C e Ce Cy e CC e X (4.42) (4.43) (4.44)變換方程有 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 將整個(gè)觀測(cè)時(shí)間內(nèi)的所有方程進(jìn)行聯(lián)立,得到(0)Q WX (4.45) 其中 0 0( ) T Tf ft tA A T AQ e Cy d W e CC e d (4.46) 最后求解方程（4.45）,得到 1(0)X W Q 如果W是非奇異的,X(0)可以由y(t)的觀測(cè)值唯一確定,從而系統(tǒng)是完全可觀的。 再次使用Sylvester的積分公式,得到 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 2 1 20 1 10 1 01 1 0 11 ( ) ( ) T T N TTT At T k Tk Nk T N NA t k T T Tkk N CC AC e N t C A a a a C AC Ae C t A C C A C A C A C 定義 2 1 NT T T TH C A C A C A C (4.48) (4.49) (4.50) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 4.2.7 觀測(cè)器增益的確定 確定觀測(cè)增益矩陣同樣采用極點(diǎn)配置的方法。然而在這里,我們確定的是狀態(tài)觀測(cè)器誤差方程的極點(diǎn)位置。誤差極點(diǎn)位置的選擇比較隨意,但誤差動(dòng)態(tài)變化應(yīng)該比被控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)變化快一些。如果系統(tǒng)完全可觀,則(A-LCT)的N個(gè)特征值的位置應(yīng)該唯一確定觀測(cè)器增益矩陣的N個(gè)元素。設(shè)計(jì)的過(guò)程如下： （1）檢查系統(tǒng)可觀矩陣是否奇異。 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 （2）為誤差方程 指定期望的極點(diǎn)位置（1,2,N）。這些極點(diǎn)位置與系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)相比較應(yīng)該更靠近復(fù)平面的左手邊。 （3）根據(jù)期望的極點(diǎn)位置創(chuàng)建期望的特征方程。 （4）最后創(chuàng)建誤差方程的特征方程,從而得到含有N個(gè)位置參數(shù)的方程組。 同樣，以例4.2為例來(lái)說(shuō)明SISO系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)過(guò)程。 E X X 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 例4.4用MATLAB的place函數(shù)重新設(shè)計(jì)例4.2的狀態(tài)反饋控制器與例4.3中的全狀態(tài)觀測(cè)器。 解：程序代碼如下： %SFSOTEST.MSISOLTI系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器與全狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì) clearall,closeall,nfig=0; %打開(kāi)二進(jìn)制文件保存結(jié)果 deletesfsotest.out diarysfsotest.out disp() disp(*SFSOTEST.OUT*DiaryFileforSFSOTEST.M) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真disp()%PartI.創(chuàng)建線性系統(tǒng)模型,顯示其開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的SetupbasedataforthelinearA=01;20.60;B=01;%建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型C=10;D=0;disp(StateSpaceMatricesforthePlant)A,B,C,D 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真%compute eigenvalues of state matrix for open loop plantdisp(Eigenvalues of theOpen Loop Plant);%計(jì)算開(kāi)環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣特征值 ev=eig(A)%PartII.加入狀態(tài)反饋控制器以穩(wěn)定系統(tǒng),對(duì)狀態(tài)1的輸出量進(jìn)行仿真%檢查系統(tǒng)的可控性disp(Controllability Matrix for thissystem),M=ctrb(A,B)disp(RankofControllabilityMatrix),rank(M)clp=-1.8+2.4j-1.8-2.4j;%計(jì)算狀態(tài)反饋控制增益 Ks=place(A,B,clp); 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真disp(Desiredclosedlooppolesforstatefeedbackcontroller);clpdisp(Statefeedbackgainsneededtogivedesiredpoles);Ksdisp(Calculatedeigenvaluesofsystemwithstatefeedback);eig(A-B*Ks)Nv=-1.0/(C*inv(A-B*Ks)*B);%計(jì)算Nvdisp(SetpointgainforzeroSSerror);Nvto=0;tf=5;nfig=0;%對(duì)被控系統(tǒng)+控制器進(jìn)行仿真t=linspace(to,tf,101);syscl1=ss(A-B*Ks,B*Nv,C,D);y1,t,x1=step(syscl1,t); 