2019版高考數(shù)學(xué) 4.3 平面向量的數(shù)量積課件.ppt

第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積,【知識(shí)梳理】 1.必會(huì)知識(shí) 教材回扣 填一填 (1)向量的夾角:,AOB,0,180,a,b,=90,(2)平面向量的數(shù)量積:,|a|b|cos,|a|cos,|b|cos,|b|cos,(3)數(shù)量積的性質(zhì): 設(shè)a,b都是非零向量,e是單位向量,為a與b(或e)的夾角.則 ea=ae= _. cos=_. ab_.,|a|cos,|a|b|,(4)數(shù)量積的運(yùn)算律: 交換律:ab=ba. 數(shù)乘結(jié)合律:(a)b= _= _. 分配律:a(b+c)=_.,(ab),a(b),ab+ac,(5)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示: 設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a與b的夾角為,則,x1x2+y1y2,x1x2+y1y2=0,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)a與b為兩非零向量,則ab_. (2)當(dāng)a與b同向時(shí),ab=|a|b|. 當(dāng)a與b反向時(shí),ab=-|a|b|, 特別地,aa= _或者|a|=_,0a=_.,ab=0,|a|2,0,(3)平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式 (a+b)(a-b)=a2-b2. (a+b)2=a2+2ab+b2. (a-b)2=_.,a2-2ab+b2,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:基底法;坐標(biāo)法. (2)常用思想:方程思想,數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想. (3)記憶口訣:乘積結(jié)果為數(shù)量,坐標(biāo)運(yùn)算是良方. 橫縱坐標(biāo)分別乘,相加求和積充當(dāng).,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量,且有正有負(fù).( ) (2)若ab=0,則必有ab.( ) (3)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量.( ) (4)若ab0,則向量a,b的夾角為鈍角.( ),【解析】(1)正確.由向量投影的定義可知,當(dāng)兩向量夾角為銳角時(shí)結(jié)果為正,為鈍角時(shí)結(jié)果為負(fù). (2)錯(cuò)誤.當(dāng)a與b至少有一個(gè)為0時(shí)得不到ab. (3)正確.由數(shù)量積與向量線性運(yùn)算的意義可知,正確. (4)錯(cuò)誤.當(dāng)ab=-|a|b|時(shí),a與b的夾角為. 答案:(1) (2) (3) (4),2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修4P104例1改編)已知|a|=2,|b|=4,ab=4 ,則a與b的夾 角= . 【解析】因?yàn)閍b=|a|b|cos, 所以cos= 又因?yàn)?180,故=30. 答案:30,(2)(必修4P105例4改編)已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb與a-kb互相垂直,則實(shí)數(shù)k= . 【解析】由已知a=(1,2),b=(3,4), 若互相垂直,則(a+kb)(a-kb)=0, 即a2-k2b2=0, 即5-25k2=0,即k2= , 所以k= . 答案:,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014新課標(biāo)全國卷)設(shè)向量a,b滿足|a+b|= ,|a-b|= , 則ab=( ) A.1 B.2 C.3 D.5 【解題提示】將|a+b|,|a-b|兩邊平方,聯(lián)立方程求解ab. 【解析】選A.因?yàn)閨a+b|= ,|a-b|= ,所以a2+b2+2ab=10, a2+b2-2ab=6,聯(lián)立方程解得ab=1,故選A.,(2)(2014四川高考)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR),且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m= . 