高考數(shù)學二輪復習 專題能力訓練17 直線與圓錐曲線 文-人教版高三數(shù)學試題

專題能力訓練17直線與圓錐曲線一、能力突破訓練1.過拋物線C:y2=4x的焦點F,且斜率為3的直線交C于點M(M在x軸的上方),l為C的準線,點N在l上且MNl,則M到直線NF的距離為()A.5B.22C.23D.332.與拋物線y2=8x相切傾斜角為135°的直線l與x軸和y軸的交點分別是A和B,那么過A,B兩點的最小圓截拋物線y2=8x的準線所得的弦長為()A.4B.22C.2D.23.設拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l過F且與C交于A,B兩點.若|AF|=3|BF|,則l的方程為()A.y=x-1或y=-x+1B.y=33(x-1)或y=-33(x-1)C.y=3(x-1)或y=-3(x-1)D.y=22(x-1)或y=-22(x-1)4.已知傾斜角為30°的直線l經(jīng)過雙曲線x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點F1,交雙曲線于A,B兩點,線段AB的垂直平分線經(jīng)過右焦點F2,則此雙曲線的漸近線方程為. 5.(2019北京人大附中信息考試,18)已知拋物線C:y2=2px過點M(2,2),點A,B是拋物線C上不同兩點,且ABOM(其中O是坐標原點),直線AO與BM相交于點P,線段AB的中點為Q.(1)求拋物線C的準線方程;(2)求證:直線PQ與x軸平行.6.已知橢圓C的兩個頂點分別為A(-2,0),B(2,0),焦點在x軸上,離心率為32.(1)求橢圓C的方程;(2)點D為x軸上一點,過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M,N,過D作AM的垂線交BN于點E.求證:BDE與BDN的面積之比為45.7.在平面直角坐標系xOy中,過橢圓M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦點的直線x+y-3=0交M于A,B兩點,P為AB的中點,且OP的斜率為12.(1)求M的方程;(2)C,D為M上兩點,若四邊形ACBD的對角線CDAB,求四邊形ACBD面積的最大值.8.(2019四川高三沖刺演練,20)已知直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點且與此拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,|AB|<8,直線l與拋物線y=x2-4相交于M,N兩點,且M,N兩點在y軸的兩側.(1)證明:y1y2為定值;(2)求直線l的斜率的取值范圍;(3)若OM·ON=-48(O為坐標原點),求直線l的方程.二、思維提升訓練9.(2019重慶一中月考,20)如圖,點C,D是離心率為12的橢圓的左、右頂點,F1,F2是該橢圓的左、右焦點,點A,B是直線x=-4上的兩個動點,連接AD和BD,分別與橢圓相交于E,F兩點,且線段EF恰好經(jīng)過橢圓的左焦點F1.當EFCD時,點E恰為線段AD的中點.(1)求橢圓的方程;(2)判斷以AB為直徑的圓與直線EF的位置關系,并加以證明.10.(2019全國,文21)已知點A,B關于坐標原點O對稱,|AB|=4,M過點A,B且與直線x+2=0相切.(1)若A在直線x+y=0上,求M的半徑;(2)是否存在定點P,使得當A運動時,|MA|-|MP|為定值?并說明理由.11.(2019湖南懷化質檢,20)已知F12,0為拋物線y2=2px(p>0)的焦點,點N(x0,y0)(y0>0)為其上一點,點M與點N關于x軸對稱,直線l與拋物線交于異于點M,N的A,B兩點,|NF|=52,kNA·kNB=-2.(1)求拋物線的標準方程和點N的坐標;(2)判斷是否存在這樣的直線l,使得MAB的面積最小.若存在,求出直線l的方程和MAB面積的最小值;若不存在,請說明理由.專題能力訓練17直線與圓錐曲線一、能力突破訓練1.C解析由題意可知拋物線的焦點F(1,0),準線l的方程為x=-1,可得直線MF:y=3(x-1),與拋物線y2=4x聯(lián)立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3.因為M在x軸的上方,所以M(3,23).因為MNl,且N在l上,所以N(-1,23).因為F(1,0),所以直線NF:y=-3(x-1).所以M到直線NF的距離為|3×(3-1)+23|(-3)2+12=23.2.C解析設直線l的方程為y=-x+b,聯(lián)立直線與拋物線方程,消元得y2+8y-8b=0.