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浙江省諸暨市2024屆高三適應(yīng)性考試(三模) 數(shù)學(xué)試題【含答案】

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浙江省諸暨市2024屆高三適應(yīng)性考試(三模) 數(shù)學(xué)試題【含答案】

諸暨市2024年5月高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知拋物線,則其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(    )ABC1D42若關(guān)于的不等式的解集為,則(    )A,B,C,D,3有一組樣本數(shù)據(jù):2,3,3,3,4,4,5,5,6,6則關(guān)于該組數(shù)據(jù)的下列數(shù)字特征中,數(shù)值最大的為(    )A第75百分位數(shù)B平均數(shù)C極差D眾數(shù)4在的展開式中,含項(xiàng)的系數(shù)是10,則(    )A0B1C2D45若非零向量,滿足,則在方向上的投影向量為(    )ABCD6已知,為曲線:的焦點(diǎn),則下列說法錯(cuò)誤的是(    )A若,則曲線的離心率B若,則曲線的離心率C若曲線上恰有兩個(gè)不同的點(diǎn),使得,則D若,則曲線上存在四個(gè)不同的點(diǎn),使得7已知函數(shù)滿足:對任意實(shí)數(shù),都有成立,且,則(    )A為奇函數(shù)B為奇函數(shù)C為偶函數(shù)D為偶函數(shù)8設(shè),已知,若恒成立,則的取值范圍為(    )ABCD二、多項(xiàng)選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分,部分選對的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9若,則(    )ABCD10已知,為圓上的兩個(gè)動點(diǎn),點(diǎn),且,則(    )ABC外接圓圓心的軌跡方程為D重心的軌跡方程為11已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),則下列說法正確的是(    )A的值可以取B的值可以取C的值關(guān)于單調(diào)遞減D三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分.12若復(fù)數(shù)滿足:,則復(fù)數(shù)的虛部為 13記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積,已知,則 ; 14若正四面體的棱長為1,以三個(gè)側(cè)面為底面向外作三個(gè)正四面體,則外接圓的半徑是 四、解答題:本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15已知函數(shù)的所有正零點(diǎn)構(gòu)成遞增數(shù)列(1)求函數(shù)的周期和最大值;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和16如圖,在三棱錐中,是正三角形,平面平面,點(diǎn)是的中點(diǎn),(1)求證:為三棱錐外接球的球心;(2)求直線與平面所成角的正弦值;(3)若,求平面與平面所成銳二面角的余弦值最大時(shí)的值17已知雙曲線:與直線:交于、兩點(diǎn)(在左側(cè)),過點(diǎn)的兩條關(guān)于對稱的直線、分別交雙曲線于、兩點(diǎn)(在右支,在左支)(1)設(shè)直線的斜率為,直線的斜率為,求的值;(2)若直線與雙曲線在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn),求的面積18如圖是一個(gè)各棱長均為1米的正四棱錐,現(xiàn)有一只電子蛐蛐在棱上爬行,每次從一個(gè)頂點(diǎn)開始,等可能地沿棱爬到相鄰頂點(diǎn),已知電子蛐蛐初始從頂點(diǎn)出發(fā),再次回到頂點(diǎn)時(shí)停止爬行.(1)求電子蛐蛐爬行2米后恰好回到頂點(diǎn)的概率;(2)在電子蛐蛐停止爬行時(shí)爬行長度不超過4米的條件下,記爬行長度為,求的分布列及其數(shù)學(xué)期望;(3)設(shè)電子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行(首次回到頂點(diǎn))的概率記為,求(用表示).19若函數(shù)在區(qū)間上有定義,且,則稱是的一個(gè)“封閉區(qū)間”(1)已知函數(shù),區(qū)間且的一個(gè)“封閉區(qū)間”,求的取值集合;(2)已知函數(shù),設(shè)集合(i)求集合中元素的個(gè)數(shù);(ii)用表示區(qū)間的長度,設(shè)為集合中的最大元素證明:存在唯一長度為的閉區(qū)間,使得是的一個(gè)“封閉區(qū)間”1B【分析】化簡拋物線的方程為,求得,即為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.【詳解】由題意,拋物線,即,解得,即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是故選:B2B【分析】由題得、為方程的根,利用韋達(dá)定理計(jì)算即可得解.【詳解】由已知可得、為方程的根,由韋達(dá)定理可得:,解得:故選:B3A【分析】分別求出該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)、平均數(shù)、極差、眾數(shù),比較大小,即可得到答案.【詳解】計(jì)算第75百分位數(shù):,則取第8位數(shù)據(jù),即該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為5;平均數(shù)為;極差為;眾數(shù)為3.綜上,第75百分位數(shù)最大.故選:A.4C【分析】在的展開式中含的項(xiàng)即從5個(gè)因式中取4個(gè),1個(gè)常數(shù)項(xiàng)即可寫出含的項(xiàng),則可得出答案.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)展開式可知含項(xiàng)即從5個(gè)因式中取4個(gè),1個(gè)常數(shù)項(xiàng)即可寫出含的項(xiàng);所以含的項(xiàng)是,可得;即可得.