廈門大學《應用多元統(tǒng)計分析》第08章-相應分析

第八章 相應分析 第一節(jié) 引 言 第二節(jié) 列聯(lián)表 第三節(jié) 相應分析的基本理論 第四節(jié) 相應分析中應注意的問題 第五節(jié) 實例分析與計算機實現(xiàn) 第一節(jié) 引 言 相應分析 (correspondence analysis)也叫對應分析，其特點是 它所研究的變量可以是定性的。通常意義下的相應分析，是 指對兩個定性變量（因素）的多種水平進行相應性研究，因 而它的應用越來越廣泛，現(xiàn)在這種方法已經(jīng)成為常用的多元 分析方法之一。 在社會、經(jīng)濟以及其他領域中，進行數(shù)據(jù)分析時經(jīng)常要處理 因素與因素之間的關系，及因素內(nèi)部各個水平之間的相互關 系。例如，評價某一個行業(yè)所屬企業(yè)的經(jīng)濟效益，我們不僅 要研究因素 A，即企業(yè)按照經(jīng)濟效益好壞的分類情況，以及 要研究因素 B，即經(jīng)濟效益指標之間的關系，還要研究哪些 企業(yè)與哪些經(jīng)濟效益指標更密切一些。這就需要相應分析的 方法，將經(jīng)濟效益指標和企業(yè)狀況放在一起進行分類、作圖， 以便更好的描述兩者之間的關系，在經(jīng)濟意義上做出切合實 際的解釋。 相應分析的思想首先由理查森（ Richardson）和庫德 （ Kuder）于 1933年提出，后來法國統(tǒng)計學家讓 -保羅 貝內(nèi) 澤（ Jean-Paul Benzcri）等人對該方法進行了詳細的論述 而使其得到了發(fā)展。為了把握相應分析方法的實質(zhì)，本章將 從列聯(lián)資料入手，介紹一些基本概念和相應分析的基本理論， 并讓讀者理解相應分析與獨立性檢驗的關系，進一步明確對 實際問題進行相應分析研究的必要性所在。 第二節(jié) 列聯(lián)表 一 列聯(lián)表的概念 二 有關記號 一、列聯(lián)表的概念 在實際中經(jīng)常要了解兩組或多組因素 (或變量 )之間的關系。 設有兩組因素 A和 B，其中因素 A包含 r個水平，即 A1， A2， ， Ar；因素 B包含 c個水平，即 B1 ， B2 ， ， Bc 。又 設有受制于這兩個因素的載體 (或客體 )的集合總體 。我們 希望通過對總體 關于這兩組因素的有關資料 (或抽樣資料 )， 來分析這兩組因素的關系。 例如，要考查在某個人群中關于吸煙或不吸煙 (因素 A)與得 肺癌或不得肺癌 (因素 B)兩組因素之間的關系。通常的作法 是，隨機地從該人群中抽樣，對這兩種因素進行調(diào)查，設調(diào) 查了 k個人，得到一個二維列聯(lián)表，見表 8.1。 其中， kij為調(diào)查的 k人中出現(xiàn)因素 A的第 i個水平和因素 B的第 j個水平的人數(shù)。這樣，我們就得到一個兩因素，即吸煙與 是否得肺癌的 2 2列聯(lián)表。 因素 B 因素 A 得肺癌（ 1B ） 不得肺癌（ 2B ） 吸煙（ 1A ） 11k 12k 1.k 不吸煙（ 2A ） 21k 22k 2.k .1k .2k . ijk k k 表 8.1 二維列聯(lián)表 一般地，設受制于某個載體總體的兩個因素為 A 和 B ，其中 因素 A 包含 r 個水平，即 12, rA A A ；因素 B 包含 c 個水 平，即 12, cB B B 。對這兩組因素作隨機抽樣調(diào)查，得到 一個 rc 的二維列聯(lián)表，記為 () i j r ck K ，見表 8. 2 。 在表 8. 2 子中， . 1 c i ij j kk 表示因素 A 的第 i 個水平的樣本個 數(shù)； . 1 r j i j i kk 表示因素 B 的第 j 個水平的樣本個數(shù)； . ijk k k 表 示 總 的 樣 本 個 數(shù) 。 這 樣 我 們 便 稱 () i j r ck K 為一個 rc 的二維列聯(lián)表。 因素 B 1B 2B cB 1A 11k 12k 1 ck 1.k 2A 21k 22k 2 ck 2.k 因 素 A rA 1rk 2rk rck .rk .1k .2k .ck . ijk k k 表 8.2 一般的二維列聯(lián)表 二、有關記號 為了敘述方便，先引進一些基本概念和記號。 設 K=(kij)r c為一個 r c的列聯(lián)表 (表 8.2)，稱元素 kij為原始頻 數(shù)。將列聯(lián)表 K轉化為頻率矩陣，記為 F=(fij) r c ，見表 8.3。 因素 B 1B 2B cB 1A 11f 12f 1 cf 1.f 2A 21f 22f 2 cf 2.f 因 素 A rA 1rf 2rf rcf .rf .1f .2f .cf .1 ijff 表 8.3 一般的二維頻率表 表 8 . 3 中 /ij ijf k k 是樣本中屬于因素 A 的第 i 個水平和 因素 B 的第 j 個水平的百分比； . 1 c i i j j ff ， . 