八年級數(shù)學(xué) 二次根式的化簡求值 練習(xí)題及答案

二次根式的化簡求值練習(xí)題溫故而知新：分母有理化分母有理化是二次根式化簡的一種常用方法,通過分子、分母同乘一個式子把根號中的分母化去或把分母中的根號化去叫分母有理化.例 1 計算：（1）；（2）；（3）.解析：（1）式進行簡單分組，然后利用平方差公式和完全平方公式計算；（2）利用平方差公式計算；（3）先將分子、分母在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解，然后再約分.答案：解：（1）原式=12-+6-18=.（2）原式=.（3）原式=.小結(jié)：（1）二次根式的混合運算常常用到冪的運算法則和乘法公式，有時題目中條件不明顯，要善于變形，使之符合乘法公式，冪的運算法則特點，從而簡化計算.（2）二次根式的計算和化簡靈活運用因式分解能使計算簡便.舉一反三：1.若，則x y的值是( )A. B. C. m + n D. m - n解析：x y=.例2 閱讀材料:“黑白雙雄,縱橫江湖；雙劍合璧,天下無敵.”這是武俠小說的常見描述,其意是指兩個人合在一起,取長補短,威力無比.在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”,如:(2+)(2-)=1,(+)(-)=3,它們的積不含根號,我們就說這兩個二次根式互為有理化因式,其中一個是另一個的有理化因式.于是,二次根式的除法可以這樣解:如=,=,像這樣,通過分子、分母同乘一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去,叫做分母有理化.(1)4+的有理化因式是_.解析：因為（4+）（4-）=42-（）2=9，所以4+的有理化因式是4-.答案：4-； (2)計算: .解析：，.答案：解：原式=2-+-=2. (3)計算: .解析：，將各個分式分別分母有理化后再進行計算.答案：解：原式=（）（）=（）（）=（）2-12=2012-1=2011.(4)已知a=,b=,求的值.解析：a=，同理b=；a + b= + =10，a b=（）（）=1，然后將所要求值的式子用a + b和a b表示，再整體代入求值即可.答案：解：因為a=，b=，所以a + b= + =10，a b=（）（）=1.所以=.小結(jié)：分母有理化是我們處理二次根式問題時常用的一種方法，在有關(guān)二次根式化簡求值的題目中我們經(jīng)常會用到. 利用平方差公式進行分母有理化是常用方法.如:（+）(-)=a-b,(a+)(a-)=a2-b, (+b)(- b)=a-b2.舉一反三：2. 如圖,數(shù)軸上與1,對應(yīng)的點分別為A,B，點B關(guān)于點A的對稱點為C,設(shè)點C表示的數(shù)為x,則|x-|+ =（ ）A. B. C. D. 2解析：因為點B和點C關(guān)于點A對稱，點A和點B所表示的數(shù)分別為1，所以點C表示的數(shù)為2-，即x=2-，故|x-|+ =|2-|+ =2-2+=3.例3 比較大小:(1)-與-2；(2)-與-.解析：（1）用平方法比較大小；（2）用倒數(shù)法比較大小.答案：解：（1）（-）2=11-2+3=14-2，（-2）2=10-22+4=14-2.33<40,<,-2>-2,14-2>14-2,（-）2>（-2）2.又->0, -2>0,->-2.（2）=，=.=<，<，->-.小結(jié)：比較兩個二次根式大小的方法很多,最常用的是平方法和取倒數(shù)法,還可以將根號外因子移到根號內(nèi)比較,但這時要注意:(1)負(fù)號不能移到根號內(nèi)；(2)根號外正因子要平方后才能從根號外移到根號內(nèi).3.已知，則下列結(jié)論中正確的是（ ）A. a>b>c B. c>b>a C. b>a>c D. b>c>a解析：，；0<，a>b>c.例4 （2013襄陽）先化簡，再求值：，其中，.答案：解：原式=.，a+b=2，a-b=，原式=.例5 已知實數(shù)x，y滿足，則3x2-2y2+3x-3y-2011的值為（ ）A.-2012 B.2012 C.-1 D.1解析：觀察所給等式特點可將等式變形為，將等式右邊分母有理化得 ；同理可得 ；+得，所以；-得，所以；3x2-2y2+3x-3y-2011=3x2-2x2+3x-3x-2011=x2-2011= 2012-2011= 1.答案：D小結(jié)：本題有一定的技巧性，解題關(guān)鍵在于對所給等式進行變形，然后對變形所得到的兩個等式進行簡單的加減運算便可得到我們所需要的條件.本題也可以根據(jù)變形得到的兩個等式的特點得出x=y的結(jié)論，然后代入原來的等式，進而求出x，y的值，最后帶入求值.舉一反三：5.觀察分析下列數(shù)據(jù),尋找規(guī)律:0,3,2,那么第10個數(shù)據(jù)應(yīng)是_.解析：0=，=，=，=，2=，=，=，所以第10個數(shù)據(jù)是.6.（2013孝感）先化簡，再求值：，其中x=，y=.例6 已知m=1+,n=1-,且(7m2-14m+a)(3n2-6n-7)=8，則a的值等于（ ）A.-5 B.5 C.-9 D.9解析：由m=1+可得m-1=，兩邊平方得m2-2m+1=2，所以m2-2m=1；7m2-14m+a=7（m2-2m）+a=7+a；同理可得n2-2n=1，3n2-6n-7=3（n2-2n）-7=3-7=-4；所以(7+a)(-4)=8，解得a=-9.答案：C小結(jié)：觀察所給等式和m，n的值，我們可以發(fā)現(xiàn)，對m，n稍作變形便可整體代入.整體思想是解決這類較復(fù)雜求值問題常用的思想方法.當(dāng)然我們也可以直接把m，n的值直接代入，然后解方程求出a的值，這樣計算量要大很多. 舉一反三：4.設(shè)a=-1，則3a3+12a2-6a-12=（ ）A. 24 B. 25 C. D. 解析：由a=-1得a+1=，兩邊平方得a2+2a+1=7，所以a2+2a=6，所以3a3+12a2-6a-12=3a（a2+2a）+6a2-6a-12=3a6+6a2-6a-12=6a2+12a-12=6（a2+2a）-12=66-12=24.這可讓他犯了難，施工現(xiàn)場距離項目部很遠(yuǎn)，沒有車還真是不方便office, branch offices (jurisdiction), risk management, marketing management sector through supervision and inspection found problems, should be assigned the investigators are corrected in a timely manner. 27th the fifth chapter penalty under any of the following acts, then the relevant provisions to punish the investigators, according to the Bank. To constitute a crime shall be investigated for criminal responsibility: (A) on the business that are not involved in the investigation, issued a survey. (B) customer credit information are not thorough verification. (Iii) to participate in credit customer survey is not in place, customers and data is incomplete, untrue; he knows bear a counterfeited clients issuing credit. (D) does not provide for due diligence of credit business, pre-loan investigation form, concealing facts or providing false information or should be found in a normal investigation failed to discover the risk factors, lead to the review and approval policy errors, loan risk. (Five) on loan guarantees of survey not in place, not by provides on arrived, and pledge real for field verification, and assessment, and identification and registration, not according to provides on guarantor of guarantees qualification and guarantees capacity for survey verified, led to guarantees loan lost authenticity, and legitimacy, and effectiveness of; cycle loan business in the of mortgage