故選:C5B【分析】利用向量的模長關(guān)系可得,再由投影向量的定義即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得,所以,則所以,則在方向上的投影向量為.故選:B6C【分析】根據(jù)給定的方程,結(jié)合橢圓、雙曲線的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可得解.【詳解】對于A,當(dāng)時(shí),曲線是橢圓,離心率,A正確;對于B,當(dāng)時(shí),曲線是雙曲線,離心率,B正確;對于C,當(dāng)時(shí),曲線是橢圓,其短半軸長,半焦距,顯然以線段為直徑的圓恰過這個(gè)橢圓短軸端點(diǎn),即符合條件的可以是8,C錯(cuò)誤;對于D,當(dāng)時(shí),則曲線是焦點(diǎn)在x上的雙曲線,則,以線段為直徑的圓與雙曲線有4個(gè)交點(diǎn),即符合條件的點(diǎn)有4個(gè),D正確.故選:C7D【分析】由題意令,可得,令,可得,可得關(guān)于對稱,據(jù)此逐項(xiàng)判斷可得結(jié)論.【詳解】令,則,所以,令,則,即,又,所以關(guān)于對稱,所以關(guān)于對稱,故A不正確;關(guān)于對稱,故B不正確;由A可知關(guān)于對稱,故C不正確;由A可知關(guān)于對稱,故為奇函數(shù),所以為偶數(shù),故D正確.故選:D.8C【分析】根據(jù)題意得到,推出,得到答案.【詳解】由題意得,故,故,故,由于,故.故選:C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:9AD【分析】先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系弦化切求出正切,再根據(jù)二倍角計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)榉肿臃帜付汲艘?所以可得,故A選項(xiàng)正確,,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;,D選項(xiàng)正確.故選:AD.10ABC【分析】根據(jù)圓的性質(zhì),可得判定A正確;當(dāng)線段的中垂線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),此時(shí)取得最值,結(jié)合圓的性質(zhì),可判定B正確;設(shè)的外接圓的圓心為,根據(jù),求得軌跡方程,可判定以C正確;設(shè)的重心為點(diǎn),結(jié)合C項(xiàng),求得其軌跡方程,可判定D錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)閳A,可得圓心,半徑為,且點(diǎn)在圓內(nèi),對于A中,由,根據(jù)圓的性質(zhì),可得,即,即,所以的最大值為,所以A正確;對于B中,因?yàn)椋?dāng)線段的中垂線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),此時(shí)取得最值,如圖所示,可得時(shí),可得,時(shí),可得,所以B正確;對于C中,設(shè)的外接圓的圓心為,則,則有,可得,即,所以C正確;對于D中,設(shè)的重心為點(diǎn),則,由C項(xiàng)知的外接圓的圓心點(diǎn)的軌跡方程為,且點(diǎn)為的中點(diǎn),即,所以,即,即,所以D錯(cuò)誤.故選:ABC.11ACD【分析】對函數(shù)求導(dǎo),分析函數(shù)單調(diào)性,對和,分別求極值,判斷極值的符號,結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定方法求零點(diǎn)個(gè)數(shù),可得AB的真假;把轉(zhuǎn)合成,數(shù)形結(jié)合,通過函數(shù)與的交點(diǎn),分析的值關(guān)于關(guān)系,判斷C的真假;先根據(jù),推出,在根據(jù),可得D正確.【詳解】求導(dǎo)得,當(dāng)時(shí),恒成立,故在上為減函數(shù),不可能有兩個(gè)零點(diǎn),故;令,得,當(dāng),;當(dāng)時(shí),;則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故的最小值為;對于A選項(xiàng):當(dāng)時(shí),故,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,則,故,則,當(dāng)時(shí),;且時(shí),;故在及各有一個(gè)零點(diǎn),故A對;對于B選項(xiàng):當(dāng)時(shí),于是,故在上無零點(diǎn),故B錯(cuò);對于C,即,可視為兩函數(shù)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo),當(dāng)增加,直線斜率變小,同時(shí)向下平移,故收縮變小,故C正確;對于D,因?yàn)闉楹瘮?shù)的零點(diǎn),則,不妨設(shè),則,又,所以設(shè),則,令,則,所以,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),即,即,故D正確.故選:ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行:(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程;(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,判斷單調(diào)性;已知單調(diào)性,求參數(shù);(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值),解決函數(shù)的恒成立與有解問題,同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.121【分析】設(shè)復(fù)數(shù),再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,就可以解得虛部.【詳解】設(shè),由得:,即,則,代入得:,解得,故答案為:.13 2 2025【分析】由數(shù)列的前項(xiàng)積,利用賦值法令可求得,將表達(dá)式化簡可得數(shù)列是等差數(shù)列,即可求得.