1 r j ij i ff ， 1 , 2 , ,ir ， 1 , 2 , ,jc 。這里我們記 1 . 2 . .( , , , )rr f f f f ， . 1 . 2 .( , , , )cc f f f f ， 1 . 2 . .( , , , ) ( )r r rd i a g f f f d i a gDf ， . 1 . 2 .( , , , ) ( )c c cd i a g f f f d i a gDf 那么有， rcf F I ， cr f F I （ 8 . 1 ） 1r r c c r c I f I f I F I （ 8 . 2 ） 其中 1( 1 , 1 , , 1 )rr I ， 1( 1 , 1 , , 1 )cc I 。 從數(shù)理統(tǒng)計的角度， K 可視為對兩個隨機變量 ( 記為 和 ) 調(diào)查得到的二維列聯(lián)表，頻率矩陣 F 則表示它們相應的經(jīng)驗 聯(lián)合抽樣分布為 , ijP i j f ， 1 , 2 , ,ir ， 1 , 2 , ,jc 其中 與 分別表示因素 A 和 因素 B 的隨機變量。 1 . 2 . .( , , , )rf f f 和 . 1 . 2 .( , , , )cf f f 分別為二維隨機變量（ ， ）的抽樣邊際分布。在此，我們稱 rD 和 cD 分別為 和 的 邊際陣。那么，有條件概率為 . , | ij i fP i j P j i P i f ， 1 , 2 , ,jc 在此稱 12 . . . , , , ic i i ic c i i i f f f f f f fR （ 8 . 3 ） 為因素 A 的第 i 個水平分布輪廓。稱 1 r DF 為因素 A 的輪廓矩 陣 。 這 里 應 該 注 意 到 ， i cf ， 1 , 2 , ,ir 是 超 平 面 12 1rx x x 的一點集。 同理，因素 B 的第 j 個水平的分布輪廓為 12 . . . , , , j j c jjr r j j j f f f f f f fR （ 8 . 4 ） 并稱 1 c DF 為因素 B 的輪廓矩陣，同樣 j rf ， 1 , 2 , ,jc 是 超平面 12 1cy y y 的一點集。這里有 . , | ij j fP i j P i j P j f ， 1 , 2 , ,ir 最后，由（ 8 . 1 ）式和（ 8. 2 ）式我們應該明確 r r cD I F I ， 1r r r r cI D I = I F I = ， （ 8. 5 ） c c rD I F I ， 1c c c c r I D I I F I ， （ 8 . 6 ） 從（ 8. 5 ）式和（ 8. 6 ）式我們清楚地看到， rD 和 cD 中的元素 起到了權重的作用，稱其為權重矩陣。 第三節(jié) 相應分析的基本理論 一 原始資料的變換 二 基于矩陣的分析過程 我們知道相應分析的主要目的是尋求列聯(lián)表行因素 A和列因 素 B的基本分析特征和它們的最優(yōu)聯(lián)立表示。為了實現(xiàn)行因 素 A與列因素 B最優(yōu)聯(lián)立表示，進一步剖析行因素 A內(nèi)部之間， 列因素 B內(nèi)部之間，以及因素 A和列因素 B之間的關系，這里 將介紹原始的列聯(lián)資料 K=(kij) r c變換成矩陣 Z=(zij) r c的具 體過程，這樣使得 zij對因素 A和列因素 B具有對等性，在此基 礎上進行相應分析。 一、原始資料的變換 設 () i j r ck K 為一個 rc 的列聯(lián)資料，其轉化后的頻率矩 陣為 () i j r cf F 。我們針對因素 A 而言，由（ 8. 3 ）式知， 第 i 個水 平分布輪廓 ic c fR 1 , 2 , ,ir 為 超平面 12 1rx x x 的一點集。如果我考慮因素 A 中各水平之 間的遠近，引入歐氏距離，那么第 i 個水平和第 i 個水平之 間的歐氏距離為 2 2 1 . ( , ) c ij i j j ii ff D i i ff （ 8 . 7 ） 這樣定義的距離沒有考慮到因素 B 的各水平邊際概率的 影響，為了消除因素 B 各個水平數(shù)量級的影響，應該對每 一項加一個權數(shù) .1/ jf ，即有 ： 2 2 1 . . . 1 ( , ) c ij i j w j i i j ff D i i f f f 2 1 . . . . c i j i j j i j i j ff f f f f （ 8 . 8 ） 我們稱 2 ( , ) wD i i 為因素 A 中第 i 個水平和第 i 個水平之間 2 距離。 這里應該注意到，（ 8. 8 ）式所定義的距離 2 ( , ) wD i i ，也可以 看作是點集 12 . . 1 . . 2 . . , , , i i i c i i i c f f f f f f f f f 中兩點 i 和 i 之 間的歐氏距離（ 1 , 2 , ,ir ）。那么，我們從加權的角度考 察這 r 個點的平均水平，其第 j 個分量的平均水平為 . 11 . . . 