讓文化架起一座溝通數學的橋梁 上海交通大學《數學與文化》課程的

單擊此處編輯母版標題樣式,*,*,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,*,讓文化架起溝通數學的橋梁-上海交通大學?數學與文化?課程建設,紀志剛,上海交通大學科學史系,2021年7月15日 南開大學,1,?上海交通大學關于設置本科通識教育核心課程的意見?2021,課程設置:人文科學、社會科學、自然科學與工程技術、數學與邏輯,數學類通識課程的教學重點是“數學思想和思想方法。使學生了解數學開展中的重大事件及數學家的創(chuàng)見和創(chuàng)造，了解數學的文化功能和思想價值，以及對科技進步和社會開展的意義，尤其要注重培養(yǎng)學生的數學思維能力。,2,?數學與文化?課程的總體設計,一 課程的根本架構,“數學主題為先導，即選擇不同歷史時期具有典型意義的數學概念、思想、方法，簡要表達歷史開展，通過數學開展中的重大事件、著名數學家的創(chuàng)見和發(fā)現，揭示數學思想演變和數學方法的形成。,3,圍繞“數學主題，尋找相應的“文化切入點，通過探討數學與文學、藝術、宗教等人文科學，以及其他自然科學分支的內在聯系，注重說明數學的理性精神和文化魅力；在幫助學生了解數學的文化功能和思想價值的同時，注重培養(yǎng)學生的數學思維能力。,通過探索數學對科技進步和社會開展的作用，說明數學是人類文明的主要組成局部和不可缺少的重要文化力量。,4,具體做法是：確立15個左右的“數學主題，對每個主題或突出其在數學思想史上的重要意義、或突出其在思想方法或創(chuàng)新思維的啟發(fā)例如；,每個主題的“文化切入點那么注重揭示數學的文化功能和思想價值，展示數學對科技進步和社會開展的意義。,5,為了啟發(fā)思想，培養(yǎng)學生自主學習和創(chuàng)新知識的能力，本課程擬就“東西方數學文化的特點與比較、“數學在科學革命中的作用、“數學與文學、“數學與美學、“數學與音樂、“數學大師創(chuàng)新思維特點“數學與當代社會等專題組織學生展開討論，歸納分析、共同總結，鼓勵學生走上講臺進行個人展示。,二,課程的個性化要求,6,三,課堂教學拓展與深化,為了配合課堂教學，本課程有選擇放映假設干部與數學相關的電影，如：?美麗的心靈?、?費馬的房間?、百老匯音樂劇?費馬最后的探戈?，幫助學生更直觀地了解數學與文化的相互關系。同時引導學生閱讀歐幾里得?幾何原本?，?九章算術?，伽利略?兩門新科學的談話?、笛卡爾?幾何學?、牛頓?自然哲學的數學原理?、希爾伯特?幾何學根底?等數學原典(片斷)，為學生創(chuàng)設親炙大師的時機。,7,推薦學生閱讀?古今數學思想?、?西方文化中的數學?、?微積分概念史?、?數學精英?、?費馬大定理?、?數學恩仇錄?、?后現代思想的數學根源?等數學與文化的名篇佳作，拓展學生的知識視野，提升學生的數學品位。,8,導論 數學與文化理性、精神和信念,單元1 從前有個數 ：記數法那么與數系擴張,數學主題：古代埃及、巴比倫、印度、中國的記數法；數系擴張,文化切入點： 古代文明記數法的文化差異與共性,單元2 數學的理性：希臘的哲學與數學,數學主題：柏拉圖的數學觀；歐幾里得與?原本?,文化切入點：數學中的柏拉圖主義；用“幾何精神架構社會契約,單元3 中國古代數學的東方特色,數學主題： ?九章算術?； 劉徽的數學思想,文化切入點： 中國傳統(tǒng)數學的社會性,9,單元4 數學在歐洲的復興,數學主題：中世紀的數學；數學與文藝復興,文化切入點：“三文、四藝；奧馬爾.海亞姆與?魯拜集?；繪畫與透視學；數學在科學革命中的作用,單元5 新數學、新世界、新觀念,數學主題：微積分的創(chuàng)立；牛頓與?