二次曲線的定義

本章是平面射影幾何的精華, 也是最精彩的部分之一本章主要內(nèi)容二次曲線的定義Pascal定理和Brianchon定理二次曲線的配極原理二次曲線的射影分類每一部分都有豐富的內(nèi)容、深刻的內(nèi)涵和重要的應(yīng)用. 一、二次曲線的代數(shù)定義 定義1 坐標滿足3, 1 0 ( ) (1)ij i j ij jii jS a x x a a 的所有點 (x1, x2, x3) 的集合稱為一條二階曲線. 其中 (aij) 為三階實對稱陣, 秩 (aij) 1。 定義1 坐標滿足3, 1 0 ( ) (1)ij i j ij jii jT b uu b b 的所有直線 u1, u2, u3 的集合稱為一條二級曲線. 其中 (bij) 為三階實對稱陣, 秩 (bij) 1。 定義2 如果 T 可以分解為兩個一次因式的乘積，則稱 T = 0 為退化二級曲線，否則稱為非退化二級曲線。 定義2 如果 S 可以分解為兩個一次因式的乘積，則稱 S = 0 為退化二階曲線，否則稱為非退化二階曲線。 命題 S = 0 退化 |aij| = 0. 注1. S, T 均為高等代數(shù)中的實三元二次型。從代數(shù)上看，S = 0和T = 0 為相同的代數(shù)對象；從幾何上看，它們是同一幾何對象的不同描述，因此統(tǒng)稱為二次曲線。 注2. 在需要時，S = 0和T = 0 均可寫為矩陣格式：11 12 13 11 2 3 12 22 23 213 23 33 3( , , ) 0,0. ( , ( ) 1)a a a xS x x x a a a xa a a xS XAX A A A 或秩 注3. 由對偶原則，我們一般僅討論二階曲線，其結(jié)論均可對偶地適用于二級曲線。 二、二次曲線的幾何結(jié)構(gòu) 定理1 不同心的兩個射影線束對應(yīng)直線交點的全體構(gòu)成一條經(jīng)過此二線束束心的二階曲線 .注：若已知兩個射影線束 A + B A + B 的對應(yīng)式0 ( 0)a b c d ad bc 則由此構(gòu)成的二階曲線方程為: 0 (4.2)aAA dBB bAB cA B 定理2 設(shè)二階曲線 由射影線束 O(P) 與 O(P) 生成，則在 上任意取定相異二點 A和B，與 上的動點 M 連線可得兩個射影線束)(MA ).(MB 注：由本定理, 一旦二階曲線由兩個射影線束生成，則其上點的地位平等，以曲線上任意相異二點為束心與曲線上的點連線則得到兩個也生成此曲線的射影線束。 定理2的證明. 設(shè) 由 O(P) O(P) 生成，需證( ) ( ).A M B M設(shè)AM OP KBM OP K )()( KOPMA( ) ( )B M OP K 所以只要證( ) ( ).OP K OP K 設(shè), .OA BM A OB AM B ( ) ( ),O P O P ( , , , ) ( , , , ).O A B P M O A B P M分別以AM, BM截得注意到,MM ( , , , ) ( , , , ).AM A B K M BM A B K M ( , , , ) ( , , , ).AM A B K M BM A B K M 從而對應(yīng)點的連線共點，即 AA, BB, KK 共點于 S。但是 S OA OB 為定點，故當 M 變動時，KK 經(jīng)過定點 S，即( ) ( ).OP K OP K 則有 推論1 平面上五點(其中無三點共線)唯一確定一條非退化二階曲線。 推論1 平面上五直線(其中無三線共點)唯一確定一條非退化二級曲線。 推論2 任一二階曲線可由兩個射影線束生成。 推論2 任一二級曲線可由兩個射影點列生成。 推論3 二階曲線上四個定點與其上任意一點連線所得四直線的交比為定值。 推論3 二級曲線上四條定直線被其上任意一條直線所截得四點的交比為定值。 注：推論3對于解析幾何中的各種二次曲線都適用。 三、二次曲線的射影定義 由上述的兩個定理及其推論，我們有 定義3 在射影平面上，稱兩個射影線束對應(yīng)直線交點的集合為一條二階曲線。 