1 rr ij i ij j ii i j j f f f f f f f ， 1 , 2 , ,jc （ 8 . 9 ） 從而，計算出關于因素 B 各水平構成的協(xié)差陣為 ()c i j c ca （ 8 . 10 ） 其中， . . . 1 . . . . r ji i j i j ij ff a f f f f f f f . 1 . . . . r jjii ij f f ff f f f f f f 1 r ij zz 這里 . . . . . . . . . . . . . . . . . . / ( / ) ( / ) ( / ) ( / ) i i i i i ii f f f k x k x k x z f f k x k x . . . . . ( / ) ii i k k k k kk 1 , 2 , , 1 , 2 , ,r i c 令 () ij r cz Z ，則（ 8. 10 ）式可表示為 c ZZ （ 8. 1 1 ） 類似地，由（ 8. 4 ）式知，針對因素 B 的第 j 個水平的分布輪廓 j rf r R ， 它 是 超 平 面 12 1cy y y 的 一 點 集 ， 1 , 2 , ,jc 。同樣，變換以后所得到的關于因素 A 各水平構 成的協(xié)差陣為 r ZZ （ 8 . 12 ） 這里我們需要說明的是，將原始列聯(lián)表設 () i j r ck K 中的數(shù)據(jù) 變換成矩陣 () ij r cz Z 時，則因素 A 和因素 B 各個水平構成 的協(xié)差陣分別為 r ZZ 和 c ZZ ，矩陣 r 和 c 存在簡 單的對等關系，這樣如果把原始列聯(lián)表中的數(shù)據(jù) ijk 變換成 ijz 以后， ijz 對于兩個因素具有對等性。 二、基于矩陣的分析過程 由矩陣的知識我們知道， r ZZ 和 c ZZ 有完全相同 的非零特征根，記為 12 m ， 0 m in , m r c ， 設 12, , , mu u u 為相對于特征根 12, , , m 的關于因素 B 各水平構成的協(xié)差陣 c 的特征向量，則有 c j j j j u Z Zu u （ 8 . 13 ） 用矩陣 Z 左乘（ 8. 13 ）式兩端得 ( ) ( )j j j ZZ Zu Zu 即有 ( ) ( )r j j j Zu Zu （ 8 . 14 ） （ 8.14）式表明 Zuj為相對于特征值 j的關于因素 A各水平構 成的協(xié)差陣 r的特征向量。這樣我們就建立了相應分析中 R 型因子分析和 Q型因子分析的關系。也就是說，我們可以從 R型因子分析出發(fā)而直接得到 Q型因子分析的結果。 這里需要強調(diào)的是，由于 r和 c有相同的特征根，而這些特 征根又表示各個公共因子所提供的方差。那么，在因素 B的 c 維空間 Rc中的第一公共因子，第二公共因子直到第 m個公共 因子與因素 A的 r維空間 Rr中相對于的各個主因子在總方差中 所占的百分比就完全相同。這樣就可以用相同的因子軸同時 描述兩個因素各個水平的情況，把兩個因素的各個水平的狀 況同時反映到具有相同坐標軸的因子平面上。一般情形，我 們?nèi)蓚€公共因子，這樣就可以在一張二維平面圖上繪出兩 個因素各個水平的情況，即可以直觀地描述兩個因素 A和因 素 B以及各個水平之間的相關關系。 第四節(jié) 相應分析中應注意的問題 我們知道相應分析是分析兩組或多組變量之間關系的有效方 法，在離散情況下，它是從資料出發(fā)通過建立因素間的二維 或多維列聯(lián)表來對數(shù)據(jù)進行分析。在此我們要問，這種分析 是否有意義，或者說對于所給的數(shù)據(jù)是否值得做這種相應分 析。這一節(jié)我們將介紹相應分析與獨立性檢驗的內(nèi)在關系， 以此說明應用相應分析方法在解決實際問題時，避免盲目性。 設二維列聯(lián)資料為 () i j r ck K （見表 8. 2 ），其頻率陣為 () i j r cf F （見表 8. 3 ）。用 .ip 表示因素 A 中第 i 水平發(fā)生 時的概率； . jp 表示因素 B 中第 j 水平發(fā)生時的概率，那么 其估計值分別為 . . i i k f k 和 . . j j k f k 這里我們關心的是因素 A 和因素 B 是否獨立，由此提出要檢 驗的問題是 0H ：因素 A 和因素 B 是獨立的 1H ：因素 A 和因素 B 不獨立 由上面的假設所構造的統(tǒng)計量為 ： 2 2 11 ( ) () rc ij ij ij ij k E k Ek 2 . 11 . / / rc ij i j ij ij k k k k k k k 2 11 () rc ij ij kz （ 8 . 15 ） 其中 . . . .( / ) /ij ij i j i jz k k k k k k ，當假設 0H ：因素 A 和因 素 B 是獨立成立時，在 n 足夠大的條件下， 2 服從自由度 為 ( 1 ) ( 1 )rc 的 2 分布。拒絕區(qū)域為 ： 22 1 ( 1 ) ( 1 ) rc 通過上面的分析，我們應該注意幾個問題。 