自然哲學的數學原理?,文化切入點：機械論自然觀；牛頓學說及其對哲學、宗教和文學的影響,單元6 分析算術化,數學主題：極限、函數、導數、積分概念的嚴密化；實數理論的完善,文化切入點：貝克萊論戰(zhàn)；數學與人的本性,10,單元 非歐幾何：奇妙的新世界,數學主題：第五公設；非歐幾何；幾何根底,文化切入點： 物理空間與數學空間；相對論的數學根底,單元8 青春的律動：阿貝爾與伽羅瓦,數學主題：五次以上方程的可解性；群論,文化切入點：數學天才與社會環(huán)境，數學創(chuàng)新思維的個案分析,單元9 探索無窮,數學主題：“實無窮與“潛無窮 ；康托“超限數理論,文化切入點： 東西方無窮觀念的比較；無窮的文化史,11,單元10 上帝是否在擲骰子？,數學主題：從賭徒問題到概率論，隨機過程,文化切入點：數學與大自然的運作,單元11 讓數字說話-社會學研究中的統(tǒng)計方法,數學主題：數理統(tǒng)計簡要歷史,文化切入點：用統(tǒng)計的觀點看世界,單元12美麗的數學心靈,數學主題： 納什與博弈論,文化切入點：“納什博弈與社會生活,12,單元13 維爾斯VS陳景潤,主題：費馬大定理；哥德巴赫猜測,文化切入點：徐遲的報告文學?哥德巴赫猜測?,單元14 數學的真理性,數學主題： 悖論與數學危機；哥德爾不完備定理,文化切入點：“否認比肯定更具普遍性,單元15 數學與后現代思想,數學主題：數學根底的三大流派及其爭論,文化切入點：結構主義、功能主義和解構主義的數學語境分析,13,課程特點,兩條主線：不同歷史時期數學與文化相互交融,板塊交叉：東方與西方、古典與現代、思想與方法、宏觀與微觀,多元視角：數學與文化形態(tài)宗教、藝術、文學等、社會進步、政治變革的互動關系,14,幾個案例,第一講 從前有個數 ：記數法那么與數系擴張,數學主題：,古代埃及、巴比倫、印度、中國的記數法,數系擴張,文化切入點：,古代文明記數法的文化差異與共性,15,“數說文化,相傳，蘇東坡與學友赴京趕考，因漲大水，船只行進困難，耽誤時日，眼看應考就要遲到，學友嘆曰：一葉孤舟，坐二三個騷客，啟用四漿五帆， 經由六灘七灣，歷盡八顛九簸，可嘆十分來遲,蘇東坡那么勸勉道： 十年寒窗，進九八家書院，拋卻七情六欲， 苦讀五經四書，考了三番二次，今天一定要中,上聯從一數到十，下聯又倒著從十數到一，不僅數字使用巧妙得當，而且將莘莘學子寒窗苦讀、赴京趕考的艱難表述得淋漓盡致。,16,Da mi basia mille,Gaius Valerius Catullus,(ca. 84 BC ca. 54 BC),da mi basia,mille,deinde,centum,dein,mille,altera,dein secunda,centum,deinde usque altera,mille,deinde,centum,.dein, cum milia multa fecerimus,conturbabimus illa, ne sciamus,aut ne quis malus inuidere possit,cum tantum sciat esse basiorum.,17,數字的生命-摘自電影?,男：我喜歡數字，一個你，一個我，一個月亮，一個太陽。,女：我一定要繞著你轉嗎？我是圍繞你旋轉的銀星嗎？你是光和熱的源泉，而我只是影子，引起潮水漲落和寒冷嗎？,男：我只不過說了一個數字，一個意念。我喜歡單一的狀態(tài)。僅此而已,女：單一是一個基于幻覺的詞，生活本身由融合開展開來。而是結合，是釋放，是吸引和拒絕，是肯定或否認，不是“獨奏曲。但是，把我們引導到這里的是甜蜜的二重奏，然后忘記我們邂逅的事情。是帶給我們歡樂，欲望帶我們走向愛。,18,男：你說得對，現在我要說。你和他，現在是我。,女：天??！還是讓我們藏在數字里吧。一間四面有墻的房子，把外面的喧囂關在門外,男：我們扯的太遠了。我忘記了比還要早的事情。關于空虛、巨大和無邊的虛無狀態(tài)。這是我們唯一需要的數字。零是陛下，它無聲無息的主導我們的生活。,女：說的好。但我覺得太神秘了。人們創(chuàng)造了零。因此，我們可以數數，可以計算難以想象的巨大而棘手的數字，然后增加到的力量。我們開始計算空間和時間。,19,第二講 數學的理性：希臘的哲學與數學,數學主題：,柏拉圖的數學觀,歐幾里得與?