高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 題型練8 大題專項(xiàng)6 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

題型練8大題專項(xiàng)(六)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題1.已知函數(shù)f(x)=ex(ex-a)-a2x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)0,求a的取值范圍.2.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex.(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線斜率為0,求a;(2)若f(x)在x=1處取得極小值,求a的取值范圍.3.(2019貴州遵義模擬,20)設(shè)函數(shù)f(x)=13x3-12x2+ax,aR.(1)若x=2是f(x)的極值點(diǎn),求a的值;(2)已知函數(shù)g(x)=f(x)-12ax2+23,若g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn),求a的取值范圍.4.已知函數(shù)f(x)=-2xln x+x2-2ax+a2,其中a>0.(1)設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),討論g(x)的單調(diào)性;(2)證明:存在a(0,1),使得f(x)0恒成立,且f(x)=0在區(qū)間(1,+)內(nèi)有唯一解.5.(2019江西吉安一中等八校聯(lián)考,21)已知函數(shù)f(x)=12ax-a+1-lnxx.(1)若函數(shù)f(x)為減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)f(x)有兩個不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.6.(2019北京,文20)已知函數(shù)f(x)=14x3-x2+x.(1)求曲線y=f(x)的斜率為1的切線方程;(2)當(dāng)x-2,4時,求證:x-6f(x)x;(3)設(shè)F(x)=|f(x)-(x+a)|(aR),記F(x)在區(qū)間-2,4上的最大值為M(a).當(dāng)M(a)最小時,求a的值.題型練8大題專項(xiàng)(六)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題1.解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-,+),f'(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).若a=0,則f(x)=e2x,在區(qū)間(-,+)內(nèi)單調(diào)遞增.若a>0,則由f'(x)=0得x=lna.當(dāng)x(-,lna)時,f'(x)<0;當(dāng)x(lna,+)時,f'(x)>0.故f(x)在區(qū)間(-,lna)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(lna,+)內(nèi)單調(diào)遞增.若a<0,則由f'(x)=0得x=ln-a2.當(dāng)x-,ln-a2時,f'(x)<0;當(dāng)xln-a2,+時,f'(x)>0.故f(x)在區(qū)間-,ln-a2內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間ln-a2,+內(nèi)單調(diào)遞增.(2)若a=0,則f(x)=e2x,所以f(x)0.若a>0,則由(1)得,當(dāng)x=lna時,f(x)取得最小值,最小值為f(lna)=-a2lna.從而當(dāng)且僅當(dāng)-a2lna0,即a1時,f(x)0.若a<0,則由(1)得,當(dāng)x=ln-a2時,f(x)取得最小值,最小值為fln-a2=a234-ln-a2.從而當(dāng)且僅當(dāng)a234-ln-a20,即a-2e34時f(x)0.綜上,a的取值范圍是-2e34,1.2.解(1)因?yàn)閒(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex,所以f'(x)=ax2-(a+1)x+1ex.所以f'(2)=(2a-1)e2.由題設(shè)知f'(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=12.(2)(方法一)由(1)得f'(x)=ax2-(a+1)x+1ex=(ax-1)(x-1)ex.若a>1,則當(dāng)x1a,1時,f'(x)<0;當(dāng)x(1,+)時,f'(x)>0.所以f(x)在x=1處取得極小值.若a1,則當(dāng)x(0,1)時,ax-1x-1<0,所以f'(x)>0.所以1不是f(x)的極小值點(diǎn).綜上可知,a的取值范圍是(1,+).(方法二)由(1)得f'(x)=(ax-1)(x-1)ex.當(dāng)a=0時,令f'(x)=0,得x=1.f'(x),f(x)隨x的變化情況如下表:x(-,1)1(1,+)f'(x)+0-f(x)極大值f(x)在x=1處取得極大值,不符合題意.當(dāng)a>0時,令f'(x)=0,得x1=1a,x2=1.當(dāng)x1=x2,即a=1時,f'(x)=(x-1)2ex0,f(x)在R上單調(diào)遞增,f(x)無極值,不符合題意.當(dāng)x1>x2,即0<a<1時,f'(x),f(x)隨x的變化情況如下表:x(-,1)11,1a1a1a,+f'(x)+0-0+f(x)極大值極小值f(x)在x=1處取得極大值,不符合題意.當(dāng)x1<x2,即a>1時,f'(x),f(x)隨x的變化情況如下表:x-,1a1a1a,11(1,+)f'(x)+0-0+f(x)極大值極小值f(x)在x=1處取得極小值,即a>1滿足題意.當(dāng)a<0時,令f'(x)=0,得x1=1a,x2=1.f'(x),f(x)隨x的變化情況如下表:x-,1a1a1a,11(1,+)f'(x)-0+0-f(x)極小值極大值f(x)在x=1處取得極大值,不符合題意.綜上所述,a的取值范圍為(1,+).3.解(1)因?yàn)閒(x)=13x3-12x2+ax,aR,所以f'(x)=x2-x+a.因?yàn)閤=2是f(x)的極值點(diǎn),所以f'(2)=4-2+a=0,解得a=-2.(2)因?yàn)間(x)=13x3-12(1+a)x2+ax+23,所以g'(x)=x2-(1+a)x+a=(x-1)(x-a).當(dāng)a1時,x(0,1),g'(x)>0恒成立,即g(x)單調(diào)遞增.