第一，這里的 ijz 是原始列聯(lián)資料 () i j r ck K 通過相應變換 以后得到的資料陣 () ij r cz Z 的元素。說明 ijz 與 2 統(tǒng)計量有著內(nèi)在的聯(lián)系。 第二，關于因素 B 和因素 A 各水平構成的協(xié)差陣 c 和 r ， 由（ 8. 15 ）式知， 2( ) ( ) / crtr tr k ，這里 ( . )tr 表示矩陣的跡。 第三，獨立性檢驗只能判斷因素 A 和因素 B 是否獨立。如果 因素 A 和因素 B 獨立，則沒有必要進行相應分析；如 果因素 A 和因素 B 不獨立，可以進一步通過相應分析 考察兩因素各個水平之間的相關關系。 第五節(jié) 實例分析與計算機實現(xiàn) 一 利用 SPSS進行相應分析 實例 1 二 利用 SPSS進行相應分析 實例 2 一、利用 SPSS進行相應分析 實例 1 數(shù)據(jù)來自 SPSS軟件自帶數(shù)據(jù)集 voter.sav，為 1992年美國大選 的部分數(shù)據(jù)。要求對選民的最高學歷水平（ degree）和所支 持的總統(tǒng)候選人（ pres92）進行相應分析。 （一）操作步驟 1. 正確打開數(shù)據(jù)集 voter.sav后，由 AnalyzeData ReductionCorrespondence Analysis 可進入相應分析的主 對話框（圖 8.1）。 圖 8.1 相應分析主界面 2. 從左側變量列表中選擇兩個變量作為相應分析的兩個維度。 這里我們選擇 pres92作為行維度，點擊 Row左側的三角箭頭 就可以看到在 Row項下出現(xiàn)了 pres92(? ?)，這時用鼠標選中 該變量，其下方的 Define Range子對話框激活，點擊后出現(xiàn) 變量水平設置窗口（圖 8.2）。分為上下兩個部分： Category range for row variable: pres92和 Category Constraints。 這里要分析所有的三位總統(tǒng)候選人和選民的學歷水平的關系， 所以在 Minimum value中填入 1，在 Maximum value中填入 3， 之后點擊 Update按鈕。就可以在下方的 Category Constraints 欄中看到，后續(xù)分析中的行變量僅包含 3個類目，分別是 1、 2 和 3。 圖 8.2 Define Row Range子對話框 在右側還有三個單選項： None表示沒有任何約束； Categories must be equal可用于指定某些類目的得分必須相同，最多可以 設置有效類目的個數(shù)減 1個得分相等的類目，如本例中最多可 以設置 2個類目得分相等； Category is supplemental表示某些 類目不參加相應分析但是會在圖形中標示。這里我們不對分類 進行任何約束，點擊 Continue按鈕后回到主對話框。 類似的可以指定 degree的有效類目最小值為 0，最大值為 4。 3.點擊 Model按鈕，指定相應分析結果的維數(shù)。（圖 8.3） （ 1） Dimensions in solution。默認為 2，最大可以設置為各變量 中的最少類目數(shù)減 1。 （ 2）選擇距離測度的方式 Distance Measure。有 Chi square 和 Euclidean兩種，定性變量應該用 Chi square。 （ 3）標準化方法 Standardization Method。 圖 8.3 Model子對話框 （ 4）正態(tài)化方法 Normalization Method。需要比較行列變量的類 目差異時選擇 Symmetrical，需要比較行列變量中任意兩個類目的 差異時選擇 Principal，比較行變量的類目差異時選擇 Row principal，而比較列變量的類目差異時選擇 Column principal，也 可以在 Customize中指定 -1,1之間的任意實數(shù)，特別的，如果輸 入 -1則為 Column principal，輸入 1為 Row principal，輸入 0為 Symmetrical。而一般該對話框中的選項無需改動。 4.點擊 Statistics按鈕，設定輸出的相應分析統(tǒng)計量，如圖 8.4。 可以指定輸出相應分析表 Correspondence table，行點總覽 表 Overview of row points，列點總覽表 Overview of column points，行輪廓 Row profiles，列輪廓 Column profiles。默認 只輸出前三項。而 Permutations of the correspondence table 是用于指定前 n個維度的行列得分表。如果該項選中，下方 的 Maximum dimension for permutations被激活，用于指定 維度 n。此外，還可以在 Confidence Statistics for復選項中選 擇計算行點和列點的標準差以及相關系數(shù)。 圖 8.4 Statistics子對話框 5.