原本?,文化切入點：,柏拉圖主義,用“幾何精神架構社會契約,20,柏拉圖主義的根本觀點是：數學的對象就是數、量、圖形等數學概念，而數學概念作為抽象一般或“共相，是客觀存在著的。柏拉圖認為它們存在于一個特殊的理念世界里，后世的柏拉圖主義者并不接受“理念論，但也認為數學概念是一種特殊的獨立于現實世界之外的客觀存在，它們是不依賴于時間、空間和人的思維的永恒的存在。數學家得到新的概念不是創(chuàng)造，而是對這種客觀存在的描述；數學新成果不是創(chuàng)造，而是發(fā)現。與之相應的，柏拉圖主義認為數學理論的真理性是客觀的，是由那種獨立于現實世界之外的存在決定的，而這種真理性是要靠“心智經驗來理解，靠某種“數學直覺來認識的，人們只有通過直覺才能到達獨立于現實世界之外的“數學世界。,數學中的柏拉圖主義,21,“幾何精神與社會“契約,斯賓諾莎：?倫理學?Ethics，1675,第一章：8條定義，7條公理,證明8條定理和推論，證明的結尾標注：,Q.E.D.( quod erat demonstrandum-此即所證),22,馬爾薩斯Thomas Malthus：,?人口論?An Essay on the Principle of Population,1798),開篇先立兩條公設postulata：,1對于人類的生存，食物是必需的；,2兩性之間的情欲是必需的，并且將以相近目前的狀態(tài)持續(xù)下去。,據此推出人口已幾何級數增長，而食物以算術級數增長。,23,?獨立宣言?,Declaration of Independence,1776,“我們認為下面這些真理是不言而喻(self-evident )的：人人生而平等，造物者賦予他們假設干不可剝奪的權利，其中包括生命權、自由權和追求幸福的權利。 ,?葛底斯堡演說?1863,“八十七年前，我們的先輩們在這塊大地上創(chuàng)立了一個新的國家，孕育于自由，奉行人皆生而平等的原理proposition,24,西學與“戊戌維新,康有為是近代中國以數學方法來闡釋人文理論的第一人。他認為：“天文地理各學皆從算學入，通算猶識字也。 他鼓勵學生要循序漸進，學好數學。,據?康南海自編年譜?載，他自己于1885年即“從事算學，以幾何著?人類公理?，第二年“又作?公理書?，依幾何為之者 。,25,維新運動時期，康有為在前兩稿根底上，編成?實理公法全書?，模擬歐幾里得?幾何原本?的思維路數，將其認定的人類必須共同遵守的公私關系的道理，分門別類，歸算為假設干“實理，類似歐氏幾何學的“定義；而把其所設計的為保證“實理得到遵守的社會生活準那么，叫作“公法，與之作為比照的是各國現行或曾行、將行的信條，即所謂“比例；還在各論條之下加按語說明，分別相當于歐氏幾何學的“定理、“公式和“證明。,26,譚嗣同也非常重視數學、幾何學。他創(chuàng)辦的第一個學會就是算學會。他說，“算法為格致入門之始，“格致、制造、測地、行海諸學，固無一不自測算而得。他曾下苦功通讀過?幾何原本?前六卷，還試圖解答其中的疑難問題，認為“算學即不深，而不可不習幾何學。蓋論事辦事之條段在是矣。,和康有為一樣，譚嗣同也以數學邏輯來建立其哲學體系。?仁學?中的?界說?即模仿?幾何原本?書前的“界說定義制定。例如，界說第十四條“不生與不滅平等，那么生與滅平等，生滅與不生不滅亦平等，即是以?幾何原本?公論來推演的-推演錯了！。,27,第三講 中國古代數學的東方特色,數學主題：?九章算術?， 劉徽的數學思想：“割圓術，“無理根數，“牟合方蓋球體求積-無窮觀念與極限方法,“開之不盡，為不可開，當以面命之?九章?,劉徽：不以面命之，加定法如前，求其微數。微數無名者，其一退以十為母，再退以百為母，退之彌下，其分彌細，雖朱冪雖有所棄之數缺乏言也。,文化切入點：中國傳統(tǒng)數學的社會性,昔者周公問于商高曰：竊聞乎大夫善數也。請問古者包犧立周天歷度，夫天不可階而升，地不可得尺寸而度。請問數安從出？,商高曰：數之法出于圓方。圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數之所生也。