高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第八節(jié) 函數(shù)與方程課件 理.ppt

第八節(jié) 函數(shù)與方程,1.函數(shù)的零點(diǎn)的概念 對(duì)于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).,2.函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系 方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根 函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn) 函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn). 3.函數(shù)零點(diǎn)的判斷 (1)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有 f(a)f(b)0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系,a,(3)有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)常見(jiàn)的結(jié)論 若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù),則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn); 連續(xù)不斷的函數(shù),其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào); 連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí),函數(shù)值可能變號(hào)也可能不變號(hào). 4.二分法的概念 對(duì)于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且 f(a)f(b)0 的函數(shù)f(x),通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.,5.用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步聚 (1)確定區(qū)間a,b,驗(yàn)證 f(a)f(b)0 ,給定精確度; (2)求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c; (3)計(jì)算 f(c) ; 若 f(c)=0 ,則c就是函數(shù)的零點(diǎn); 若 f(a)f(c)0 ,則令b=c(此時(shí)零點(diǎn)x0(a,c); 若 f(c)f(b)0 ,則令a=c(此時(shí)零點(diǎn)x0(c,b). (4)判斷是否達(dá)到精確度:即若 |a-b| ,則得到零點(diǎn)近似值a(或b);否則重復(fù)(2)(4). 6.常用的數(shù)學(xué)方法與思想 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法,函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合思想.,1.判斷下列說(shuō)法是否正確(打“”或“”). (1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn).( ) (1) (2)若函數(shù)y=f(x),xD在區(qū)間(a,b)D內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷),則f(a)f(b)0.( ) (2) (3)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào),且f(a)f(b)0,則在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).( ) (3),2.(2015安徽高考)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是 ( ) A.y=cos x B.y=sin x C.y=ln x D.y=x2+1 2.A 【解析】y=cos x是偶函數(shù)且有無(wú)數(shù)多個(gè)零點(diǎn),y=sin x為奇函數(shù),y=ln x既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),y=x2+1是偶函數(shù),但沒(méi)有零點(diǎn). 3.方程2-x+x2=3的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為( ) A.2 B.3 C.1 D.4 3.A 【解析】構(gòu)造函數(shù)y=2-x與y=3-x2,在同一坐標(biāo)系中作出它們的圖象,可知有兩個(gè)交點(diǎn),故方程2-x+x2=3的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為2. 4.若函數(shù)f(x)=2x+m存在零點(diǎn),則m的取值范圍是 . 4.(-,0) 【解析】由于y=2x在x軸上方,當(dāng)x越小時(shí),圖象越接近y軸,所以m(-,0)時(shí)圖象與x軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn),故m的取值范圍是(-,0).,【解題思路】函數(shù)y=x2和y=x3的交點(diǎn)為(0,0),(1,1),函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個(gè)零點(diǎn),則f(x)-b=0有兩個(gè)根,即直線y=b與y=f(x)有兩個(gè)交點(diǎn).作出y=x2與y=x3的圖象,如圖(1),觀察圖象,可知當(dāng)a1時(shí),存在實(shí)數(shù)b使f(x)-b=0有兩個(gè)根,如圖(3);當(dāng)0a1時(shí),f(x)-b=0只有一個(gè)根或無(wú)根,如圖(4).綜上,當(dāng)a1時(shí),g(x)=f(x)-b有兩個(gè)零點(diǎn).,【參考答案】 (-,0)(1,+),若存在實(shí)數(shù)b,使函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個(gè)零點(diǎn), 則a的取值范圍是 .,【變式訓(xùn)練】,(2015福州八中質(zhì)檢)對(duì)于函數(shù)f(x)=x2+mx+n,若f(a)0,f(b)0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi) ( ) A.一定有零點(diǎn) B.一定沒(méi)有零點(diǎn) C.可能有兩個(gè)零點(diǎn) D.至多有一個(gè)零點(diǎn) C 【解析】由于函數(shù)f(x)=x2+mx+n,圖象開(kāi)口向上,當(dāng)=m2-4n0時(shí),圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),結(jié)合題干條件知選項(xiàng)C正確.,命題角度2:利用函數(shù)的零點(diǎn)研究函數(shù)的根的大小或方程(不等式)的解 典例4 已知函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)+2(ab),若,()是方程f(x)=0的兩個(gè)根,則實(shí)數(shù)a,b,之間的大小關(guān)系是( ) A.ab B.ab C.ab D.ab 【解題思路】利用g(x)=(x-a)(x-b)的零點(diǎn)為a,b,作出圖象,利用平移變換,數(shù)形結(jié)合思想考查.令g(x)=(x-a)(x-b),顯然函數(shù)g(x)=(x-a)(x-b)的兩個(gè)零點(diǎn)是a,b,而函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)+2的兩個(gè)零點(diǎn)是,又函數(shù)f(x)的圖象是將函數(shù)g(x)=(x-a)(x-b)圖象向上平移2個(gè)單位得到,因此數(shù)形結(jié)合易知ab. 【參考答案】 B,【變式訓(xùn)練】 1.設(shè)函數(shù)f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足f(a)=0,g(b)=0,則( ) A.00,f(a)=0,由零點(diǎn)的存在性定理知,a(0,1),同理可知,b(1,2).由于函數(shù)f(x)和g(x)都在定義域上單調(diào)遞增,則g(a)f(1)=e-10,于是有g(shù)(a)0f(b).,分類(lèi)討論思想在函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用 分類(lèi)討論思想在解決函數(shù)的零點(diǎn)與定區(qū)間的關(guān)系中起關(guān)鍵作用,這也是學(xué)生最易出錯(cuò)的地方. 典例 (2014天津高考)已知函數(shù)f(x)=|x2+3x|,xR.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 . 【解題思路】方程f(x)-a|x-1|=0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根,即函數(shù)y=f(x),y=a|x-1|恰有4個(gè)互異的交點(diǎn).當(dāng)a0.當(dāng)y=a(x-1)與y=x2+3x的圖象相切時(shí),方程x2+3x=a(x-1),即x2+(3-a)x+a=0有兩個(gè)相等的根,所以(3-a)2-4a=0,解得a=1(舍去)或9,所以當(dāng)a9時(shí)滿(mǎn)足題意;當(dāng)y=-a(x-1)與y=-x2-3x的圖象相切時(shí),方程x2+3x=a(x-1),即x2+(3-a)x+a=0有兩個(gè)相等的根,所以(3-a)2-4a=0,解得a=1或9(舍去),所以當(dāng)0a1時(shí)滿(mǎn)足題意,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1)(9,+). 【參考答案】 (0,1)(9,+),【針對(duì)訓(xùn)練】,