點擊 Plots按鈕，設定輸出的統(tǒng)計圖，如圖 8.5?？梢灾付ㄝ?出相應分析的散點圖 Scatterplots，默認只輸出包含行列變量 的雙變量散點圖 Biplot。也可指定輸出行點圖 Row points和 列點圖 Column points。而 ID label width for Scatterplots是 指定散點標簽的長度，默認 20。下方的 Line plots項中，可 以輸出行 /列點對應于行 /列得分的線圖，和散點圖類似。 6. 我們在 Model， Statistics， Plots三個子對話框中都使用默 認設定，點擊主對話框的 OK按鈕，即得到相應分析的結果。 圖 8.5 Plots子對話框 （二）結果分析： SPSS運行相應分析后會產(chǎn)生以下四張表（表 8.4到表 8.7）。 1. Correspondence Table（相應分析表），如表 8.4，即列聯(lián) 表。 Active Margin為邊際頻數(shù)。大致可以看出 Clinton在各個學歷 層次都有最高的票數(shù)。 C o r r e s p o n d e n c e T a b l e R S H I G H E S T D E G R E E V O T E F O R C L I N T O N , B U S H , P E R O T l t h i g h s c h o o l h i g h s c h o o l ju n i o r c o l l e g e b a c h e l o r g r a d u a te d e g r e e A c ti v e M a r g i n B u s h 55 349 48 146 63 661 P e r o t 12 159 26 62 19 278 C l i n to n 122 436 58 178 111 905 A c ti v e M a r g i n 189 944 132 386 193 1844 表 8.4 列聯(lián)表 2. Summary（總覽表），如表 8.5。 表中從左到右依次是維度編號、奇異值、慣量、卡方統(tǒng)計量、 顯著性、慣量所占總慣量比例、每個維度的奇異值的標準差和 相關系數(shù)。 Singular Value為特征值的平方根，根據(jù)總慣量和 特征值求和相等，有 0.1392+0.0162=0.019+0.000=0.019。第一 個維度慣量 0.019，占總慣量的 98.7%，第二個維度慣量接近 0， 僅占總慣量 1.3%。因此可以認為只要用一個維度就可以解釋 行列變量之間所有的關系，但為了說明分析過程，仍然保留兩 個維度?？倯T量 35.867 1844=0.19，滿足總慣量和卡方統(tǒng)計量 的關系式。同時卡方統(tǒng)計量的自由度 8=(3-1) (5-1)，數(shù)值為 0.000，說明行列變量之間存在顯著的相關性，相應分析是有 意義的。 S u m m ar y P r op or ti on of I n e r ti a C on fi d e n c e S i n g u l ar V al u e C or r e l at i on D i m e n s i on S i n g u l a r V al u e I n e r ti a C h i S q u ar e S i g. A c c ou n te d for C u mu l ati v e S tan d ar d D e v i ati o n 2 1 .139 .019 .987 .987 .021 .062 2 .016 .000 .013 1.000 .024 T ota l .019 35.867 .000 ( a) 1.000 1.000 * 8 d e gr e e s o f f r e e d om 表 8.5 總覽表 3. Overview Row Points與 Overview Column Points（行 /列點 總覽表），如表 8.6，表 8.7。 現(xiàn)以表 8.6為例， Mass項表示行變量中每個類目的邊際概率。 Score in dimension下面則是行點在兩個維度的坐標（ SPSS稱 為得分），即有坐標點 Bush（ 0.194,-0.156）， Perot （ 0.663,0.198）， Clinton（ -0.346,0.053）。 Inertia項為慣量， 即每個行點與行重心的加權距離的平方。而行慣量為行點與行 重心的加權距離平方和，即 0.19=0.002+0.009+0.008。比較表 8.6和表 8.7的總慣量，可以發(fā)現(xiàn)行慣量與列慣量相等。 Contribution項有兩個部分，分別是行變量的每個類目對維度 （公共因子）特征值的貢獻，每一個維度對每個類目的特征值 的貢獻。 