2019年高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何3.1.3空間向量基本定理3.1.4空間向量的坐標(biāo)表示學(xué)案蘇教版選修2-1.doc

2019年高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何3.1.3空間向量基本定理3.1.4空間向量的坐標(biāo)表示學(xué)案蘇教版選修2-1學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間向量基本定理及其意義.2.掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一空間向量基本定理(1)定理如果三個(gè)向量e1，e2，e3不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使pxe1ye2ze3.(2)基底與基向量如果三個(gè)向量e1，e2，e3不共面，那么空間的每一個(gè)向量都可由向量e1，e2，e3線性表示我們把e1，e2，e3稱為空間的一個(gè)基底，e1，e2，e3叫做基向量空間任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底(3)正交基底與單位正交基底如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量是兩兩互相垂直，那么這個(gè)基底叫做正交基底，當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱這個(gè)基底為單位正交基底，通常用i，j，k表示(4)推論設(shè)O，A，B，C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任意一點(diǎn)P，都存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得xyz.知識(shí)點(diǎn)二空間向量的坐標(biāo)表示空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k分別為x，y，z軸方向上的單位向量，對(duì)于空間任意一個(gè)向量a，若有axiyjzk，則有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫向量a在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)特別地，若A(x，y，z)，則向量的坐標(biāo)為(x，y，z)知識(shí)點(diǎn)三坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則ab(a1b1，a2b2，a3b3)；ab(a1b1，a2b2，a3b3)；a(a1，a2，a3) (R)ab(a0)b1a1，b2a2，b3a3 (R)思考(1)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算表達(dá)形式上有什么不同？(2)已知a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，ab，且b1b2b30，類比平面向量平行的坐標(biāo)表示，可得到什么結(jié)論？答案(1)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算多3個(gè)豎坐標(biāo)(2)ab.題型一空間向量的基底例1已知e1，e2，e3是空間的一個(gè)基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，試判斷，能否作為空間的一個(gè)基底解假設(shè)，共面則存在實(shí)，使得，e12e2e3(3e1e22e3)(e1e2e3)(3)e1()e2(2)e3，e1，e2，e3不共面，此方程組無解，不共面，可以作為空間的一個(gè)基底反思與感悟空間向量有無數(shù)個(gè)基底判斷給出的某一向量組中的三個(gè)向量能否作為基底，關(guān)鍵是要判斷它們是否共面，如果從正面難以入手，常用反證法或是一些常見的幾何圖形幫助我們進(jìn)行判斷跟蹤訓(xùn)練1已知點(diǎn)O，A，B，C為空間不共面的四點(diǎn)，且向量a，向量b，則與a，b不能構(gòu)成空間基底的向量是_(填序號(hào))或答案解析ab且a，b不共線，a，b，共面，與a，b不能構(gòu)成一組空間基底題型二用基底表示向量例2如圖，四棱錐POABC的底面為一矩形，PO平面OABC，設(shè)a，b，c，E，F(xiàn)分別是PC和PB的中點(diǎn)，試用a，b，c表示，.解連結(jié)BO，則()(cba)abc.aa()abc.()ac(cb)abc.a.反思與感悟(1)空間中的任一向量均可用一組不共面的向量來表示，只要基底選定，這一向量用基底表達(dá)的形式是惟一的；(2)用基底來表示空間中的向量是向量解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵，解題時(shí)注意三角形法則或平行四邊形法則的應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1，設(shè)a，b，c，P是CA1的中點(diǎn)，M是CD1的中點(diǎn)用基底a，b，c表示以下向量：(1)；(2).解如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中連結(jié)AC，AD1，(1)()()(abc)(2)()(2)abc.題型三空間向量的坐標(biāo)表示例3已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，并且PAAD1，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求向量的坐標(biāo)解以AD，AB，AP所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則M(0，0)，N(，)(，0，)反思與感悟建系時(shí)要充分利用圖形的線面垂直關(guān)系，選擇合適的基底，在寫向量的坐標(biāo)時(shí)，考慮圖形的性質(zhì)，充分利用向量的線性運(yùn)算，將向量用基底表示跟蹤訓(xùn)練3已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，并且PAAD1，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求向量、的坐標(biāo)解如圖所示，因?yàn)镻AADAB1，且PA平面ABCD，ADAB，所以可設(shè)e1，e2，e3.以e1，e2，e3為基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.因?yàn)?)e2e3(e3e1e2)e1e3，所以，(0,1,0)1已知A(2,3，1v)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是A(，7，6)，則，v的值分別為_答案2,10,7解析A與A關(guān)于x軸對(duì)稱，2與向量m(0,1，2)共線的向量是_(填序號(hào))(2,0，4) (3,6，12)(1,1，2) (0，1)答案解析(0，1)m，與m共線的向量是(0，1)3已知向量a，b，c是空間的一個(gè)基底，下列向量中可以與p2ab，qab構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的是_(填序號(hào))2a；b；c；ac.答案解析p2ab，qab，p與q共面，a、b共面而c與a、b不共面，c與p、q可以構(gòu)成另一個(gè)基底，同理ac與p、q也可構(gòu)成一組基底4.如圖在邊長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，取D點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，O，M分別是AC，DD1的中點(diǎn)，寫出下列向量的坐標(biāo)._，_.答案(2,0,1)(1,1,2)解析A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，B1(2,2,2)，(0,0,1)(2,0,0)(2,0,1)，(1,1,2)5.如圖，在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，點(diǎn)O為空間任一點(diǎn)，設(shè)a，b，c，則向量用a，b，c表示為_答案abc解析2，2()，ba2(c)，abc.1.空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底；基底選定后，任一向量可由基底惟一表示2向量的坐標(biāo)是在單位正交基底下向量的表示在表示向量時(shí)，要結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，充分利用向量的線性運(yùn)算