又g(0)=23>0,因此函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)沒有零點(diǎn).當(dāng)0<a<1時,x(0,a),g'(x)>0,即g(x)單調(diào)遞增;x(a,1),g'(x)<0,即g(x)單調(diào)遞減.又g(0)=23>0,因此要使函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn),必有g(shù)(1)<0,所以1312(1+a)+a+23<0.解得a<-1,舍去.當(dāng)a0時,x(0,1),g'(x)<0,即g(x)單調(diào)遞減;又g(0)=23>0,因此要使函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn),必有g(shù)(1)<0,解得a<-1滿足條件.綜上可得,a的取值范圍是(-,-1).4.(1)解由已知,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+),g(x)=f'(x)=2(x-1-lnx-a),所以g'(x)=2-2x=2(x-1)x.當(dāng)x(0,1)時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x(1,+)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.(2)證明由f'(x)=2(x-1-lnx-a)=0,解得a=x-1-lnx.令(x)=-2xlnx+x2-2x(x-1-lnx)+(x-1-lnx)2=(1+lnx)2-2xlnx,則(1)=1>0,(e)=2(2-e)<0.于是,存在x0(1,e),使得(x0)=0.令a0=x0-1-lnx0=u(x0),其中u(x)=x-1-lnx(x1).由u'(x)=1-1x0知,函數(shù)u(x)在區(qū)間(1,+)內(nèi)單調(diào)遞增.故0=u(1)<a0=u(x0)<u(e)=e-2<1.即a0(0,1).當(dāng)a=a0時,有f'(x0)=0,f(x0)=(x0)=0.再由(1)知,f'(x)在區(qū)間(1,+)內(nèi)單調(diào)遞增,當(dāng)x(1,x0)時,f'(x)<0,從而f(x)>f(x0)=0;當(dāng)x(x0,+)時,f'(x)>0,從而f(x)>f(x0)=0;又當(dāng)x(0,1時,f(x)=(x-a0)2-2xlnx>0.故x(0,+)時,f(x)0.綜上所述,存在a(0,1),使得f(x)0恒成立,且f(x)=0在區(qū)間(1,+)內(nèi)有唯一解.5.解(1)f(x)=12ax-a+1-lnxx,f'(x)=12a-1-lnxx2.函數(shù)f(x)為減函數(shù),f'(x)0,即12a1-lnxx2對x(0,+)恒成立.設(shè)m(x)=1-lnxx2,則m'(x)=2lnx-3x3.m(x)在區(qū)間(0,e32)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(e32,+)內(nèi)單調(diào)遞增.m(x)min=m(e32)=-12e3.12a-12e3,即a-e-3,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-,-e-3.(2)易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+),f(x)=12ax2-(a-1)x-lnxx.設(shè)h(x)=12ax2-(a-1)x-lnx,則原命題等價于函數(shù)h(x)有兩個不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.可知h'(x)=ax-(a-1)-1x=ax2-(a-1)x-1x=(ax+1)(x-1)x,當(dāng)a0時,函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+)內(nèi)單調(diào)遞增,若函數(shù)h(x)有兩個不同的零點(diǎn),則必有h(1)=-12a+1<0,即a>2.此時,在x(1,+)內(nèi),有h(2)=2a-2(a-1)-ln2=2-ln2>0;在x(0,1)內(nèi),h(x)=12a(x2-2x)+x-lnx,-1<x2-2x<0,h(x)>-12a+x-lnx,h(e-12a)>-12a+e-12a-ln(e-12a)=e-12a>0,h(x)在區(qū)間(0,1),(1,+)內(nèi)各有一個零點(diǎn),故a>2符合題意;當(dāng)a=-1時,可知函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞減,函數(shù)h(x)至多有一個零點(diǎn),不符合題意;當(dāng)-1<a<0時,可知函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間1,-1a內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間-1a,+內(nèi)單調(diào)遞減,函數(shù)h(x)的極小值為h(1)=-12a+1>0,函數(shù)h(x)至多有一個零點(diǎn),不符合題意;當(dāng)a<-1時,可知函數(shù)h(x)在區(qū)間0,-1a內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間-1a,1內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+)內(nèi)單調(diào)遞減,函數(shù)h(x)的極小值為h-1a=12a+1a(a-1)-ln-1a=1-12a+ln(-a)>0,函數(shù)h(x)至多有一個零點(diǎn),不符合題意.綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,+).6.(1)解由f(x)=14x3-x2+x得f'(x)=34x2-2x+1.令f'(x)=1,即34x2-2x+1=1,得x=0或x=83.又f(0)=0,f83=827,所以曲線y=f(x)的斜率為1的切線方程是y=x與y-827=x-83,即y=x與y=x-6427.(2)證明令g(x)=f(x)-x,x-2,4.由g(x)=14x3-x2得g'(x)=34x2-2x,令g'(x)=0得x=0或x=83.g'(x),g(x)的情況如下:x-2(-2,0)00,838383,44g'(x)+-+g(x)-60-64270所以g(x)的最小值為-6,最大值為0.故-6g(x)0,即x-6f(x)x.(3)解由(2)知,當(dāng)a<-3時,M(a)F(0)=|g(0)-a|=-a>3;當(dāng)a>-3時,M(a)F(-2)=|g(-2)-a|=6+a>3;當(dāng)a=-3時,M(a)=3.綜上,當(dāng)M(a)最小時,a=-3.