高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明章末復(fù)習(xí)提升課件 新人教版選修2-2.ppt

章末復(fù)習(xí)提升,第二章 推理與證明,欄目索引,要點(diǎn)歸納 主干梳理,題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測 自查自糾,知識網(wǎng)絡(luò) 整體構(gòu)建,知識網(wǎng)絡(luò) 整體構(gòu)建,返回,要點(diǎn)歸納 主干梳理,1.合情推理與演繹推理 (1)歸納和類比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整體的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推測未知，都能用于猜想，推理的結(jié)論不一定為真，有待進(jìn)一步證明. (2)演繹推理與合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是數(shù)學(xué)中證明的基本推理形式.也是公理化體系所采用的推理形式， 另一方面，合情推理與演繹推理又是相輔相成的，前者是后者的前提，后者論證前者的可靠性.,2.直接證明與間接證明 直接證明和間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩類基本證明方法. 直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法： 綜合法是從已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法； 分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法， 在解決數(shù)學(xué)問題時，常把它們結(jié)合起來使用， 間接證法的一種方法是反證法， 反證法是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法.,思考 反證法通常適用于哪些問題？,答案,答案 反證法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的證明方法，在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到，它所反映出的“正難則反”的解決問題的思想方法更為重要. 反證法主要證明：否定性、唯一性命題；至多、至少型問題；幾何問題.,3.數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題.證明時，它的兩個步驟缺一不可. 它的第一步(歸納奠基)nn0時結(jié)論成立. 第二步(歸納遞推)假設(shè)nk時，結(jié)論成立，推得nk1時結(jié)論也成立.數(shù)學(xué)歸納法原理建立在歸納公理的基礎(chǔ)上，它可用有限的步驟(兩步)證明出無限的命題成立.,思考 何為探索性命題？其解題思路是什么？,答案 探索性命題是試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型， 此類問題未給出問題結(jié)論，需要由特殊情況入手，猜想、證明一般結(jié)論的問題稱為探求規(guī)律性問題， 它的解題思想是：從給出的條件出發(fā)，通過觀察、試驗(yàn)、歸納、猜想，探索出結(jié)論，然后再對歸納、猜想的結(jié)論進(jìn)行證明.,返回,答案,題型探究 重點(diǎn)突破,題型一 合情推理及應(yīng)用,解析答案,反思與感悟,例1 觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10等于( ) A.28 B.76 C.123 D.199,反思與感悟,答案 C,解析 記anbnf(n)， 則f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347； f(5)f(3)f(4)11. 通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)， 則f(6)f(4)f(5)18； f(7)f(5)f(6)29； f(8)f(6)f(7)47； f(9)f(7)f(8)76； f(10)f(8)f(9)123. 所以a10b10123.,反思與感悟,歸納推理和類比推理是常用的合情推理，兩種推理的結(jié)論“合情”但不一定“合理”，其正確性都有待嚴(yán)格證明.盡管如此，合情推理在探索新知識方面有著極其重要的作用. 運(yùn)用合情推理時，要認(rèn)識到觀察、歸納、類比、猜想、證明是相互聯(lián)系的.在解決問題時，可以先從觀察入手，發(fā)現(xiàn)問題的特點(diǎn)，形成解決問題的初步思路，然后用歸納、類比的方法進(jìn)行探索、猜想，最后用邏輯推理方法進(jìn)行驗(yàn)證.,跟蹤訓(xùn)練1 自然數(shù)按下表的規(guī)律排列,解析答案,則上起第2 014行，左起第2 015列的數(shù)為( ) A.2 0142 B.2 0152 C.2 0132 014 D.2 0142 015,解析 經(jīng)觀察可得這個自然數(shù)表的排列特點(diǎn)： 第一列的每個數(shù)都是完全平方數(shù)，并且恰好等于它所在行數(shù)的平方， 即第n行的第1個數(shù)為n2； 第一行第n個數(shù)為(n1)21； 第n行從第1個數(shù)至第n個數(shù)依次遞減1； 第n列從第1個數(shù)至第n個數(shù)依次遞增1. 