因為直線與拋物線相切,所以=82-4×(-8b)=0,解得b=-2,故直線l的方程為x+y+2=0,從而A(-2,0),B(0,-2).因此過A,B兩點的最小圓即為以AB為直徑的圓,其方程為(x+1)2+(y+1)2=2,而拋物線y2=8x的準線方程為x=-2,此時圓心(-1,-1)到準線的距離為1,故所截弦長為2(2)2-12=2.3.C解析由題意可得拋物線焦點F(1,0),準線方程為x=-1.當直線l的斜率大于0時,如圖,過A,B兩點分別向準線x=-1作垂線,垂足分別為M,N,則由拋物線定義可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.設|AM|=|AF|=3t(t>0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,在AMK中,由|BN|AM|=|BK|AK|,得t3t=xx+4t,解得x=2t,則cosNBK=|BN|BK|=tx=12,NBK=60°,則GFK=60°,即直線AB的傾斜角為60°.斜率k=tan60°=3,故直線方程為y=3(x-1).當直線l的斜率小于0時,如圖,同理可得直線方程為y=-3(x-1),故選C.4.y=±x解析如圖,MF2為線段AB的垂直平分線,可得|AF2|=|BF2|,且MF1F2=30°,可得|MF2|=2c·sin30°=c,|MF1|=2c·cos30°=3c.由雙曲線的定義可得|BF1|-|BF2|=2a,|AF2|-|AF1|=2a,即|AB|=|BF1|-|AF1|=|BF2|+2a-(|AF2|-2a)=4a,即有|MA|=2a,|AF2|=|MA|2+|MF2|2=4a2+c2,|AF1|=|MF1|-|MA|=3c-2a.由|AF2|-|AF1|=2a,可得4a2+c2-(3c-2a)=2a,可得4a2+c2=3c2,即c=2a.故b=c2-a2=a,所以漸近線方程為y=±x.5.(1)解由題意得22=4p,解得p=1.所以拋物線C的準線方程為x=-p2=-12.(2)證明設Ay122,y1,By222,y2,由ABOM得kAB=kOM=1,則y2-y1y222-y122=2y2+y1=1,所以y2+y1=2.所以線段AB的中點Q的縱坐標yQ=1.直線AO的方程為y=y1y122x=2y1x.當y2-2時,直線BM的方程為y-2=y2-2y222-2(x-2)=2y2+2(x-2).聯(lián)立y=2y1x,y-2=2y2+2(x-2),解得x=y12,y=1,即點P的縱坐標yP=1.當y2=-2時,直線BM的方程為x=2.聯(lián)立y=2y1x,x=2,解得x=2,y=4y1.因為y2+y1=2,所以y1=4.所以y=1,即點P的縱坐標為yP=1.綜上可知,直線PQ與x軸平行.6.(1)解設橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).由題意得a=2,ca=32,解得c=3.所以b2=a2-c2=1.所以橢圓C的方程為x24+y2=1.(2)證明設M(m,n),則D(m,0),N(m,-n).由題設知m±2,且n0.直線AM的斜率kAM=nm+2,故直線DE的斜率kDE=-m+2n.所以直線DE的方程為y=-m+2n(x-m),直線BN的方程為y=n2-m(x-2).聯(lián)立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),解得點E的縱坐標yE=-n(4-m2)4-m2+n2.由點M在橢圓C上,得4-m2=4n2.所以yE=-45n.又SBDE=12|BD|·|yE|=25|BD|·|n|,SBDN=12|BD|·|n|,所以BDE與BDN的面積之比為45.7.解(1)設A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,y2-y1x2-x1=-1,由此可得b2(x2+x1)a2(y2+y1)=-y2-y1x2-x1=1.因為x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,y0x0=12,所以a2=2b2.又由題意知,M的右焦點為(3,0),所以a2-b2=3.所以a2=6,b2=3.所以M的方程為x26+y23=1.(2)由x+y-3=0,x26+y23=1,解得x=433,y=-33或x=0,y=3.因此|AB|=463.由題意可設直線CD的方程為y=x+n-533<n<3,設C(x3,y3),D(x4,y4).由y=x+n,x26+y23=1得3x2+4nx+2n2-6=0.于是x3,4=-2n±2(9-n2)3.因為直線CD的斜率為1,所以|CD|=2|x4-x3|=439-n2.