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高考數(shù)學(xué) 考前3個月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題9 平面直角坐標(biāo)與不等式 第35練 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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高考數(shù)學(xué) 考前3個月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題9 平面直角坐標(biāo)與不等式 第35練 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第35練坐標(biāo)系與參數(shù)方程題型分析·高考展望高考主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標(biāo)方程;參數(shù)方程與普通方程的互化,常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應(yīng)用以極坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式,同時考查直線與曲線位置關(guān)系等解析幾何知識體驗高考1(2016·課標(biāo)全國甲)在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為(x6)2y225.(1)以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求C的極坐標(biāo)方程;(2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),l與C交于A、B兩點,|AB|,求l的斜率解(1)由xcos,ysin可得圓C的極坐標(biāo)方程212cos 110.(2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為(R)設(shè)A,B所對應(yīng)的極徑分別為1,2,將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得212cos 110.于是1212cos ,1211.|AB|12|.由|AB|得cos2,tan ±.所以l的斜率為或.2(2015·江蘇)已知圓C的極坐標(biāo)方程為22·sin40,求圓C的半徑解以極坐標(biāo)系的極點為平面直角坐標(biāo)系的原點O,以極軸為x軸的正半軸,建立直角坐標(biāo)系xOy.圓C的極坐標(biāo)方程為2240,化簡,得22sin 2cos 40.則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y40,即(x1)2(y1)26,所以圓C的半徑為.高考必會題型題型一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點作為極點,x軸正半軸作為極軸,且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位如圖,設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點,它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x,y)和(,),則例1在極坐標(biāo)系中,曲線C1:(cossin )1與曲線C2:a(a>0)的一個交點在極軸上,求a的值解(cossin )1,即cossin1對應(yīng)的普通方程為xy10,a(a>0)對應(yīng)的普通方程為x2y2a2.在xy10中,令y0,得x.將代入x2y2a2得a.點評(1)在由點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時,一定要注意點所在的象限和極角的范圍,否則點的極坐標(biāo)將不唯一(2)在與曲線的方程進行互化時,一定要注意變量的范圍,要注意轉(zhuǎn)化的等價性變式訓(xùn)練1在以O(shè)為極點的極坐標(biāo)系中,直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程分別是cos()3和sin28cos ,直線l與曲線C交于點A、B,求線段AB的長解cos()coscossinsincossin3,直線l對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為xy6.又sin28cos ,2sin28cos .曲線C對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程是y28x.解方程組得或所以A(2,4),B(18,12),所以AB16.即線段AB的長為16.題型二參數(shù)方程與普通方程的互化1直線的參數(shù)方程過定點M(x0,y0),傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))2圓的參數(shù)方程圓心在點M(x0,y0),半徑為r的圓的參數(shù)方程為(為參數(shù),02)3圓錐曲線的參數(shù)方程(1)橢圓1的參數(shù)方程為(為參數(shù))(2)拋物線y22px(p>0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))例2(2015·福建)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在極坐標(biāo)系(與平面直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸非負半軸為極軸)中,直線l的方程為sinm(mR)(1)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2,求m的值解(1)消去參數(shù)t,得到圓C的普通方程為(x1)2(y2)29.由sinm,得sincosm0.所以直線l的直角坐標(biāo)方程為xym0.(2)依題意,圓心C到直線l的距離等于2,即2,解得m3±2.點評(1)將參數(shù)方程化為普通方程,需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征,選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǔR姷南麉⒎椒ㄓ写胂麉⒎ǎ訙p消參法,平方消參法等(2)將參數(shù)方程化為普通方程時,要注意兩種方程的等價性,不要增解、漏解,若x、y有范圍限制,要標(biāo)出x、y的取值范圍變式訓(xùn)練2已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),P是橢圓y21上的任意一點,求點P到直線l的距離的最大值解由于直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),故直線l的普通方程為x2y0.