,周公曰：大哉言數。 ,-?周髀算經?,周公問數,既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五,伏羲執(zhí)矩，女媧執(zhí)規(guī),東漢畫像石山東武梁祠,周公曰：大哉言數。請問用矩之道。,商高曰：平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環(huán)矩以為圓，合矩以為方。方屬地，圓屬天。天圓地方，方數為典。以方出圓，笠以寫天。天青黑，地黃赤。天數之為笠也，青黑為表，丹黃為里，以象天地之位。是故知地者智，知天者圣。智出于句，句出于矩。夫矩之于數，其裁制萬物，惟所為耳。,周公曰：善哉。,?唐闕史?：楊損擇吏的故事,青州楊尚書損，觀風陜郊日，政令頗肅，郡人戎校缺，必采于輿論而升陟之， 縷及細胥賤卒，率用斯道，以是蒞政累載，無積薪嘆燥請托之源。一日，使院有專兵籍者闕，局司頗重，選置惟難。有吏兩人，眾推合授，較其歲月職次，功績 違犯，無少差異者，従事掾不能決，請裁于長，長或臆斷，誰曰無私。楊公俯首久之，曰：“余得之矣。乃謂曰：“為吏之最，孰先于書算耶！姑聽吾言：有夕道于叢林間者，聆群跖評竊賄之數，且曰：人六匹那么長五匹，人七匹那么短八匹。 不知幾人復幾匹？顧主硯小吏著于紙，令俯階籌之，且曰：“先達者勝。少頃，一吏果以狀先，遂授良闕，儕類那么眙伏而退。,第五講 新數學、新世界、新觀念,數學主題：,微積分的創(chuàng)立,牛頓與?自然哲學的數學原理?,文化切入點：,自然的數學化,機械論自然觀,牛頓學說及其對哲學、宗教和文學的影響,35,自然的數學化,哥白尼的日心說比托勒密地心說更優(yōu)越，在于它有著數學上的簡潔性。,伽利略：自然這部書“是用數學語言寫成的，字母是三角形、圓以及其它幾何圖形，沒有這些，人類連一個字也讀不懂。,牛頓的解釋“自然不做徒勞的事，解釋多了白費口舌，言簡意賅才見真諦。因為自然喜歡簡單性，不會響應于多于原因的侈談。,笛卡爾的偉大設想：“一切問題化為數學問題，一切數學問題化為代數問題，一切代數問題化為代數方程求解問題。,36,機械論自然觀確實立,以牛頓運動三定律和萬有引力定律為根底，機械論自然觀描繪了這樣一幅世界藍圖：,1整個宇宙是由不可再分的物質微粒即原子構成；,2物質的性質由原子的數量組合和空間結構決定；,3原子的質量守恒、慣性、廣延性、不可入性等等，是一切物質的共同屬性；,4物質之間存在相互作用的萬有引力；,5一切物質運動都是絕對、均勻的空間和時間的位移，遵循機械運動規(guī)律，保持嚴格的因果關系；,6 物質運動的根本原因在于外力推動。,37,機械論自然觀的特征,1  人與自然的別離；,2  自然界的數學設計；,3   物理世界的復原論說明；,4  自然界與機器的類比。,38,數學,-,萬理之源,“我獻出這一作品，作為哲學-即科學的數學原理，因為哲學的全部困難似乎在于從運動現象研究自然界的力，然后從這些力去說明其他現象。我希望，自然界的其他現象，亦可以用同樣的方法，由數學原理推導出來。許多理由使我產生了一種想法：這些現象都與某種力有關，物體之質點，以某種尚未為人所知的原因，通過這種力或互相吸引，或按一定規(guī)那么形式聚合，或者互相吸引，或者互相排斥。,-牛頓?自然哲學的數學原理·序言?,39,經典力學：牛頓的世界,聲學定律：聲速測定,彈性定律：胡克,大氣壓強定律：伽利略、托里折利,血液循環(huán)：哈維,能量轉換定律：化學、熱學、力學,意義：,所有自然現象都可以從運動定律和引力定律中推導出來,！,40,“萬有引力如何成為法國夫人們的“愛情定律？,41,第六講 分析算術化,數學主題：,極限、函數、導數、積分概念的嚴密化,實數理論的完善,文化切入點：,貝克萊論戰(zhàn),數學與人的本性,?人類理智論?洛克，1690,?人類知識原理?貝克萊，1710,?人類理解研究?休謨，1748,?道德與立法原理引論?邊沁，1789,?人性分析?穆勒,上帝和大自然將總的框架定下，宣稱自然和社會猶如一個整體,“該體系的每個構成要素，都是從以數學的方式建立的各種定理出發(fā)，并能夠復原到這些定理的。