O ve r vi e w R ow P oi n t s ( a) C on tr i b u ti o n S c or e i n D i m e n s i on O f P oi n t to I n e r ti a o f D i m e n s i on O f D i me n s i on to I n e r ti a o f P oi n t V O TE F O R C L I N TO N , BU S H , P ER O T M as s 1 2 I n e r ti a 1 2 1 2 T ota l Bu s h .358 .194 - .156 .002 .098 .544 .931 .069 1.000 P e r ot .151 .663 .198 .009 .479 .370 .990 .010 1.000 C l i n ton .491 - .346 .053 .008 .423 .086 .997 .003 1.000 A c ti v e T ota l 1.000 .019 1.000 1.000 * S ym m e tr i c a l n or ma l i z at i on 表 8.6 行點總覽表 O ve r vi e w C ol u m n P oi n t s ( a ) C on tr i b u ti o n S c or e i n D i m e n s i on O f P oi n t to I n e r ti a o f D i m e n s i on O f D i me n s i on to I n e r ti a o f P oi n t R S H I G H E S T D E G R EE M as s 1 2 I n e r ti a 1 2 1 2 T ota l l t h i gh s c h oo l .102 - .899 .087 .01 1 .597 .048 .999 .001 1.000 h i gh s c h oo l .512 .173 .014 .002 .1 10 .006 .999 .001 1.000 ju n i or c o l l e g e .072 .357 .352 .001 .066 .554 .899 .101 1.000 b ac h e l or .209 .149 - .168 .001 .034 .370 .871 .129 1.000 gr ad u ate d e gr e e .105 - .506 - .057 .004 .193 .022 .999 .001 1.000 A c ti v e T ota l 1.000 .019 1.000 1.000 * S ym m e tr i c a l n or ma l i z at i on 表 8.7 列點總覽表 4. 相應分析圖，如圖 8.6。 可以發(fā)現(xiàn)研究生層次的選民（ Graduate degree）傾向于具有 實干精神的 Clinton，而較 Clinton更為激進的 Bush更受 high school和 Bachelor層次的選民歡迎， Perot僅和 junior college層 次的選民較近。 -1 . 0 -0 . 5 0.0 0.5 D im ens io n 1 -0 . 2 -0 . 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 Dimen sio n 2 B u sh P e r o t Clinton lt high school high school j u n i o r co l l e g e bachelor g r a d u a t e d e g r e e R S H I G H E S T D E G R E E V O T E F O R C L I N T O N , B U S H , P E R O T S y m m e t r i c a l N o r m a l i za t i o n R o w a n d C o l u m n P o i n t s 圖8.6 相 應 分 析 的 二 維 圖 5. 如果在 Statistics子對話框中選中了 Row profile和 Column profile， SPSS還會輸出以下兩張表（表 8.8，表 8.9）。 R ow P r of i l e s R S H I G H E S T D E G R E E V O T E F O R C L I N T O N , B U S H , P E R O T l t h i g h s c h o o l h i g h s c h o o l ju n i o r c o l l e g e b a c h e l o r g r a d u a te d e g r e e A c ti v e M a r g i n B u s h .0 8 3 .5 2 8 .0 7 3 .2 2 1 .0 9 5 1 .0 0 0 P e r o t .0 4 3 .5 7 2 .0 9 4 .2 2 3 .0 6 8 1 .0 0 0 C l i n to n .1 3 5 .4 8 2 .0 6 4 .1 9 7 .1 2 3 1 .0 00 M a s s .1 0 2 .5 