【解題提示】先求出c的坐標(biāo),再代入向量夾角公式,解方程即可求出m的值.,【解析】由于a=(1,2),b=(4,2), 所以c=ma+b=(m+4,2m+2), 又由于c與a的夾角等于c與b的夾角, 即cos=cos,也就是 即得 解得m=2. 答案:2,(3)(2015青島模擬)已知|a|=2,向量a與b的夾角是 ,則a在b上 的投影是 . 【解析】a在b上的投影是|a|cos = 答案:-,考點(diǎn)1 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【典例1】(1)(2015湛江模擬)已知等邊三角形ABC的邊長為1,設(shè) =a, =b, =c,則ab+bc+ca= . (2)(2015大慶模擬)已知正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng) 點(diǎn).則 的值為 , 的最大值為 .,【解題提示】(1)利用數(shù)量積的定義求解.要注意夾角的大小. (2)結(jié)合已知條件建系,利用坐標(biāo)求解.,【規(guī)范解答】(1)如圖,得a與b,b與c,c與a的夾角都是120, 又|a|=|b|=|c|=1, 所以原式=11cos120+11 cos120+11cos120 答案:-,(2)如圖所示,以AB,AD所在的直線分別為x,y軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè) E(t,0),0t1,則D(0,1),B(1,0),C(1,1), =(t,-1), =(0, -1),所以 =1.又因?yàn)?=(1,0), 所以 =t1. 答案:1 1,【一題多解】解答本題,你知道還有幾種解法? 方法一:選取 作為基底,設(shè) 0t1,則 = =0+1=1. =t1. 答案:1 1,方法二:利用幾何意義可知 = = =1. 設(shè) 則 = =|t|1. 答案:1 1,【易錯(cuò)警示】解答本例題(1)易出現(xiàn)如下錯(cuò)誤 在解題過程中,只看到ABC是等邊三角形,就誤認(rèn)為a與b,b與c,a與c的夾角均為60從而錯(cuò)解.,【互動(dòng)探究】本例(2)中,當(dāng)E是AB的中點(diǎn)時(shí),試求 上的投影. 【解析】方法一:如圖,過點(diǎn)E作EFDC, 垂足為F,由投影的定義知, 上的投影是 . 方法二:如圖,向量 的夾角是EDC, 所以 上的投影是| |cosEDC=,【規(guī)律方法】向量數(shù)量積的兩種計(jì)算方法 (1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí),可利用定義法求解,即ab= |a|b|cos. (2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí),可利用坐標(biāo)法求解,即若a=(x1,y1), b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2.,【變式訓(xùn)練】已知a=(1,2),2a-b=(3,1),則ab=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】選D.由已知得a(2a-b)=2a2-ab= 2|a|2-ab=25-ab=3+2,故ab=10-5=5.,【加固訓(xùn)練】1.(2013新課標(biāo)全國卷)已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60,c=ta+(1-t)b,若bc=0,則t= . 【解析】由c=ta+(1-t)b得,bc=tab+(1-t)b2=0,整理得t|a|b|cos60+(1-t)|b|2=0,化簡(jiǎn)得 t+1-t=0,所以t=2. 答案:2,2.(2013新課標(biāo)全國卷)已知正方形ABCD的邊長為2,E為CD的中點(diǎn), 則 = . 【解析】以A為原點(diǎn),以AB,AD為x,y軸建系,則A(0,0),B(2,0),D(0,2), E(1,2)故 =(1,2), =(-2,2). 故 =1(-2)+22=2. 答案:2,考點(diǎn)2 平面向量的垂直與夾角問題 【典例2】(1)(2014山東高考)在ABC中,已知 =tanA,當(dāng)A= 時(shí),ABC的面積為 . (2)已知向量 與 的夾角為120,且| |=3,| |=2.