（江蘇專用）高考數學總復習 第八篇《第49講　空間向量及其坐標運算》理（含解析） 蘇教版

A級基礎達標演練(時間：45分鐘滿分：80分)一、填空題(每小題5分，共35分)1已知向量a，b(x,1,2)，其中x0.若ab，則實數x等于_解析ab且x0存在0使ab(x，2)答案x42以下四個命題中正確的是_(填序號)空間的任何一個向量都可用其他三個向量表示若a，b，c為空間向量的一組基底，則ab，bc，ca構成空間向量的另一組基底ABC為直角三角形的充要條件是·0任何三個不共線的向量都可構成空間向量的一組基底解析若ab、bc、ca為共面向量，則ab(bc)(ca)，(1)a(1)b()c，不可能同時為1，設1，則abc，則a、b、c為共面向量，此與a，b，c為空間向量基底矛盾答案3給出下列四個命題：若pxayb，則p與a，b共面；若p與a，b共面，則pxayb.若xy，則P，M，A、B共面；若P，M，A，B共面，則xy.其中真命題的序號是_解析其中為正確命題答案4已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，則實數等于_解析由題意得ctab(2t，t4，3t2)，t，.答案5如圖，已知空間四邊形OABC，OBOC，且AOBAOC，則cos，的值為_解析設a，b，c由已知條件a，ba，c，且|b|c|，·a·(cb)a·ca·b|a|c|a|b|0，cos，0.答案06如圖所示，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB、AC，M、N分別為OA、 BC的中點，點G在線段MN上，且2，若xyz，則x，y，z的值分別為_解析()×()×x，y，z的值分別為，.答案，7在空間四邊形ABCD中，···_.解析如圖，設a，b，c，···a·(cb)b·(ac)c·(ba)0答案0二、解答題(每小題15分，共45分)8證明三個向量ae13e22e3，b4e16e22e3，c3e112e211e3共面證明設axbyc由已知條件解得x，y即abc故a，b，c三個向量共面9如圖，在棱長為a的正方體ABCD­A1B1C1D1中，G為BC1D的重心， (1)試證A1、G、C三點共線；(2)試證A1C平面BC1D；(3)求點C到平面BC1D的距離(1)證明因為G是BC1D的重心，所以C(CC)，所以CBCC3，即A1、G、C三點共線(2)證明設a，b，c，則|a|b|c|a，且a·bb·cc·a0，abc，ca，·(abc)·(ca)c2a20，即CA1BC1，同理可證：CA1BD，因此A1C平面BC1D.(3)解abc，2a2b2c23a2，即|a，因此|a.即C到平面BC1D的距離為a.10如圖，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M、N分別是AB、CD的中點 (1)求證：MNAB，MNCD；(2)求MN的長解(1)設Ap，Aq，Ar.由題意可知：|p|q|r|a，且p、q、r三向量兩兩夾角均為60°.MAA(AA)A(qrp)，M·A(qrp)·p(q·pr·pp2)(a2·cos 60°a2·cos 60°a2)0.MNAB，同理可證MNCD.(2)由(1)可知，MN(qrp)|M2|(qrp)2q2r2p22(q·rp·qr·p)×2a2.|M|a，MN的長為a.B級綜合創(chuàng)新備選(時間：30分鐘滿分：60分)一、填空題(每小題5分，共30分)1正四面體ABCD的棱長為1，G是ABC的中心，M在線段DG上，且AMB90°，則GM的長為_ 解析設a，b，c.a(abc)abc，(ab)abcabc由·0可解得，|.答案2給出下列命題：若ab，bc，則ac；不等式|ab|a|b|的充要條件是a與b不共線；若非零向量c垂直于不共線的向量a和b，dab(、R，且0)，則cd.正確命題的序號是_解析只有命題是正確命題答案3在下列條件中，使M與A、B、C一定共面的是_2；0；0；解析0，則、為共面向量，即M、A、B、C四點共面答案4在空間四邊形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45°，OAB60°，則OA與BC所成角的余弦值等于_ 解析設Oa，Ob，Oc.設OA與BC所成的角為，則O·Ba·(cb)a·ca·ba·(aA)a·(aA)a2a·Aa2a·A2416.cos .答案5已知在一個60°的二面角的棱上，如圖有兩個點A，B，AC，BD分別是在這個二面角的兩個半平面內垂直于AB的線段，且AB4 cm，AC6 cm，BD8 cm，則CD的長為_解析設a，b，c由已知條件|a|8，|b|4，|c|6a，b90°，b，c90°，a，c60°|2|2|cba|2a2b2c22a·b2a·c2b·c68，則|2.答案2 cm6已知ABCD-A1B1C1D1為正方體，給出下列四個命題：()23A1B12；·()0；向量與向量的夾角是60°；正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為|A··A|.其中正確命題的序號是_解析設正方體的棱長為1，中()2323，故正確；中，由于AB1A1C，故正確；中A1B與AD1兩異面直線所成角為60°，但與的夾角為120°，故不正確；中|A··A|0.故也不正確答案二、解答題(每小題15分，共30分)7如圖，在空間四邊形SABC中，AC、BS為其對角線，O為ABC的重心，試證： (1)0；(2)()證明(1)()，()，()，得0.(2)，由(1)得：0.得3即()8如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F，G分別是AB、AD、CD的中點，計算： (1)·；(2)·；(3)EG的長；(4)異面直線AG與CE所成角的余弦值解設a，b，c.則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°，ca，a，bc，(1)··(a) a2a·c，(2)·(ca)·(bc) (b·ca·bc2a·c)；(3)abacb abc，|2a2b2c2a·bb·cc·a，則|.(4)bc，ba，cos，由于異面直線所成角的范圍是，所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為.