【詳解】根據(jù)題意令,可知,又?jǐn)?shù)列的各項(xiàng)均為正,即;解得;由可得,即,可得;所以數(shù)列是以為首項(xiàng),公差為的等差數(shù)列;因此,所以.故答案為:2;2025.14#【分析】結(jié)合正四面體的圖形特征,結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式和正弦定理求出的外接圓半徑即可.【詳解】將此正四面體 放置在正方體中,從而可得 ,則 的中心為且此中心為 的中點(diǎn),則,的中心為且此中心為的中點(diǎn),則,的中心為且此中心為的中點(diǎn),則,等邊外接圓的半徑是 . 故答案為: .15(1)周期2,最大值2(2),【分析】(1)先應(yīng)用輔助角公式化簡再得出最大值即可;(2)令可得出,根據(jù)題意確定數(shù)列的首項(xiàng)和公差,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】(1)由題可得,因此函數(shù)的周期,當(dāng),即時(shí),取最大值,最大值為(2)由得,因此函數(shù)的所有正零點(diǎn)為,因此是首項(xiàng)為,公差為1的等差數(shù)列;,16(1)證明見解析(2)(3)【分析】(1)根據(jù)圖形特征得出即得證球心;(2)根據(jù)線面角定義結(jié)合線面垂直及面面垂直性質(zhì)定理可得;(3)空間向量法求出銳二面角的余弦值再結(jié)合最值可得參數(shù).【詳解】(1)為的中線,且,則為正的中心,又中,即為三棱錐外接球的球心(2)是正三角形,點(diǎn)是的中點(diǎn),又平面平面,平面平面,平面,平面為直線與平面所成的角又,,即直線與平面所成角的正弦值為(3)在平面中,過點(diǎn)作,垂足為,設(shè),則,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè),則,設(shè)平面的法向量為,由,得,令,故,設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則設(shè)平面與平面所成銳二面角的平面角為,當(dāng)時(shí),此時(shí)最大,即當(dāng)時(shí),平面與平面所成銳二面角的余弦值最大17(1)1(2)【分析】(1)設(shè)直線、的傾斜角分別為、(、),則,再利用斜率與傾斜角的關(guān)系,結(jié)合誘導(dǎo)公式求解;    (2)先求出點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而得到雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為,不妨設(shè)直線為,與雙曲線方程聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理和三角形面積公式求解.【詳解】(1)由題意知直線斜率為1,直線的傾斜角,設(shè)直線、的傾斜角分別為、(、),直線、關(guān)于直線對稱,(2)聯(lián)立,雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為不妨設(shè)直線為,聯(lián)立得,整理得,將等式看作關(guān)于的方程:兩根之和,兩根之積,而其中,由(1)得,直線為,過定點(diǎn),又雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為,過點(diǎn),18(1)(2)分布列見解析,(3)【分析】(1)根據(jù)獨(dú)立事件概率公式計(jì)算即可;(2)結(jié)合條件概率先求離散型隨機(jī)變量的分布列再求出數(shù)學(xué)期望;(3)結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出.【詳解】(1)記事件“電子蛐蛐爬行的第米終點(diǎn)為”,“電子蛐蛐爬行的第米終點(diǎn)為”,“電子蛐蛐爬行的第米終點(diǎn)為”,“電子蛐蛐爬行的第米終點(diǎn)為”,“電子蛐蛐爬行的第米終點(diǎn)為”,“電子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行”,則(2)記事件“電子蛐蛐停止爬行時(shí),爬行長度不超過4米”的可能取值為2,3,4,根據(jù)條件概率的知識,可得的分布列為,用表格表示的分布列為:234(3)(,)得:,19(1)(2)(i)2;(ii)證明見解析【分析】(1)根據(jù)“封閉區(qū)間”的定義,對函數(shù)求導(dǎo)并求出其值域解不等式可得的取值集合;(2)(i)對求導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)性,利用零點(diǎn)存在定理即可求得集合中元素的個(gè)數(shù)為2個(gè);(ii)根據(jù)區(qū)間長度的定義,對參數(shù)進(jìn)行分類討論得出的所有可能的“封閉區(qū)間”即可得出證明.【詳解】(1)由題意,恒成立,所以在上單調(diào)遞增,可得的值域?yàn)?,因此只需,即可得,即,則的取值集合為(2)(i)記函數(shù),則,由得或;由得;所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減其中,因此當(dāng)時(shí),不存在零點(diǎn);由在單調(diào)遞減,易知,而, 由零點(diǎn)存在定理可知存在唯一的使得;當(dāng)時(shí),不存在零點(diǎn)綜上所述,函數(shù)有0和兩個(gè)零點(diǎn),即集合中元素的個(gè)數(shù)為2(ii)由(i)得,假設(shè)長度為的閉區(qū)間是的一個(gè)“封閉區(qū)間”,則對,當(dāng)時(shí),由(i)得在單調(diào)遞增,即,不滿足要求;當(dāng)時(shí),由(i)得在單調(diào)遞增,即,也不滿足要求;當(dāng)時(shí),閉區(qū)間,而顯然在單調(diào)遞增,由(i)可得,滿足要求綜上,存在唯一的長度為的閉區(qū)間,使得是的一個(gè)“封閉區(qū)間”【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題關(guān)鍵在于理解“封閉區(qū)間”的定義,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)判斷出各函數(shù)的單調(diào)性和對應(yīng)的單調(diào)區(qū)間,再結(jié)合區(qū)間長度的定義分類討論即可得出結(jié)論.

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