若 = + ,且 試求實(shí)數(shù)的值.,【解題提示】(1)由向量數(shù)量積的定義得出兩邊之積后再利用面積公式求面積. (2)利用 作基底,利用已知垂直關(guān)系得到的方程求解.,【規(guī)范解答】(1)由已知及平面向量數(shù)量積的定義可得 所以 所以SABC= 答案:,(2)因?yàn)?所以 =0, 即 = 故(-1)32(- )+4-9=0,解得= .,【規(guī)律方法】平面向量數(shù)量積的兩個(gè)應(yīng)用 (1)求夾角大小:若a,b為非零向量,則由平面向量的數(shù)量積公式得 cos= (夾角公式),所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān) 角度的問題. (2)確定夾角的范圍:數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角, 數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角,數(shù)量積小于0且兩向 量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角.,【變式訓(xùn)練】若|a|=2,|b|=4且(a+b)a,則a與b的夾角是( ) 【解析】選A.根據(jù)題意,由于|a|=2,|b|=4且(a+b)a,則有(a+b)a =0a2+ba=04+ba=0,所以ba=-4,那么可知a與b的夾角的余 弦值為 則a與b的夾角是 .,【加固訓(xùn)練】1.(2013安徽高考)若非零向量a,b滿足|a|=3|b|= |a+2b|,則a與b夾角的余弦值為 . 【解析】由|a|=|a+2b|,設(shè)a與b的夾角為,等式兩邊平方得a2+4ab+4b2=a2ab=-b2,所以cos= 答案:-,2.設(shè)向量a=(x-1,1),b=(-x+1,3),若a(a-b),則x= . 【解析】由題知a-b=(x-1+x-1,1-3)=(2x-2,-2), 又因?yàn)閍(a-b),所以a(a-b)=0, 所以(x-1)(2x-2)+1(-2)=0,即x2-2x=0, 所以x=0或x=2. 答案:0或2,考點(diǎn)3 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用 知考情 利用平面向量數(shù)量積求模及范圍、求參數(shù)的范圍或值,是高考考查數(shù)量積的一個(gè)重要考向,常與三角、平面幾何、解析幾何等知識(shí)相聯(lián)系.以選擇題、填空題為主,是中低檔題.,明角度 命題角度1:根據(jù)向量數(shù)量積求模或模的范圍 【典例3】(2014湖南高考)在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),A(-1,0), B(0, ),C(3,0),動(dòng)點(diǎn)D滿足| |=1,則| + + |的最大值 是 .,【解題提示】把 拆分為 + ,再利用|a+b|a|+|b|求解. 【解析】 答案:,命題角度2:利用平面向量數(shù)量積求參數(shù)的值 【典例4】(2014天津高考)已知菱形ABCD的邊長為2,BAD=120, 點(diǎn)E,F分別在邊BC,DC上,BE=BC,DF=DC.若 則+=( ),【規(guī)范解答】選C.方法一:因?yàn)锽AD=120,所以 因?yàn)锽E=BC,DF=DC, 所以 因?yàn)?=1, 所以 =1, 即2+2-= 同理可得-=- ,+得+= .,方法二:建系如圖: 易知A(0,-1),B(- ,0),C(0,1), D( ,0), 由 得E( - ,). 得F( - ,). 故 =(-1) ,+1), =(1-) ,+1), =(-1) ,-1),=(1-) ,-1), 所以 =3(-+-1)+1=1, 即-2+4+4=3. 所以2(+)-= . =3(-u-1+)+-+1 =2(+)-2-2=- , 即+-u= . -得+=,悟技法 根據(jù)數(shù)量積求?；騾?shù)的值(范圍)的一般思路 (1)利用數(shù)量積求模:通常利用已知找準(zhǔn)基底或坐標(biāo),利用基底或坐標(biāo)運(yùn)算,有時(shí)需用化歸思想,轉(zhuǎn)化為其他問題求解. (2)利用數(shù)量積求參數(shù)的值(范圍):通常有兩種運(yùn)算法,一是基底法,二是坐標(biāo)法,找準(zhǔn)解題目標(biāo),利用已知條件列出方程或方程組求解即可.,通一類 1.(2015昆明模擬)已知ABC為等邊三角形,AB=2,設(shè)點(diǎn)P,Q滿足 R,若 則=( ),【解析】選A.由題意得 又因?yàn)?且| |=| |=2, =60,=2, 所以 即 所以4+2(2-1)+4(1-)= , 解得= .,2.