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真nfig=nfig+1;figure(nfig)%繪制相關(guān)結(jié)果曲線subplot(2,1,1),plot(t,x1(:,1),r-,t,x1(:,2),g-),grid,title(StatesforStateFeedbackTestCase)xlabel(Time),ylabel(StateVariables)legend(x1(t),x2(t)%PartIII.加入狀態(tài)反饋控制器與全狀態(tài)觀測(cè)器,仿真狀態(tài)1的階躍響應(yīng)特性%檢查系統(tǒng)的完全可觀性disp(ObservabilityMatrixforthissystem),H=obsv(A,C) disp(RankofObservabilityMatrix),rank(H) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真%針對(duì)指定的觀測(cè)器極點(diǎn)計(jì)算觀測(cè)器增益op=3*clp;%觀測(cè)器的速度是閉環(huán)系統(tǒng)的3倍L=place(A,C,op);L=L;disp(Desiredobserverpolesforstatefeedbackcontroller);opdisp(Estimatorgainsneededtogivedesiredpoles);Ldisp(Calculatedeigenvaluesofestimatorsystem);eig(A-L*C)A11=A;A12=-B*Ks;B1=B*Nv;A21=L*C;A22=A-L*C-B*Ks;B2=B*Nv;zz=0;AB=A11A12;A21A22;BB=B1;B2; CB=Czz*C; 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真%對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真syscl2=ss(AB,BB,CB,D);y2,t,x2=step(syscl2,t);%分離系統(tǒng)狀態(tài)與觀測(cè)器的估計(jì)狀態(tài)nn=max(size(A);xp2=x2(:,1:nn);xe2=x2(:,nn+1:2*nn);%繪制全觀測(cè)器情況下的計(jì)算結(jié)果subplot(2,1,2),plot(t,xp2(:,1),r-,t,xp2(:,2),g-),grid,title(StatesforStateFeedbackwithFullObserverTestCase)xlabel(Time),ylabel(StateVariables)legend(x1(t),x2(t) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真%繪制狀態(tài)估計(jì)的誤差nfig=nfig+1;figure(nfig)plot(t,xp2(:,1)-xe2(:,1),r-,t,xp2(:,2)-xe2(:,2),g-),grid,title(DifferenceBetweenPlantandObserverStates)xlabel(Time),ylabel(ErrorinStateVariables)legend(e1(t),e2(t)Diaryoff %關(guān)閉二進(jìn)制文件 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 圖4.17 系統(tǒng)模型與觀測(cè)器動(dòng)態(tài)性能演示 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 圖4.17 系統(tǒng)模型與觀測(cè)器動(dòng)態(tài)性能演示 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 圖4.18 狀態(tài)誤差的動(dòng)態(tài)曲線 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 4.2.8 對(duì)偶系統(tǒng) 回憶前面論述的系統(tǒng)可控與可觀性的定義，可知系統(tǒng)的可控性要求其可控矩陣滿秩,反映的是狀態(tài)矩陣A與輸入矩陣B之間的關(guān)系；而系統(tǒng)的可觀性要求其可觀矩陣滿秩,反映的是狀態(tài)矩陣A與輸出矩陣CT之間的關(guān)系。這兩個(gè)概念實(shí)際上反映了控制系統(tǒng)的對(duì)偶原則。 對(duì)于一般的MIMO系統(tǒng) * *d X AX BUdtd Z A Z C VdtY CX W B Z (4.52) (4.54) (4.53) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 對(duì)于系統(tǒng)1,其完全狀態(tài)可控的充要條件是M矩陣滿秩，即 M1=B AB A2B AN-1B (4.55) 系統(tǒng)完全狀態(tài)可觀性的充要條件是H*矩陣滿秩，即 H*1=C* A* C* A* 2 C*A*N-1 C* (4.56) 對(duì)于系統(tǒng)2,其完全狀態(tài)可控的充要條件是M矩陣滿秩，即 M 2=C* A* C* A*2 C* A*N-1C* (4.57) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 系統(tǒng)完全狀態(tài)可觀性的充要條件是H*矩陣滿秩，即 H*2=B AB A2BAN-1B (4.58) 綜上所述,給定系統(tǒng)的可觀性可以通過(guò)其對(duì)偶系統(tǒng)的可控性來(lái)檢驗(yàn),而研究系統(tǒng)的可控性則可以通過(guò)其對(duì)偶系統(tǒng)的可觀性來(lái)研究,這些性質(zhì)稱為系統(tǒng)的對(duì)偶原則。 