1 2 .0 7 2 .2 0 9 .1 0 5 表 8.8 行輪廓表 C ol u m n P r of i l e s R S H I G H E S T D E G R E E V O T E F O R C L I N T O N , B U S H , P E R O T l t h i g h s c h o o l h i g h s c h o o l ju n i o r c o l l e g e b a c h e l o r g r a d u a te d e g r e e M a s s B u s h .2 9 1 .3 7 0 .3 6 4 .3 7 8 .3 2 6 .3 5 8 P e r o t .0 6 3 .1 6 8 .1 9 7 .1 6 1 .0 9 8 .1 5 1 C l i n to n .6 4 6 .4 6 2 .4 3 9 .4 6 1 .5 7 5 .4 9 1 A c ti v e M a r g i n 1 .0 0 0 1 .0 0 0 1 .0 0 0 1 .0 0 0 1 .0 0 0 表 8.9 列輪廓表 6. 行 /列點圖（圖 8.7，圖 8.8）。 如果要單獨考察行 /列變量的各個水平在兩個公共因子維度上 的分布情況，可在 Plots子對話框中選中 Row points和 Column points。運行后即得下圖： -0 . 4 -0 . 2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 D i m en si on 1 -0 . 2 -0 . 1 0.0 0.1 0.2 D im e n s io n 2 B u s h P e r o t C l i n t o n S y m m e t r i c a l N o r m a l i z a t i o n R o w P o i n t s f o r V O T E F O R C L I N T O N , B U S H , P E R O T 圖 8.7 行點在兩個公共因子維度上的分布 -1 .0 -0 .8 -0 .6 -0 .4 -0 .2 0.0 0.2 0.4 D im ensio n 1 -0 .2 -0 .1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 Dimens ion 2 lt high sc hool hi gh sch oo l ju ni or col le ge bachelor gr ad ua t e de gr ee Sy m m e tr i c a l No r m a l i za ti o n Co l u m n Po i n ts fo r RS HI G HE ST DE G RE E 圖 8.8 列點在兩個公共因子維度上的分布 二 、利用 SPSS進行相應分析 實例 2 滬市 604 家上市公司 2001 年財務報表中有以下十個主要財 務指標。請對因子分析后的因子進行相應分析。 1X ：主營業(yè)務收入（元）， 2X ：主營業(yè)務利潤（元）， 3X ：利潤總額（元）， 4X ：凈利潤（元）， 5X ：每股收益（元）， 6X ：每股凈資產(chǎn)（元）， 7X ：凈資產(chǎn)收益率（）， 8X ：總資產(chǎn)收益率（）， 9X ：資產(chǎn)總計（元）， 10X ：股本。下面列舉了 4 只股票的 數(shù)據(jù)。 c od e 600146 900950 600082 600069 X 1 1,531,125, 205 106,581,997 536,170,246 183,099,889 X 2 - 1,992,739 - 6,138,074 22,818,078 1,185,389 X 3 - 121,376,966 - 209,356,318 - 83,143,688 - 228,540,095 X 4 - 121,764,217 - 191,123,71 1 - 83,249,935 - 227,809,996 X 5 - 0.61 - 0 .58 - 0.56 - 0.61 X 6 1.75 1.06 2.17 1.02 X 7 - 34.81 - 54.27 - 25.72 - 60.26 X 8 - 30.04 - 24.92 - 23.72 - 23.71 X 9 405,382,146. 30 767,045,438. 82 350,930,945. 92 960,701,823. 91 X 1 0 200,000,000. 00 331,914,000. 00 148,980,783. 00 371,600,000. 00 表 8.10 4只股票的財務數(shù)據(jù) （一）操作步驟： 1. 首先由 SPSS的因子分析過程（詳細步驟參見因子分析一 章），通過主成分法估計和最大方差旋轉法進行因子旋轉， 發(fā)現(xiàn)需要 3個公共因子才能解釋 83%以上的方差?？傻靡蜃?