定義3 在射影平面上，稱兩個射影點列對應(yīng)點連線的集合為一條二級曲線。 思考：試研究本定義是如何包含退化二次曲線的。提示：考慮透視對應(yīng)、射影變換的情況。 例1 求由兩個射影線束 x1 x3 = 0, x2 x3 = 0 ( + = 1) 生成的二階曲線方程。 解 令1 3 2 30, 0; 0, 0.A x B x A x B x 利用定理1的證明，此二射影線束00A BA B 生成的二階曲線的方程為0 (2)aAA dBB bAB cA B 由 + = 1 得 a = 0, b = c = 1, d = 1 , 代入上式得,0 233231 xxxxx即 00 3213 xxxx這是一條退化的二階曲線。 四、二階曲線的切線本部分總假定：所論二次曲線為非退化的.1. 定義 定義4 與二階曲線 交于兩個重合的點的直線稱為 的切線。 共軛的虛切線重合的實切線相異的實切線的兩條有過內(nèi)上外在點一般地PP, 四、二階曲線的切線2、切線的方程問題：已知二階曲線)1()(0: 3 1, jiijji jiij aaxxaS 求過定點 P(p1, p2, p3) 的 的切線方程。 設(shè) Q(q1,q2,q3)為平面上任一點，則直線 PQ 上任一點可表為 xi = pi + qi 。 PQ 為 的切線 PQ 交 于兩個重合的點 將 xi = pi + qi 代入 ：S = 0 后只有一個解。代入得( )( ) 0, ij i i j ja p q p q 即 0)( 2 jijijijiij qqpqqpppa )2(0)(2 jiijjiijjiijjiij ppapqaqpaqqa 為簡便計，我們引入記號 jiijpp ppaS jiijqq qqaS jiijpq qpaS jiijqp pqaS jiijp xpaS jiijq xqaS ., qppqjiij SSaa 代入(2)式得)3(022 pppqqq SSS 整理得 從而Q(q1,q2,q3) 在過 P(p1, p2, p3) 的切線上 (3) 對 有二重根 )4(2 ppqqpq SSS (4) 式即為 Q(q1,q2,q3)是 過 P(p1, p2, p3) 的切線上的點的充要條件。習(xí)慣地，將其中的流動坐標 qi 換為 xi ，得到二階曲線過點 P(p1, p2, p3) 的切線方程為)5(2 SSS ppp (5) 式為一個二次方程，故經(jīng)過平面上一點 P 一般有兩條切線。 如果 P 在 上，則 Spp = 0，從而，二階曲線上一點 P 處的切線方程為)6(0pS 注：Sp = 0 常用的等價寫法.0),().1( 321332313 232212 131211321 xxxaaa aaa aaappp .0).2( 332211 xxSxxSxxS ppp .0).3( 332211 pxSpxSpxS請自行證明這三種寫法確實都與Sp=0等價.(3)式與解析幾何中的切線方程一致 五、二級曲線的切點設(shè): 0 ( ) | | 0 (1)ij i j ij ji ijT b uu b b b 1.切點的定義2. 切點方程一般 ( 在l上的切點)：)5( 2 TTT lll 特殊 ( l 屬于 )：)6(0lT 一般地，過平面上一點有 的兩條直線。若過平面上某點 P 有且僅有 的一條直線，則稱 P 為 的一個切點。 例2 如果兩個三點形 ABC 與 ABC 同時內(nèi)接于一條二次曲線， 求證它們也同時外切于一條二次曲線。證. 設(shè)交點 D, E; D, E 如圖。 因為 A, B, C, A, B, C 在同一條二次曲線上，據(jù)二階曲線的射影定義有( , , , )C B A B A ( , , , ).C B A B A 又( , , , )C B A B A ( , , , )A B B E D A ( , , , )C B A B A ).,( EBADAB ( , , , )A B B E D A ).,( EBADAB 由二級曲線的射影定義，這兩個射影點列的對應(yīng)點連線以及點列的底共六條直線屬于同一條二級曲線，這六條直線恰好是已知兩個三點形的六條邊。