故上起第2 014行，左起第2 015列的數(shù)，應(yīng)是第2 015列的第2 014個數(shù)， 即為(2 0151)212 0132 0142 015.,答案 D,題型二 直接證明與間接證明,解析答案,反思與感悟,解析答案,ab0，,反思與感悟,反思與感悟,直接證明方法可具體分為比較法、代換法、放縮法、判別式法、構(gòu)造函數(shù)法等，應(yīng)用綜合法證明問題時，必須首先想到從哪里開始起步，分析法就可以幫助我們克服這種困難，在實(shí)際證明問題時，應(yīng)當(dāng)把分析法和綜合法結(jié)合起來使用.,反思與感悟,解析答案,跟蹤訓(xùn)練2 已知等差數(shù)列an中，首項(xiàng)a10，公差d0.,解 an是等差數(shù)列，a11，d2， a47，am2m1.,即2m149.m25.,解析答案,又a10，d0，an1a1ndd，,因此假設(shè)不成立，故命題得證.,題型三 數(shù)學(xué)歸納法及應(yīng)用,解析答案,反思與感悟,例3 已知ai0(i1,2，n)，考察：,歸納出對a1，a2，an都成立的類似不等式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.,解析答案,反思與感悟,證明：當(dāng)n1時，顯然成立. 假設(shè)當(dāng)nk時，不等式成立，,當(dāng)nk1時，,反思與感悟,k22k1(k1)2. 由可知，不等式對任意正整數(shù)n都成立.,數(shù)學(xué)歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎(chǔ)保證，即通過驗(yàn)證落實(shí)傳遞的起點(diǎn)，這個基礎(chǔ)必須真實(shí)可靠； 它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證，兩步合在一起為完全歸納步驟，這兩步缺一不可，第二步中證明“當(dāng)nk1時結(jié)論正確”的過程中，必須用“歸納假設(shè)”，否則就是錯誤的.,反思與感悟,解析答案,跟蹤訓(xùn)練3 數(shù)列an滿足Sn2nan(nN*). (1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式an；,解析答案,(2)證明(1)中的猜想.,解析答案,證明 當(dāng)n1時，a11，結(jié)論成立. 假設(shè)nk(k1且kN*)時，結(jié)論成立，,那么nk1時， ak1Sk1Sk 2(k1)ak12kak 2akak1， 2ak12ak.,所以當(dāng)nk1時，結(jié)論成立.,解析答案,應(yīng)用反證法證明問題時，因?qū)Y(jié)論否定不正確致誤,例4 已知x，yR，且x2y20，求證x，y全為0.,返回,易錯易混,防范措施,錯解 假設(shè)結(jié)論不成立，則x，y全不為0，即x0且y0， x2y20，與x2y20矛盾， 故x，y全為0. 錯因分析 x，y全為0的否定應(yīng)為x，y不全為0，即至少有一個不是0，得x2y20與已知矛盾. 正解 假設(shè)x，y不全為0，則有以下三種可能： x0，y0，得x2y20，與x2y20矛盾； x0，y0，得x2y20, 與x2y20矛盾； x0，y0，得x2y20，與x2y20矛盾. 假設(shè)是錯誤的， x，y全為0.,防范措施,應(yīng)用反證法證明問題時，首先要否定結(jié)論，假設(shè)結(jié)論的反面成立，當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時，需羅列出各種可能情形，否定一定要徹底.,返回,防范措施,當(dāng)堂檢測,1,2,3,4,5,1.下列推理正確的是( ) A.把a(bǔ)(bc)與loga(xy)類比，則loga(xy)logaxlogay B.把a(bǔ)(bc)與sin(xy)類比，則sin(xy)sin xsin y C.把(ab)n與(xy)n類比，則(xy)nxnyn D.把(ab)c與(xy)z類比，則(xy)zx(yz),D,答案,1,2,3,4,5,2.在ABC中，若sin Asin Ccos Acos C，則ABC一定是( ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定,D,解析答案,解析 由sin Asin Ccos Acos C， 得cos(AC)0， 即cos B0, 所以B為銳角，但并不能確定角A和C的情況，故選D.,1,2,3,4,5,可得分子均為1，分母為連續(xù)相鄰的兩個偶數(shù)的乘積.,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,4.如圖是由花盆擺成的圖案，根據(jù)圖中花盆擺放的規(guī)律，第n個圖形中的花盆數(shù)an_.,1,2,3,4,5,解析 觀察知每一個圖案中間一行的花盆數(shù)為1,3,5， 其中第n個圖案中間一行的花盆數(shù)為2n1， 往上一側(cè)花盆數(shù)依次是2n2,2n3，,答案 3n23n1,1,2,3,4,5,解析答案,(1)求f2(x)，f3(x)；,1,2,3,4,5,解析答案,(2)猜想fn(x)的表達(dá)式，并證明.,1,2,3,4,5,解析答案,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)n1時，命題顯然成立；,1,2,3,4,5,這就是說當(dāng)nk1時命題也成立.,課堂小結(jié),返回,轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學(xué)最基本的思想方法，數(shù)學(xué)中一切問題的解決都離不開轉(zhuǎn)化與化歸，轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學(xué)思想方法的靈魂. 在本章中，合情推理與演繹推理體現(xiàn)的是一般與特殊的轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)的是一般與特殊、有限與無限的轉(zhuǎn)化，反證法體現(xiàn)的是對立與統(tǒng)一的轉(zhuǎn)化. 從特殊到一般的思想方法即由特殊情況入手，通過觀察、試驗(yàn)、歸納、猜想，探索出結(jié)論，然后再對歸納、猜想的結(jié)論進(jìn)行證明. 與正整數(shù)n有關(guān)的命題，經(jīng)常要用到歸納猜想，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明，這體現(xiàn)了從特殊到一般的探求規(guī)律的思想.,