得分的計算公式為（加上 *號的變量和因子表示都已經(jīng)標準 化）： * * * * * * * 1 1 2 3 4 5 6 * * * * 7 8 9 1 0 0 . 2 1 7 0 . 2 1 6 0 . 1 4 5 0 . 1 3 8 0 . 0 5 4 0 . 0 3 2 0 . 0 6 6 0 . 0 6 6 0 . 2 5 4 0 . 2 4 6 F X X X X X X X X X X * * * * * * * 2 1 2 3 4 5 6 * * * * 7 8 9 1 0 0 . 1 0 9 0 . 0 4 3 0 . 1 1 6 0 . 1 4 4 0 . 2 3 5 0 . 1 6 5 0 . 3 8 1 0 . 3 7 1 0 . 0 8 6 0 . 0 1 6 F X X X X X X X X X X * * * * * * * 3 1 2 3 4 5 6 * * * * 7 8 9 1 0 0 . 1 0 0 0 . 0 9 8 0 . 0 0 4 0 . 0 3 7 0 . 2 1 6 0 . 8 7 6 0 . 2 2 9 0 . 1 5 7 0 . 0 0 8 0 . 2 5 5 F X X X X X X X X X X 因此 factor1可以稱為股票規(guī)模因子， factor2稱為股票收益因子， factor3稱為個股價值因子。將這三個因子劃分為 5個等級：低 于 -0.5， -0.50， 00.5， 0.51，大于 1，分別編碼為 1,2,3,4,5。 這樣就可以利用相應分析來詳細的研究這三個因子之間的關系。 2. 在相應分析的主對話框中，我們以 factor1和 factor2為例說 明。設置好類目（圖 8.9），在 Model子對話框中仍然選擇維 數(shù) 2，其他設置不變，點擊 OK后，就得到相應分析的結果。 圖 8.9 相應分析主界面 （二）結果分析： 這里僅列出相應分析表（表 8.11）、總覽表（表 8.12）以及 相應分析圖（圖 8.10），其余圖表的分析與前一例題類似。 C or r e s p on d e n c e T ab l e 個股價值因子 股票規(guī)模因子 1 2 3 4 5 A c ti v e M ar gi n 1 55 23 31 17 27 153 2 98 83 53 24 26 284 3 16 14 24 11 16 81 4 10 6 9 7 10 42 5 15 8 7 3 11 44 A c ti v e M ar gi n 194 134 124 62 90 604 表 8.11 列聯(lián)表 S u m m ar y P r op or ti on of I n e r ti a C on fi d e n c e S i n g u l ar V al u e C or r e l at i on D i m e n s i o n S i n g u l ar V al u e I n e r ti a C h i S q u ar e S i g. A c c ou n te d for C u mu l at i v e S tan d ar d D e v i ati o n 2 1 .221 .049 .734 .734 .039 - .018 2 .1 13 .013 .193 .927 .040 3 .058 .00 3 .051 .978 4 .038 .001 .022 1.000 T ota l .066 40.160 .001 ( a) 1.000 1.000 * 16 d e gr e e s of fr e e d om 表 8.12 總覽表 從表 8.12中可以看出，卡方檢驗是顯著相關的，因此相應分 析是有意義的，而且只需要兩個公共因子就可以解釋 92.7% 的總慣量。所以使用二維圖就可以充分的反映行列變量之間 的關系了。在圖 8-10上可以發(fā)現(xiàn)，規(guī)模因子為 1和 5，個股價 值因子為 5，這表明“小股票”和“大股票”都可能實現(xiàn)最 高的個股價值，并且“小股票”似乎更有可能。而股票規(guī)模 因子中略高于平均水平的取值為 3,4，這兩個檔次較為接近可 以將其合并為一個檔次，相應的個股價值因子也略高于平均 水平。 讀者應該可以發(fā)現(xiàn)相應分析實際是對兩組高維空間的點的二 維投影進行分析。有時在高維空間中相隔很近的點投影后卻 顯的很遠，因此有時需要進一步分析每個類目對公共因子的 貢獻大小。同時相應分析主要是建立在圖形分析的基礎上， 而沒有給出足夠充分的統(tǒng)計量來度量這種相關程度，因此相 應分析的結果帶有一定的主觀性。 -0.5 0.0 0.5 Di mension 1 -0.7 5 -0.5 0 -0.2 5 0.00 0.25 0.50 0.75 D im ensio n 2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 個股價值因子 股票規(guī)模因子 Sy mm e tr i c a l No rm a l i za ti on Ro w a nd Co l um n Po i nt s 圖 8.10 二維相應分析圖 本章結束