（課標專用）天津市高考數(shù)學二輪復習 專題能力訓練17 直線與圓錐曲線-人教版高三數(shù)學試題

專題能力訓練17直線與圓錐曲線專題能力訓練第40頁 一、能力突破訓練1.已知O為坐標原點,F是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點,A,B分別為C的左、右頂點.P為C上一點,且PFx軸.過點A的直線l與線段PF交于點M,與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點,則C的離心率為()A.13B.12C.23D.34答案:A解析:由題意,不妨設直線l的方程為y=k(x+a),k>0,分別令x=-c與x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.設OE的中點為G,由OBGFBM,得12|OE|FM|=|OB|BF|,即ka2k(a-c)=aa+c,整理,得ca=13,故橢圓的離心率e=13,故選A.2.已知雙曲線x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為5,則拋物線x2=4y的焦點到雙曲線的漸近線的距離是()A.510B.55C.255D.455答案:B解析:拋物線x2=4y的焦點為(0,1),雙曲線x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為5,所以ba=c2-a2a2=e2-1=2,雙曲線的漸近線為y=±bax=±2x,則拋物線x2=4y的焦點到雙曲線的漸近線的距離是11+4=55.故選B.3.如果與拋物線y2=8x相切且傾斜角為135°的直線l與x軸和y軸的交點分別是A和B,那么過A,B兩點的最小圓截拋物線y2=8x的準線所得的弦長為()A.4B.22C.2D.2答案:C解析:設直線l的方程為y=-x+b,聯(lián)立直線與拋物線方程,消元得y2+8y-8b=0.因為直線與拋物線相切,所以=82-4×(-8b)=0,解得b=-2,故直線l的方程為x+y+2=0,從而A(-2,0),B(0,-2).因此過A,B兩點的最小圓即為以AB為直徑的圓,其方程為(x+1)2+(y+1)2=2.而拋物線y2=8x的準線方程為x=-2,此時圓心(-1,-1)到準線的距離為1,故所截弦長為2(2)2-12=2.4.已知雙曲線C:x23-y2=1,O為坐標原點,F為C的右焦點,過點F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M,N.若OMN為直角三角形,則|MN|=()A.32B.3C.23D.4答案:B解析:由條件知F(2,0),漸近線方程為y=±33x,所以NOF=MOF=30°,MON=60°90°.不妨設OMN=90°,則|MN|=3|OM|.又|OF|=2,在RtOMF中,|OM|=2cos30°=3,所以|MN|=3.5.在平面直角坐標系xOy中,雙曲線C1:x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線C2:x2=2py(p>0)交于點O,A,B.若OAB的垂心為C2的焦點,則C1的離心率為. 答案:32解析:雙曲線的漸近線方程為y=±bax.由y=bax,x2=2py,得A2bpa,2b2pa2.由y=-bax,x2=2py,得B-2bpa,2b2pa2.F0,p2為OAB的垂心,kAF·kOB=-1.即2b2pa2-p22bpa-0·-ba=-1,解得b2a2=54,c2a2=94,即可得e=32.6.設橢圓C:x22+y2=1的右焦點為F,過F的直線l與C交于A,B兩點,點M的坐標為(2,0).(1)當l與x軸垂直時,求直線AM的方程;(2)設O為坐標原點,證明:OMA=OMB.(1)解由已知得F(1,0),l的方程為x=1.由已知可得,點A的坐標為1,22或1,-22.所以AM的方程為y=-22x+2或y=22x-2.(2)證明當l與x軸重合時,OMA=OMB=0°,當l與x軸垂直時,OM為AB的垂直平分線,所以OMA=OMB.當l與x軸不重合也不垂直時,設l的方程為y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),則x1<2,x2<2,直線MA,MB的斜率之和為kMA+kMB=y1x1-2+y2x2-2.由y1=kx1-k,y2=kx2-k,得kMA+kMB=2kx1x2-3k(x1+x2)+4k(x1-2)(x2-2).將y=k(x-1)代入x22+y2=1,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1.則2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=4k3-4k-12k3+8k3+4k2k2+1=0.從而kMA+kMB=0,故MA,MB的傾斜角互補,所以OMA=OMB.綜上,OMA=OMB.7.如圖,已知拋物線x2=y,點A-12,14,B32,94,拋物線上的點P(x,y)-12<x<32.過點B作直線AP的垂線,垂足為Q.(1)求直線AP斜率的取值范圍;(2)求|PA|·|PQ|的最大值.解:(1)設直線AP的斜率為k,則k=x2-14x+12=x-12.因為-12<x<32,所以直線AP斜率的取值范圍是(-1,1).(2)聯(lián)立直線AP與BQ的方程kx-y+12k+14=0,x+ky-94k-32=0,解得點Q的橫坐標是xQ=-k2+4k+32(k2+1).因為|PA|=1+k2x+12=1+k2(k+1),|PQ|=1+k2(xQ-x)=-(k-1)(k+1)2k2+1,所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,因為f'(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在區(qū)間-1,12內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間12,1內(nèi)單調(diào)遞減,因此當k=12時,|PA|·|PQ|取得最大值2716.8.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,A(a,0),B(0,b),O(0,0),OAB的面積為1.(1)求橢圓C的方程;(2)設P是橢圓C上一點,直線PA與y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N,求證:|AN|·|BM|為定值.(1)解由題意得ca=32,12ab=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=1.所以橢圓C的方程為x24+y2=1.(2)證明由(1)知,A(2,0),B(0,1).設P(x0,y0),則x02+4y02=4.當x00時,直線PA的方程為y=y0x0-2(x-2).令x=0,得yM=-2y0x0-2,從而|BM|=|1-yM|=1+2y0x0-2.直線PB的方程為y=y0-1x0x+1.令y=0,得xN=-x0y0-1,從而|AN|=|2-xN|=2+x0y0-1.所以|AN|·|BM|=2+x0y0-1·1+2y0x0-2=x02+4y02+4x0y0-4x0-8y0+4x0y0-x0-2y0+2=4x0y0-4x0-8y0+8x0y0-x0-2y0+2=4.當x0=0時,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,所以|AN|·|BM|=4.