由已知,四邊形ACBD的面積S=12|CD|·|AB|=8699-n2.當n=0時,S取得最大值,最大值為863.所以四邊形ACBD面積的最大值為863.8.(1)證明由題意可得,直線l的斜率存在,故可設直線l的方程為y=k(x-1)(k0),聯(lián)立y2=4x,y=k(x-1),得ky2-4y-4k=0,則y1y2=-4kk=-4為定值.(2)解由(1)知,y1+y2=4k,x1+x2=y1+y2k+2=4k2+2,則|AB|=x1+x2+p=y1+y2k+2=4k2+4<8,即k2>1.聯(lián)立y=k(x-1),y=x2-4,得x2-kx+k-4=0,M,N兩點在y軸的兩側,=k2-4(k-4)=k2-4k+16>0,且k-4<0,k<4.由k2>1及k<4可得k<-1或1<k<4,故直線l的斜率的取值范圍為(-,-1)(1,4).(3)解設M(x3,y3),N(x4,y4),則x3+x4=k,x3x4=k-4,OM·ON=x3x4+y3y4=x3x4+k2(x3-1)(x4-1)=(1+k2)x3x4-k2(x3+x4)+k2=(1+k2)(k-4)-k3+k2=-3k2+k-4=-48,解得k=-113或k=4.又k(-,-1)(1,4),k=-113.故直線l的方程為y=-113x+113.二、思維提升訓練9.解(1)當EFCD時,點E恰為線段AD的中點,a+c=4-c.又e=ca=12,聯(lián)立解得c=1,a=2.又a2=b2+c2,b=3.橢圓的方程為x24+y23=1.(2)由題意可知直線EF不可能平行于x軸,設EF的方程為x=my-1,E(x1,y1),F(x2,y2),由x24+y23=1,x=my-1,得(3m2+4)y2-6my-9=0,=(-6m)2+36(3m2+4)>0,y1+y2=6m3m2+4,y1y2=-93m2+4.(*)設A(-4,yA),由A,E,D三點共線得yA=-6y1x1-2=-6y1my1-3,同理可得yB=-6y2my2-3.yA+yB=-6y1my1-3+-6y2my2-3=-62my1y2-3(y1+y2)m2y1y2-3m(y1+y2)+9=-62m·-93m2+4-36m3m2+4m2·-93m2+4-3m·6m3m2+4+9=6m,|yA-yB|=-6y1my1-3-6y2my2-3=18|y1-y2|m2y1y2-3m(y1+y2)+9=186m3m2+42-4-93m2+4m2-93m2+4-3m6m3m2+4+9=6m2+1.設AB的中點為M,則點M的坐標為-4,yA+yB2,即(-4,3m),點M到直線EF的距離d=|-4-3m2+1|1+m2=3m2+1=12|yA-yB|=12|AB|.故以AB為直徑的圓始終與直線EF相切.10.解(1)因為M過點A,B,所以圓心M在AB的垂直平分線上.由已知A在直線x+y=0上,且A,B關于坐標原點O對稱,所以M在直線y=x上,故可設M(a,a).因為M與直線x+2=0相切,所以M的半徑為r=|a+2|.由已知得|AO|=2,又MOAO,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.故M的半徑r=2或r=6.(2)存在定點P(1,0),使得|MA|-|MP|為定值.理由如下:設M(x,y),由已知得M的半徑為r=|x+2|,|AO|=2.由于MOAO,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化簡得M的軌跡方程為y2=4x.因為曲線C:y2=4x是以點P(1,0)為焦點,以直線x=-1為準線的拋物線,所以|MP|=x+1.因為|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在滿足條件的定點P.11.解(1)由題意知p=1,故拋物線方程為y2=2x.由|NF|=x0+p2=52,則x0=2,y02=4.y0>0,y0=2.N(2,2).(2)由題意知直線的斜率不為0,則可設直線l的方程為x=ty+b.聯(lián)立y2=2x,x=ty+b,得y2-2ty-2b=0.設兩個交點Ay122,y1,By222,y2(y1±2,y2±2),則=4t2+8b>0,y1+y2=2t,y1y2=-2b,由kNA·kNB=y1-2y122-2·y2-2y222-2=4(y1+2)(y2+2)=-2,整理得b=2t+3.此時,=4(t2+4t+6)>0恒成立.故直線l的方程為x=ty+2t+3,即x-3=t(y+2),從而直線l過定點E(3,-2).又M(2,-2),MAB的面積S=12|ME|y1-y2|=t2+4t+6=(t+2)2+2.當t=-2時,MAB的面積有最小值2,此時直線l的方程為x+2y+1=0.