常微分方程33線性常系數(shù)齊次方程

*,3.3線性齊次常系數(shù)方程,在上一節(jié)中我們討論了,線性方程通解,的,結(jié)構(gòu)問題，但卻沒有給出求通解的具體方法出，,對(duì)一般的線性方程沒有普遍的解法，,但對(duì),常系數(shù),線性方程,及可化為這一類型的方程，,可以說是徹底的解決了，本節(jié)將介紹求解常系數(shù),齊次方程通解的解法。,1,一 復(fù)值函數(shù),如果,和,是區(qū)間,(,a,b,),上定義的,稱,為該區(qū)間上,(,a,b,),實(shí)函數(shù)，,的,復(fù)值函數(shù),.,1,連續(xù),如果實(shí)函數(shù),和,在區(qū)間,(,a,b,),上,就稱,在區(qū)間上,(,a,b,)上連續(xù).,連續(xù),2 可微,如果實(shí)函數(shù),和,在區(qū)間,(,a,b,),上,就稱,在區(qū)間上,(,a,b,)上可微.,可微,且復(fù)值函數(shù),的導(dǎo)數(shù)定義如下:,2,性質(zhì),1:,性質(zhì),2:,性質(zhì),3:,那么,有如下性質(zhì),:,若,和,可微,為復(fù)值常數(shù)，,3,3 歐拉公式,1),復(fù)指函數(shù)與歐拉公式,其中,4,2),復(fù)指函數(shù)的性質(zhì),記,表示,的,共軛,.,性質(zhì),1:,性質(zhì),2:,性質(zhì),3:,5,4 復(fù)值解,考慮方程,其中,及,是區(qū)間 上的,實(shí)函數(shù).,若有區(qū)間,（,a,b,）,上復(fù)值函數(shù),:,為上述方程的,復(fù)值解,.,滿足上述方程，,則稱,6,定理3.12,如果方程,中所有系數(shù),都是實(shí)值函數(shù).,而,是該方程的,復(fù)值解,以及,則 的,實(shí)部,和,虛部,的,共,軛,也都是該方程的解.,(3.3.4),7,證明,：,由已知條件及 的性質(zhì)可得,由此得,所以 ，都是方程,（3.3.4,）的解,即 也是方程（,3.3.4）,的解,.,因?yàn)?可得,又,(3.3.4),8,二 常系數(shù)齊次線性方程,（）,（其中 為常數(shù)）為,n,階常系數(shù)齊次線性方程.,為求得該方程的通解，我們先利用,待定指數(shù)函數(shù)法求其基本解組,.,一階常系數(shù)齊次線性微分方程,有通解,9,因此，對(duì)方程（3.3.5）求指數(shù)函,數(shù)形式的解,（3.3.6）,把（）代入方程（）得,成為方程（3.3.5）解的,充要條件,為：,（）,方程（）稱為方程（）的,特征方程,，它的根稱為方程（）的,特征根,.,（3.3.7）,10,1 特征根為單根,設(shè) 是（3.3.7）的,n,個(gè)不相同根，,則對(duì)應(yīng)方程（3.3.5）有,n,個(gè)解,（3.3.8）,（）,（）,這,n,個(gè)解在區(qū)間,a,t,1,重實(shí)根,方程有,m,個(gè)解,c)對(duì)每一個(gè),重?cái)?shù)為,1,的,共軛復(fù)根,方程有2個(gè)解：,d)對(duì)每一個(gè)重?cái)?shù),m,1的共軛復(fù)根,第三步,根據(jù)第二步寫出,基本解組和通解,18,解：,特征方程,故,特征根,為,例1：求,的通解.,其中,是,單根,，,是,二重根,，,因此有解,方程通解為：,其中,為任意常數(shù).,19,例2：求,的通解.,解：,特征方程,故,特征根,為,上述,兩實(shí)根和兩復(fù)根,均是,單根,，方程通解為：,其中,為任意常數(shù).,20,例3：求,的通解.,解：,特征方程,故,特征根,為,其中,為任意常數(shù).,方程通解為：,其中,是,單根,，,是,三重根,，,21,例,4,：求 的通解,方程的四個(gè)實(shí)值解,為：,故通解為,解：,特征方程,特征根,是,二重根,.,其中,為任意常數(shù).,22,三,某些變系數(shù)線性齊次微分方程的解法,1 化為常系數(shù)法,歐拉方程,這里,為常數(shù),.,令,將歐拉方程化為常系數(shù)齊次微分方程.,特點(diǎn),：,的,k,階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)是,t,的,k,次方的常數(shù)倍.,23,例5：求,解：令 ，則 ,代入原方程得:,方程的通解為:,為任意常數(shù),.,故原方程的通解為：,其中,24,考慮二階變系數(shù)方程,化為常系數(shù)方程.這里,a,(,t,)是待定的函數(shù).,（）,的系數(shù) 和,滿足什么條件，可經(jīng)線性變換,（3.3.18）,將（3.3.18）代入（3.3.17）得:,（3.3.19）,如果,為常數(shù),取,代入（3.3.19）整理得,（3.3.20）,25,解：,因?yàn)?故令,例6：求,的通解,故原方程的通解為：,將原方程化為常系數(shù)方程：,通解為：,26,2,降階法,對(duì),n,階線性齊次微分方程,(3.3.22),若能找到,k,個(gè)線性無關(guān)解,(,k,n,),則可選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q,使,n,階齊次方程,降低,k,階,，,化為,n,-,k,階方程，且,保持線性和齊次性,設(shè),是齊次方程的一個(gè)非零解，,作線性變換,代入(3.3.22)，則可得：,再令 ,27,例 7：求 的通解,解：,方程有特解,從而得到,取,，得另一個(gè)解,故原方程通解為,則,令,代入方程得,，得,令,28,作業(yè):P140,1(1,3,4,6,7),2,3,4(2,3)，5，6(3),8,9,29,