結(jié)論成立。注：本題的逆命題成立。 六、二階曲線與二級曲線的統(tǒng)一 定理3(Maclaurin) 一條非退化二階曲線的全體切線構(gòu)成一條非退化二級曲線。 定理3 (Maclaurin) 一條非退化二級曲線的全體切點構(gòu)成一條非退化二階曲線。證明 設(shè) .0: jiij xxaS 若P(p1,p2,p3)是切線uu1,u2,u3的切點，則有Sp=0，于是ku papapau papapau papapa 3 3332321312 3232221211 313212111因此有0 000332211 3333232131 2323222121 1313212111 pupupu kupapapa kupapapa kupapapa 這個關(guān)于p1,p2,p3和k的方程組有非零解，所以11 12 13 112 22 23 213 23 33 31 2 3 0 (13)0a a a ua a a ua a a uu u u 這是一個二級曲線的方程. 設(shè) .0: jiij xxaS由本定理的證明可知，u1,u2,u3 為 上一點處的切線11 12 13 112 22 23 213 23 33 31 2 3 0 (13)0a a a ua a a ua a a uu u u 展開, 得.0|,.0 2 ijijjiijjiij aAAAuuAT且注：本定理提供了二次曲線的點坐標、線坐標方程互化方法。 推論4 若 bij = Aij ( 0 )，則 S aijxixj= 0 與 T bijuiuj = 0 表示同一條二次曲線。這里Aij是aij的代數(shù)余子式. 例3 求證：x1x3 x22 = 0 與 4u1u3 u22 = 0 表示同一條二次曲線. 證明. 第一步. 驗證已知兩條二次曲線為非退化.第二步. 將 aij, u1, u2, u3 代入 (13) 式, 展開即得 4u1u3 u22 = 0. 七、二階曲線束 定理4 平面上兩條相異的二階曲線一般有四個交點. 證明. 設(shè)1: f aijxixj=0, 2: g bijxixj =0, 則聯(lián)立 00gf即為1與2的交點, 顯然, 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)一般有四個解. 定義5 設(shè)f=0, g=0為平面上兩條相異的二階曲線. 則稱由)14(0 Rgf 所決定的二階曲線的全體為以f=0, g=0的四個交點為基點的二階曲線束. 若f=0, g=0的四個交點相異, 則稱為二階曲線的四點形束. 定理5 經(jīng)過平面上任一點P(非基點), 必有一條二階曲線屬于已知束f+g=0. 證明. 因為P不是f=0與g=0的交點, 故f pp與gpp不同時為零. 不妨設(shè)gpp0. 令.0 ppppgf則f+0g=0為過P且屬于 f+g=0的二階曲線. 定理6 平面上任一二階曲線束中必有三條退化的二階曲線, 它們是以四個基點為頂點的完全四點形的三雙對邊. 注：對定理6的直觀理解.如圖, 三條相異的退化二階曲線為：;01 CDAB：;02 ADBC：.0 3 BDAC：實用性很強的兩種極限形式如下：;01 CDAP：;02 ADAC：.03 ADAC：;01 CPAP：;02 ACAC：.03 ACAC：只有兩條相異.只有兩條相異. 例4 已知二階曲線過點A(1,0,1), C(0,0,1), E(3,2,1), 并與直線l1: x13x2 x3=0, l2: 2x1x2=0相切. 求的方程. 解 易見A l1, C l2. 于是分別與l1, l2相切于點A, C. 令A(yù)=B, C=D. 則第一步. ,03: 321 xxxAB ,02: 21 xxCD,0: 2 xAC .0: 2 xBD于是, 過A, B, C, D四點的二階曲線束的方程為：,0 BDACCDAB 即.0)2)(3( 2221321 xxxxxx 第二步. 將E(3,2,1)代入, 得=2. 故的方程為.02772 3231212221 xxxxxxxx