,“用定理或共同的高級概念將各命題結合起來，通過一種完整而無闕漏的演繹，就可到達幾乎近于歐幾里得幾何學的邏輯性體系。,第七講 非歐幾何：奇妙的新世界,數學主題：,第五公設,非歐幾何,幾何根底,文化切入點：,物理空間與數學空間,相對論的數學根底,如何理解“外星人的世界,有界而無窮,圖中所有三角形的面積在非歐度量下都是相等的！,Coxster,加拿大幾何學家,心有靈犀一點通,天使與魔鬼,荷蘭版畫藝術大師,M.C.,埃舍爾的作品之一,圓極限,III,一連串的魚像火箭發(fā)射一樣從邊緣處以直角向中心竄出，對于歐氏幾何來說，這些魚大小不同，而對于非歐度量來說，它們是“全等的！,埃舍爾,Escher,瀑布 魚與鳥,非歐幾何就在我們腳下！,直線:球面大圓,-任二直線都相交!,球面三角形的根本定理,-三角形內角和大于1800,如何理解“外星人的世界,只有在歐氏空間中，戰(zhàn)神的激光槍發(fā)出的光才是平直的！,第十二講 美麗的數學心靈,觀看影片?美麗的心靈?,數學主題：,納什與博弈論,文化切入點：,“納什博弈與社會生活,51,導演：Ron Howard,主演：Russell Crowe,.John Nash Jennifer Connelly,.Alicia Nash Ed Harris,William Parcher,Christopher Plummer,.Dr. Rosen,2001獲獎情況：8項奧斯卡提名,2002年74屆Oscar：,最正確影片,最正確導演,最正確改編劇本,最正確女配角,52,Mathematicians won the war, mathematicians broke the codes and built the A-bomb. Mathematicians like you.,53,這是一部描寫數學天才的電影，但數學并不是“主題，那么，“主題是什么？,54,我一直相信數字，方程式，邏輯，它們引導我們去思考。但是我追求一生，回過頭再想，我問自己：什么是真正的邏輯推理，誰決定原由?我探索這個問題，從肉體，到精神，甚至到夢想，這樣來回走了一遭。我的事業(yè)有了重大突破，但我一生最重要的發(fā)現是，只有在神秘的愛情方程式才能找到邏輯的原由。,今晚，我能站在這里，全是你的功績。你是我生命的原由，你是我的全部，謝謝！,-約翰.納什?美麗心靈?,55,托馬斯·謝林和羅伯特·奧曼榮獲2005年度諾貝爾經濟學獎。他們的卓越工作，加深了人們對于在核軍備競賽、貿易戰(zhàn)、價格戰(zhàn)和政治關系、外交關系中的對抗與合作的理解。半個世紀以來，博弈論給經濟學帶來革命性的變革，說：“要想在現代社會做一個有文化的人，你必須對博弈論有一個大致的了解保羅·薩繆爾森。,56,第十,四,講,數學的真理性,數學,主題,：,悖論與數學危機,哥德爾不完備性定理,文化切入點：,哥德爾不完備定理的文化意義,57,哥德爾不完備性定理的建立粉碎了數學家兩千年來的信念。它告訴我們，“真與“可證是兩個概念?！翱勺C性涉及到一個具有能行性的較為機械的思維過程；而“真理性那么涉及到一個能動的超窮的思維過程。因此，可證的一定是真的，但真的不一定可證。從這個意義上說，悖論的陰影將永遠伴隨著我們。,外爾的感慨：“上帝是存在的，因為數學無疑是相容的；魔鬼也是存在的，因為我們不能證明這種相容性。,58,“否認比肯定更具普遍性,人腦終究不能解釋成機器，計算機絕不可能超越人類心智。,形式系統(tǒng)的不完備性，必然根源于它的創(chuàng)造者的不完備性。,不確定性是人類認識的形式邏輯思維本身固有的。即使純粹數學也無法徹底到達確定性。,59,作為理性精神的化身，數學已經滲透到以前由權威、習慣、風俗所統(tǒng)治的領域，而且取代它們成為思想和行動的指南。最為重要的是，作為一種珍貴的、無可比較的人類成就，數學在使人賞心悅目和提供審美價值方面，至少可與其他任何一種文化門類媲美。,克萊因?西方文化中的數學?,英文版1953,中文版2005,結 語,60,謝 謝,!,61,