(2013湖南高考)已知a,b是單位向量,ab=0.若向量c滿足|c-a-b|=1,則|c|的最大值為( ),【解析】方法一:選C.條件|c-a-b|=1可以理解成如圖的情況 而|a+b|= ,向量c的終點(diǎn)在單位圓上,故|c|的最大值為 +1. 方法二:選C.由題意,得|a|=|b|=1,ab=0, 所以|a+b|= , 因?yàn)閨c-a-b|=1, 所以|c-a-b|2=c2-2c(a+b)+(a+b)2=1.,設(shè)c與a+b的夾角為, 則|c|2-2|c| cos+2=1, 即|c|2+1=2 |c|cos2 |c|,|c|2-2 |c|+10, 解得 -1|c| +1. 故|c|的最大值為 +1.,3.(2013浙江高考)設(shè)e1,e2為單位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,yR. 若e1,e2的夾角為 ,則 的最大值等于 . 【解析】,當(dāng)x=0時(shí), =0; 當(dāng)x0時(shí), 令 =t,則 4, 所以 的最大值為2. 答案:2,創(chuàng)新體驗(yàn)4 平面向量數(shù)量積中的創(chuàng)新問題 【創(chuàng)新點(diǎn)撥】 1.以向量為載體的創(chuàng)新問題是近幾年高考命題的一個(gè)熱點(diǎn),此類問題通常以數(shù)量積運(yùn)算為核心,通過數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化化歸等途徑,解決與幾何有關(guān)的問題,或以向量自身為背景,解決有關(guān)模、夾角等問題. 2.命題形式常見有新法則、新定義、新背景、新性質(zhì)、新運(yùn)算等.,【新題快遞】 1.(2014安徽高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知向量a,b,|a|=|b| =1,ab=0,點(diǎn)Q滿足 = (a+b).曲線C=P| =acos+bsin, 02,區(qū)域=P|0r| |R,rR.若C為兩段分離 的曲線,則( ) A.1rR3 B.1r3R C.r1R3 D.1r3R,【解題提示】設(shè)向量a=(1,0),b=(0,1),利用數(shù)形結(jié)合判斷. 【解析】選A.設(shè)a=(1,0),b=(0,1), 則 畫出圖象如圖所示, 因?yàn)镃為單位圓,區(qū)域?yàn)閳A環(huán),|OQ|=2, 所以1rR3.,2.(2015泉州模擬)對(duì)任意兩個(gè)非零向量 定義 若平 面向量a,b滿足|a|b|0,a與b的夾角(0, ),且 都 在集合 |nZ中,則 =( ),【解析】選C.根據(jù)題中的向量的新運(yùn)算及向量的數(shù)量積,可知 因?yàn)?0, ),所以 cos1.,又因?yàn)閨a|b|0, 所以0 1,所以0 cos1, 即 (0,1).又 所以 = , 由得, =cos2( ,1), 所以 ( )1, 所以1 2,所以 = .,3.(2015濰坊模擬)定義平面向量之間的一種運(yùn)算“”如下:對(duì)任意的a=(m,n),b=(p,q),令ab=mq-np,下面說法錯(cuò)誤的是( ) A.若a與b共線,則ab=0 B.ab=ba C.對(duì)任意的R,有(a)b=(ab) D.(ab)2+(ab)2=a2b2,【解析】選B.對(duì)于A,由a與b共線,得mq-np=0,即ab=0,故A正確; 對(duì)于B,由新定義知,ab=mq-np,而ba=np-mq,所以abba,故B 錯(cuò)誤; 對(duì)于C,(a)b=(m,n)(p,q)=mq-np=(mq-np)=(ab), 故C正確; 對(duì)于D,(ab)2+(ab)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=m2q2+n2p2+m2p2+n2q2= (m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,故D正確.,【備考指導(dǎo)】 1.準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化:解決數(shù)量積中創(chuàng)新問題時(shí),一定要讀懂題目的本質(zhì)含義.緊扣題目所給條件,結(jié)合題目要求恰當(dāng)轉(zhuǎn)化,切忌同已有的概念或定義混淆. 2.方法選取:對(duì)于創(chuàng)新問題,要恰當(dāng)選取解題方法,如數(shù)形結(jié)合,等價(jià)轉(zhuǎn)化,特殊值,逐一排除等方法,并結(jié)合數(shù)量積性質(zhì)求解.,