高等數(shù)學方明亮54廣義積分

單擊此處編輯母版標題樣式,*,*,返回,上頁,下頁,目錄,新課引入,前面討論的定積分，,都是在,有限區(qū)間,上的,有界,函數(shù),這類積分屬于通常意義下的積分,.,的積分，,但在實際問題中，,還會遇到,積分區(qū)間為無限,或,被積,函數(shù),在積分區(qū)間上是,無界,的情況，,這就需將定積分的概念推廣，,推廣后的積分被稱為,廣義積分,.,常義積分,積分限,有限,被積函數(shù),有界,推廣,無窮限,的廣義積分,無界函數(shù),的廣義積分,10/22/2024,1,第四節(jié) 廣,義積分,第五章,（,Improper Integrals),二、無界函數(shù)的廣義積分,一、無窮限的廣義積分,三、思考與練習,10/22/2024,2,一、,無窮限,（,Infinite Intervals,）,的廣義積分,引例,曲線,和直線,及,x,軸所圍成的開口曲,邊梯形的面積,可記作,其含義可理解為,10/22/2024,3,若,存在,則稱此極限為,f,(,x,),的無窮限,廣義積分,記作,這時稱廣義積分,收斂,;,如果上述極限不存在,就稱廣義積分,發(fā)散,.,類似地,若,則定義,定義,1,設,10/22/2024,4,則定義,(,c,為任意取定的常數(shù),),只要有一個極限不存在,就稱,發(fā)散,.,無窮限的廣義積分也稱為,第一類廣義積分,.,并非不定型,說明,:,上述定義中若出現(xiàn),它,表明該廣義積分發(fā)散,.,10/22/2024,5,引入記號,則有類似牛,萊公式的計算表達式,:,10/22/2024,6,證,:,當,p =,1,時有,當,p ,1,時有,當,p >,1,時收斂,;,p,1,時發(fā)散,.,因此,當,p >,1,時,廣義積分收斂,其值為,當,p,1,時,廣義積分發(fā)散,.,例,1,證明第一類,p,積分,（課本,例,2,）,10/22/2024,7,解,:,思考,:,分析,:,原積分發(fā)散,!,注意,:,對廣義積分,只有在收斂的條件下才能使用,“,偶倍奇零” 的性質,否則會出現(xiàn)錯誤,.,例,2,計算廣義積分,10/22/2024,8,二、,無界函數(shù),（,Unbounded Functions,）,的廣義積分,引例,:,曲線,所圍成的,與,x,軸,y,軸和直線,開口曲邊梯形的面積,可記作,其含義可理解為,10/22/2024,9,而在點,a,的右鄰域內無界,存在,這時稱廣義積分,收斂,;,如果上述極限不存在,就稱廣義積分,發(fā)散,.,類似地,若,而在,b,的左鄰域內無界,若極限,數(shù),f,(,x,),在,a,b,上的廣義積分,記作,則定義,則稱此極限為函,定義,2,設,10/22/2024,10,若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個第一類,而在點,c,的,無界函數(shù)的積分又稱作,第二類廣義積分,無界點常稱,鄰域內無界,為,瑕點,(,奇點,),.,例如,間斷點,而不是廣義積分,.,則本質上是常義積分,則定義,說明,:,10/22/2024,11,的計算表達式,:,則也有類似牛,萊公式的,若,b,為瑕點,則,若,a,為瑕點,則,若,a,b,都為瑕點,則,則,可相消嗎,?,注意,:,若瑕點,10/22/2024,12,提示：,例,3,求積分,x,=0,是瑕點,故,x,=2,是瑕點,10/22/2024,13,證,:,當,q,= 1,時,當,q,< 1,時收斂,;,q,1,時,發(fā)散,.,當,q,1,時,所以當,q,< 1,時,該廣義積分收斂,其值為,當,q,1,時,該廣義積分發(fā)散,.,例,5,證明廣義積分,（課本習題,5,4,4,）,10/22/2024,14,內容小結,1.,廣義積分,積分區(qū)間無限,被積函數(shù)無界,常義積分的極限,2.,兩個重要的廣義積分,10/22/2024,15,相轉化,.,例如,(2),當一題同時含兩類廣義積分時,應劃分積分區(qū)間,分別討論每一區(qū)間上的廣義積分,.,說明,:,(1),有時通過換元,廣義積分和常義積分可以互,10/22/2024,16,課外練習,習題,5,4 1 (2) , (4) , (6) , (7) ; 3 (2) , (4),思考練習,1.,習題,5,4,5,解：,10/22/2024,17,2.,試證,并求其值,.,解,:,令,10/22/2024,18,10/22/2024,19,