高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.4 導(dǎo)數(shù)實際生活中的應(yīng)用課件 蘇教版選修2-2.ppt

1.4 導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用,第 1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,1.了解導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用. 2.掌握利用導(dǎo)數(shù)解決實際生活中簡單的優(yōu)化問題. 3.學(xué)會建立數(shù)學(xué)模型，并會求解數(shù)學(xué)模型.,學(xué)習(xí)目標(biāo),欄目索引,知識梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點突破,當(dāng)堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學(xué)習(xí),知識點一 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的步驟 1.分析實際問題中各量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系yf(x)； 2.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)，解方程f(x)0； 3.比較函數(shù)在區(qū)間端點和在f(x)0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值.,思考 (1)什么是優(yōu)化問題？ 答案 在生活中，人們常常遇到求使經(jīng)營利潤最大、用料最省、費用最少、生產(chǎn)效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題. (2)優(yōu)化問題的常見類型有哪些？ 答案 費用最省問題，利潤最大問題，面積、體積最大問題等.,答案,知識點二 解決優(yōu)化問題的基本思路,思考 解決生活中優(yōu)化問題應(yīng)注意什么？,答案,返回,答案 (1)當(dāng)問題涉及多個變量時，應(yīng)根據(jù)題意分析它們的關(guān)系，列出變量間的關(guān)系式； (2)在建立函數(shù)模型的同時，應(yīng)根據(jù)實際問題確定出函數(shù)的定義域； (3)在實際問題中，由f(x)0常常得到定義域內(nèi)的根只有一個，如果函數(shù)在這點有極大值(極小值)，那么不與端點處的函數(shù)值比較，也可以判斷該極值就是最大值(最小值)； (4)求實際問題的最大(小)值時，一定要從問題的實際意義去考查，不符合實際意義的應(yīng)舍去，例如，長度、寬度應(yīng)大于0，銷售價格為正數(shù)等.,返回,題型探究 重點突破,解析答案,題型一 利潤最大問題 例1 某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件.如果降低售價，銷售量就會增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x(單位：元/件，0x21)的平方成正比.已知每件商品的售價降低2元時，一星期多賣出24件. (1)將一個星期的商品銷售利潤表示成關(guān)于x的函數(shù)；,解 若每件商品單價降低x元，則一個星期多賣的商品數(shù)為kx2件. 由已知條件得k2224，解得k6. 若記一個星期的商品銷售利潤為f(x)， 則有f(x)(30x9)(4326x2)6x3126x2432x9 072，x0,21.,解析答案,(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？ 解 對(1)中函數(shù)求導(dǎo)得f(x)18x2252x43218(x2)(x12). 當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：,x12時，f(x)取得極大值. f(0)9 072，f(12)11 664， 301218(元)，故定價為每件18元能使一個星期的商品銷售利潤最大.,反思與感悟,反思與感悟,利潤最大問題是生活中常見的一類問題，一般根據(jù)“利潤收入成本”建立函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)求最大值. 解此類問題需注意兩點：價格要大于或等于成本，否則就會虧本； 銷量要大于0，否則不會獲利.,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x噸與每噸產(chǎn)品的價格p(元/噸)之間的函數(shù)關(guān)系式為p24 200 x2，且生產(chǎn)x噸產(chǎn)品的成本為R50 000200x(元).問：該廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤達(dá)到最大？最大利潤是多少？,解 依題意，知每月生產(chǎn)x噸產(chǎn)品時的利潤為,令f(x)0，得x1200，x2200(舍去). 在(0，)內(nèi)只有一個點x200使f(x)0，且x200是極大值點， 200就是最大值點，且最大值為,每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時，利潤達(dá)到最大，最大利潤為315萬元.,解析答案,題型二 面積、容積最值問題 例2 已知一扇窗子的形狀為一個矩形和一個半圓相接，其中半圓的直徑為2r，如果窗子的周長為10，求當(dāng)半徑r取何值時窗子的面積最大.,解 設(shè)矩形的另一邊長為x，半圓弧長為r，,反思與感悟,反思與感悟,在解決面積、體積的最值問題時，要正確引入變量，將面積或體積表示為關(guān)于變量的函數(shù)，結(jié)合使實際問題有意義的變量的范圍，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.,解析答案,跟蹤訓(xùn)練2 如圖，將一個矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且對角線MN過C點，|AB|3 m，|AD|2 m. (1)要使矩形AMPN的面積大于32 m2，則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？ (2)當(dāng)AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最??？并求出最小面積； (3)若AN的長度不少于6 m，則當(dāng)AN的長度是多少時， 矩形AMPN的面積最??？并求出最小面積.,x2，3x232x640，即(3x8)(x8)0，,解析答案,即當(dāng)AN的長度為4 m時，S矩形AMPN取得最小值24 m2.,解析答案,即當(dāng)AN的長度為6 m時，S矩形AMPN取得最小值27 m2.,解析答案,題型三 成本最省問題 例3 甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/時)的平方成正比，比例系數(shù)為b(b0)；固定部分為a元. (1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米/時)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；,解析答案,(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？ 解 由題意，s、a、b、v均為正數(shù).,所以當(dāng)vc時，y最小.,綜上可知，為使全程運輸成本y最小，,反思與感悟,反思與感悟,選取合適的量做自變量，并根據(jù)實際確定其取值范圍，正確列出函數(shù)關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值.其中把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，正確列出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵.,解析答案,跟蹤訓(xùn)練3 工廠A到鐵路的垂直距離為20 km，垂足為B，鐵路線上距離B處100 km的地方有一個原料供應(yīng)站C，現(xiàn)在要從BC段上的D處向工廠修一條公路，使得從原料供應(yīng)站C到工廠A所需的運費最省，已知每千米的鐵路運費與公路運費之比為35，則D點應(yīng)選在何處？,于是從原料供應(yīng)站C途中經(jīng)中轉(zhuǎn)站D到工廠A所需總運費為,由實際問題可知，運輸費用一定有最小值，而此函數(shù)有唯一極值點， 故x15時取最小值，故D點在距B點15 km處最好.,例4 某船由甲地逆水行駛到乙地，甲、乙兩地相距s(km)，水的流速為常量a(km/h)，船在靜水中的最大速度為b(km/h)(ba)，已知船每小時的燃料費用(以元為單位)與船在靜水中的速度的平方成正比，比例系數(shù)為k，則船在靜水中的航行速度為多少時，其全程的燃料費用最?。?易錯易混,因沒有注意問題的實際意義而出錯,解析答案,返回,防范措施,錯解 設(shè)船在靜水中的航行速度為x km/h，全程的燃料費用為y元，,解析答案,防范措施,令y0，得x2a或x0(舍)，所以f(2a)4ask， 即當(dāng)x2a時，ymin4ask. 故當(dāng)船在靜水中的航行速度為2a km/h時，燃料費用最省. 錯因分析 這個實際問題的定義域為(a，b，而x2a為函數(shù)的極值點，是否在(a，b內(nèi)不確定，所以需要分類討論，否則會出現(xiàn)錯誤.,正解 設(shè)船在靜水中的航行速度為x km/h，全程的燃料費用為y元，,解析答案,防范措施,令y0，得x2a或x0(舍). (1)當(dāng)2ab時，若x(a,2a)，y0，f(x)為減函數(shù)， 若x(2a，b時，y0，f(x)為增函數(shù)， 所以當(dāng)x2a時，ymin4ask.,防范措施,當(dāng)x(a，b時，y0， 所以f(x)在(a，b上是減函數(shù)，,綜上可知，若b2a，則當(dāng)船在靜水中的速度為b km/h時，燃料費用最??； 若b2a，則當(dāng)船在靜水中的速度為2a km/h時，燃料費用最省.,在運用導(dǎo)數(shù)解決實際問題的過程中，正確建立數(shù)學(xué)模型，找到實際問題中函數(shù)定義域的取值范圍.,返回,防范措施,當(dāng)堂檢測,1,2,3,4,解析答案,1.內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長最大的矩形的邊長為_.,解析 設(shè)矩形與半圓直徑垂直的一邊的長為x，,解析答案,2.要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20 cm，要使其體積最大，則高 為_ cm.,1,2,3,4,3.一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)月租金定為1 000元時，公寓會全部租出去，月租金每增加50元，就會多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花費100元維修費，則月租金定為_元時可獲得最大收入.,解析 設(shè)x套為沒有租出去的公寓數(shù)， 則收入函數(shù)f(x)(1 00050x)(50x)100(50x)， f(x)1 600100x， 當(dāng)x16時，f(x)取最大值，故把月租金定為1 800元時收入最大.,1 800,解析答案,1,2,3,4,解析答案,4.制作容積為256的方底無蓋水箱，它的高為_時最省材料.,解析 設(shè)底面邊長為x，高為h，則V(x)x2h256，,4,1,2,3,4,課堂小結(jié),返回,1.解應(yīng)用題的思路方法：(1)審題：閱讀理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，找出問題的主要關(guān)系；(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：把數(shù)學(xué)問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解；(4)對結(jié)果進(jìn)行驗證評估，定性定量分析，做出正確的判斷，確定答案. 2.解決最優(yōu)化問題首先要確定變量之間的函數(shù)關(guān)系，建立函數(shù)模型.要熟記常見函數(shù)模型，如二次函數(shù)模型、三次函數(shù)模型、分式函數(shù)模型、冪指對模型、三角函數(shù)模型等. 3.除了變量之間的函數(shù)關(guān)系式外，實際問題中的定義域也很關(guān)鍵，一定要結(jié)合實際問題的意義確定定義域.,