因為P為橢圓y21上的任意一點,故可設(shè)P(2cos ,sin ),其中R.因此點P到直線l的距離是d.所以當(dāng)k,kZ時,d取得最大值.題型三極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用解決與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程有關(guān)的綜合問題時,要注意普通方程與參數(shù)方程的互化公式,主要是通過互化解決與圓、圓錐曲線上動點有關(guān)的問題,如最值、范圍等例3(2015·課標(biāo)全國)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:(t為參數(shù),t0),其中0,在以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:2sin ,曲線C3:2cos .(1)求C2與C3交點的直角坐標(biāo);(2)若C1與C2相交于點A,C1與C3相交于點B,求|AB|的最大值解(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0,曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0.聯(lián)立解得或所以C2與C3交點的直角坐標(biāo)為(0,0)和.(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為(R,0),其中0.因此A的極坐標(biāo)為(2sin ,),B的極坐標(biāo)為(2cos ,)所以|AB|2sin 2cos |4.當(dāng)時,|AB|取得最大值,最大值為4.點評(1)利用參數(shù)方程解決問題,要理解參數(shù)的幾何意義(2)解決直線、圓和圓錐曲線的有關(guān)問題,將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程或?qū)?shù)方程化為普通方程,有助于對方程所表示的曲線的認識,從而達到化陌生為熟悉的目的,這是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用變式訓(xùn)練3(2015·陜西)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,C的極坐標(biāo)方程為2sin .(1)寫出C的直角坐標(biāo)方程;(2)P為直線l上一動點,當(dāng)P到圓心C的距離最小時,求P的直角坐標(biāo)解(1)由2sin ,得22sin ,從而有x2y22y,所以x2(y)23.(2)設(shè)P,又C(0,),則|PC|,故當(dāng)t0時,|PC|取得最小值,此時,P點的直角坐標(biāo)為(3,0)高考題型精練1已知圓的極坐標(biāo)方程為4cos ,圓心為C,點P的極坐標(biāo)為(4,),求CP的長解由4cos 得24cos ,即x2y24x,即(x2)2y24,圓心C(2,0),又由點P的極坐標(biāo)為(4,)可得點P的直角坐標(biāo)為(2,2),CP2.2(2015·安徽改編)在極坐標(biāo)系中,求圓8sin 上的點到直線(R)距離的最大值解圓8sin 化為直角坐標(biāo)方程為x2y28y0,即x2(y4)216,直線(R)化為直角坐標(biāo)方程為yx,結(jié)合圖形知圓上的點到直線的最大距離可轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離再加上半徑圓心(0,4)到直線yx的距離為2,又圓的半徑r4,所以圓上的點到直線的最大距離為6.3在極坐標(biāo)系中,已知三點M(2,)、N(2,0)、P(2,)(1)將M、N、P三點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo);(2)判斷M、N、P三點是否在一條直線上解(1)由公式得M的直角坐標(biāo)為(1,);N的直角坐標(biāo)為(2,0);P的直角坐標(biāo)為(3,)(2)kMN,kNP.kMNkNP,M、N、P三點在一條直線上4(2015·重慶改編)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos 24,求直線l與曲線C的交點的極坐標(biāo)解直線l的直角坐標(biāo)方程為yx2,由2cos 24得2(cos2sin2)4,直角坐標(biāo)方程為x2y24,把yx2代入雙曲線方程解得x2,因此交點為(2,0),其極坐標(biāo)為(2,)5以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),圓C的極坐標(biāo)方程是4cos ,求直線l被圓C截得的弦長解直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))化為直角坐標(biāo)方程是yx4,圓C的極坐標(biāo)方程4cos 化為直角坐標(biāo)方程是x2y24x0.圓C的圓心(2,0)到直線xy40的距離為d.又圓C的半徑r2,因此直線l被圓C截得的弦長為22.6(2016·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))設(shè)直線l與橢圓C相交于A,B兩點,求線段AB的長解直線l的方程化為普通方程為xy0,橢圓C的方程化為普通方程為x21,聯(lián)立方程組得解得或A(1,0),B.故AB.7(2015·湖南)已知直線l:(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos .(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點M的直角坐標(biāo)為(5,),直線l與曲線C的交點為A,B,求|MA|·|MB|的值解(1)2cos 等價于22cos .將2x2y2,cosx代入即得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0.(2)將代入式,得t25t180.設(shè)這個方程的兩個實根分別為t1,t2,則由參數(shù)t的幾何意義即知,|MA|·|MB|t1t2|18.8已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),圓C的極坐標(biāo)方程為4cos.(1)將圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)若圓上有且僅有三個點到直線l的距離為,求實數(shù)a的值解(1)由4cos,得4cos 4sin .即24cos 4sin .由得x2y24x4y0,得(x2)2(y2)28.所以圓C的直角坐標(biāo)方程為(x2)2(y2)28.(2)直線l的參數(shù)方程可化為y2xa,則由圓的半徑為2知,圓心(2,2)到直線y2xa的距離恰好為.所以,解得a6±.

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