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真4.3 控制系統(tǒng)的時(shí)域仿真 前一節(jié)以經(jīng)典控制器和狀態(tài)反饋控制器為例講述了控制系統(tǒng)控制參數(shù)的設(shè)計(jì)過(guò)程。設(shè)計(jì)過(guò)程主要依據(jù)的是系統(tǒng)的時(shí)域特性,即閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的特征值決定了閉環(huán)系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)特性?？刂破髟O(shè)計(jì)的目標(biāo)是選擇控制器的增益,使得閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的特征值位于期望的極點(diǎn)位置。 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 控制器參數(shù)確定以后,下一步需要對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行仿真。在設(shè)計(jì)過(guò)程中研究的對(duì)象一般是系統(tǒng)的線性化模型。而在仿真過(guò)程中,應(yīng)該盡可能準(zhǔn)確地再現(xiàn)實(shí)際的系統(tǒng)模型,這就常常要求以實(shí)際的時(shí)變或非線性系統(tǒng)為仿真的對(duì)象。這一節(jié)主要論述控制器參數(shù)確定以后的系統(tǒng)仿真過(guò)程。為簡(jiǎn)單起見(jiàn),仍然以SISO系統(tǒng)為研究對(duì)象。其線性與非線性模型分別為 Td X AX Bu y C Xdt (4.59) ( , , ) Td X F X u t y C Xdt (4.60) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 4.3.1 經(jīng)典比例控制器設(shè)計(jì) 單位反饋回路的簡(jiǎn)單比例控制系統(tǒng)框圖如圖4.19所示。系統(tǒng)控制輸入為( )c du K r y (4.61) 使用線性化模型的閉環(huán)仿真方程為( ) T Tc d c c c dd X AX K Br K BC X A K BC X K Brdt (4.62) 寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程形式 dT Tc cd X AX Br y CXdtA A K BC B K B C C (4.63) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 如果采用非線性模型進(jìn)行仿真,必須使用MATLAB中標(biāo)準(zhǔn)的ODE求解器來(lái)完成。為此,用戶必須定義一個(gè)函數(shù)文件,MATLAB中的ODE求解器調(diào)用該函數(shù)來(lái)完成非線性系統(tǒng)的仿真。該函數(shù)文件包含下面的內(nèi)容： （1）指定t時(shí)刻的參考輸入rd(t)。 （2）計(jì)算系統(tǒng)t時(shí)刻的輸出y(t)=CTX(t)。 （3）確定t時(shí)刻的輸入u(t)=K c(rd(t)-y(t)。 （4）計(jì)算t時(shí)刻狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù) ( ) ( ( ), ( ), )d X t F X t u t tdt 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真圖4.19 SISO系統(tǒng)的經(jīng)典比例單位反饋控制框圖 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 4.3.2 狀態(tài)反饋控制器 帶全狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制框圖如圖4.20所示。該框圖類似于圖4.16,不同之處在于這里的模型包括一個(gè)附加的穩(wěn)態(tài)狀態(tài)增益模塊,其中包含一個(gè)歸一化的增益變量Nr。 我們?cè)賮?lái)看看該系統(tǒng)線性化模型與非線性模型的仿真方程,并且重新調(diào)整控制器的增益（KT s,L和Nr等）。控制規(guī)律寫(xiě)成Tr d su N r K X (4.64) 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿 真 該系統(tǒng)的閉環(huán)模型包括實(shí)際的系統(tǒng)狀態(tài)X(t)以及估計(jì)的系統(tǒng)狀態(tài) 。這樣,該系統(tǒng)具有2N個(gè)未知參數(shù)。對(duì)于線性系統(tǒng)模型,該系統(tǒng)的完整模型為被控系統(tǒng)模型 ( )X t Tr d sd X AX BN r BK Xdt (4.65) 觀測(cè)器模型 ( )T T Ts r dd X A BK LC X BN r LC Xdt (4.66) 寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程形式為 dd Z AZ Br y CZdt 第 4章 控 制 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) 與 仿