綜上,|AN|·|BM|為定值.9.設拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程.解:(1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0).設A(x1,y1),B(x2,y2).由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+16>0,故x1+x2=2k2+4k2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2.由題設知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程為y=x-1.(2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.設所求圓的圓心坐標為(x0,y0),則y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.二、思維提升訓練10.已知點M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點.若AMB=90°,則k=. 答案:2解析:設直線AB:x=my+1,聯(lián)立x=my+1,y2=4xy2-4my-4=0,則y1+y2=4m,y1y2=-4.而MA=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),MB=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).AMB=90°,MA·MB=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5=-4(m2+1)+(2m-1)4m+5=4m2-4m+1=0.m=12.k=1m=2.11.(2019北京,理18)已知拋物線C:x2=-2py經(jīng)過點(2,-1).(1)求拋物線C的方程及其準線方程.(2)設O為原點,過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M,N,直線y=-1分別交直線OM,ON于點A和點B.求證:以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點.(1)解由拋物線C:x2=-2py經(jīng)過點(2,-1),得p=2.所以拋物線C的方程為x2=-4y,其準線方程為y=1.(2)證明拋物線C的焦點為F(0,-1).設直線l的方程為y=kx-1(k0).由y=kx-1,x2=-4y,得x2+4kx-4=0.設M(x1,y1),N(x2,y2),則x1x2=-4.直線OM的方程為y=y1x1x.令y=-1,得點A的橫坐標xA=-x1y1.同理得點B的橫坐標xB=-x2y2.設點D(0,n),則DA=-x1y1,-1-n,DB=-x2y2,-1-n,DA·DB=x1x2y1y2+(n+1)2=x1x2-x124-x224+(n+1)2=16x1x2+(n+1)2=-4+(n+1)2.令DA·DB=0,即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3.綜上,以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(0,1)和(0,-3).12.設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過點B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E.(1)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點E的軌跡方程;(2)設點E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點,過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MPNQ面積的取值范圍.解:(1)因為|AD|=|AC|,EBAC,故EBD=ACD=ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圓A的標準方程為(x+1)2+y2=16,從而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.由題設得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由橢圓定義可得點E的軌跡方程為x24+y23=1(y0).(2)當l與x軸不垂直時,設l的方程為y=k(x-1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),由y=k(x-1),x24+y23=1,得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,則x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3,所以|MN|=1+k2|x1-x2|=12(k2+1)4k2+3.過點B(1,0)且與l垂直的直線m:y=-1k(x-1),點A到直線m的距離為2k2+1,所以|PQ|=242-2k2+12=44k2+3k2+1.故四邊形MPNQ的面積S=12|MN|PQ|=121+14k2+3.可得當l與x軸不垂直時,四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,83).當l與x軸垂直時,其方程為x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四邊形MPNQ的面積為12.綜上,四邊形MPNQ面積的取值范圍為12,83).13.已知斜率為k的直線l與橢圓C:x24+y23=1交于A,B兩點,線段AB的中點為M(1,m)(m>0).(1)證明:k<-12.(2)設F為C的右焦點,P為C上一點,且FP+FA+FB=0.證明:|FA|,|FP|,|FB|成等差數(shù)列,并求該數(shù)列的公差.(1)證明設A(x1,y1),B(x2,y2),則x124+y123=1,x224+y223=1.兩式相減,并由y1-y2x1-x2=k,得x1+x24+y1+y23·k=0.由題設知x1+x22=1,y1+y22=m,于是k=-34m.由題設得0<m<32,故k<-12.(2)解由題意得F(1,0).設P(x3,y3),則(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及題設得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又點P在C上,所以m=34,從而P1,-32,|FP|=32.于是|FA|=(x1-1)2+y12=(x1-1)2+31-x124=2-x12.同理|FB|=2-x22.所以|FA|+|FB|=4-12(x1+x2)=3.故2|FP|=|FA|+|FB|,則|FA|,|FP|,|FB|成等差數(shù)列,設該數(shù)列的公差為d,則2|d|=|FB|-|FA|=12|x1-x2|=12(x1+x2)2-4x1x2.將m=34代入得k=-1.所以l的方程為y=-x+74,代入C的方程,并整理得7x2-14x+14=0.故x1+x2=2,x1x2=128,代入解得|d|=32128.所以該數(shù)列的公差為32128或-32128.