2019-2020年高三數(shù)學(xué)上 15.5《幾何體的體積》教案（2）（滬教版）.doc

2019-2020年高三數(shù)學(xué)上 15.5幾何體的體積教案（2）（滬教版）一、教學(xué)內(nèi)容分析錐體的體積是學(xué)習(xí)祖暅原理與柱體體積之后，對(duì)幾何體體積的進(jìn)一步探索.其中三棱錐體積在這之中又尤為重要，起著承上啟下的作用.推導(dǎo)三棱錐的體積要用到前一課時(shí)的內(nèi)容；同時(shí)，n棱錐乃至圓錐的體積公式又是建立在三棱錐體積之上的.所以處理好三棱錐的體積問題，是這堂課的重中之重.二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)學(xué)生通過具體實(shí)驗(yàn)感知三棱錐體積公式，通過嚴(yán)謹(jǐn)證明確認(rèn)三棱錐體積公式，通過對(duì)新知識(shí)的應(yīng)用推廣得到n棱錐的體積公式，通過具體實(shí)例初步應(yīng)用錐體體積公式.能應(yīng)用割補(bǔ)法求體積以及體積法求點(diǎn)到面的距離，在這個(gè)過程中，提高分析、綜合、抽象、概括等邏輯推理能力.三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)三棱錐體積公式及其探求.四、教學(xué)流程設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)已學(xué)知識(shí)做好上課準(zhǔn)備通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律提出質(zhì)疑嚴(yán)謹(jǐn)證明繼續(xù)推廣特殊到一般簡(jiǎn)單應(yīng)用鞏固公式課堂小結(jié)布置作業(yè)五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)一、情景引入1、復(fù)習(xí)祖暅原理：體積可看成是有面積疊加而成，用一組平行平面截兩個(gè)空間圖形，若在任意等高處的截面面積都對(duì)應(yīng)相等，則兩空間圖形的體積必然相等.2、柱體體積公式：V棱柱=Sh3、問題：錐體的體積公式是什么？會(huì)不會(huì)和柱體的體積有什么聯(lián)系？實(shí)驗(yàn)：如圖取一個(gè)三棱錐教具（無底面ABC），一個(gè)與之同底等高的三棱柱教具（無底面ABC）（教具可用硬板紙制作），以及黃沙若干.BCAOBCAOPQ1用三棱錐盛滿黃沙，倒入三棱柱容器中，發(fā)現(xiàn)倒三次正好把三棱柱容器填滿.從這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生猜想三棱錐的體積公式為V三棱錐=Sh這個(gè)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果到底是一個(gè)美麗的巧合還是一個(gè)必然的結(jié)果？二、學(xué)習(xí)新課問題1：從猜想的三棱錐體積公式為V三棱錐=Sh看，體積只和三棱錐底面積和高有關(guān)，而與底面三角形的形狀無關(guān).那么，上述實(shí)驗(yàn)中的三棱柱不變，三棱錐變成與原三棱錐O-ABC等底等高的三棱錐P-DEF，結(jié)果是否會(huì)不變呢？解決此問題，即要證明等底等高的三棱錐的體積相等.已知三棱錐O-ABC和P-DEF的底面積都是S，高都是h.求證：三棱錐O-ABC和P-DEF的體積相等.證明：把兩個(gè)三棱錐的底面都放在平面上，任意作平面，設(shè)平面截三棱錐O-ABC所得的截線為三角形ABC，其面積為S1；平面截三棱錐P-DEF所得的截線為三角形DEF，其面積為S2.如果三棱錐的頂點(diǎn)O和P與平面的距離為h1，那么推得：和，于是得，相似比是，同理可得，相似比也是.由相似形的性質(zhì)得，.即.因?yàn)槿我馄叫杏诘酌娴钠矫娼貎蓚€(gè)三棱錐時(shí)，所得的截面面積相等，所以由祖暅原理得三棱錐O-ABC和P-DEF的體積相等，即等底等高的三棱錐的體積相等.問題2：為什么三棱錐的體積公式恰巧為V三棱錐=Sh，而不是？觀察實(shí)驗(yàn)中的三棱錐O-ABC，正好含在三棱柱OPQ-ABC中，于是我們通過連接OB，OC把三棱柱OPQ-ABC中的三棱錐O-ABC找出來，發(fā)現(xiàn)三棱柱OPQ-ABC是由三棱錐O-ABC和四棱錐O-BCQP組成的.進(jìn)一步的，連接BQ，那么此時(shí)比較明顯的有：VOPQ-ABC=VO-ABC+VB-OPQ+VO-BCQ由于等底等高的三棱錐的體積相等，故有：VO-ABC=VB-OPQ =VO-BPQ=VO-BCQBCAOBCAOPQ1 因此，V三棱錐=Sh請(qǐng)學(xué)生敘述如果連接PC，怎樣證明？平面幾何中求面積時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)用到割補(bǔ)法.同樣的，立體幾何求體積也會(huì)用到此法.上述的證明方法，本質(zhì)上就是把一個(gè)三棱錐補(bǔ)成三棱柱后，再加以證明，是求體積的“補(bǔ)”法.PABCD推廣1：四棱錐的體積公式呢？如果也采用三棱錐探求體積的方法，是否可行？三棱錐體積的證明中用到了一個(gè)三棱錐非常個(gè)性化的特征：可以以任何一個(gè)頂點(diǎn)作為三棱錐的頂點(diǎn).這是其它任何棱錐所不具備的特征.那么，我們已經(jīng)知道，并且證明了三棱錐的體積，四棱錐中有沒有三棱錐呢？通過連接AC，可得:VP-ABCD=VP-ABC+VP-ACD=( SABC+SACD)h=SABCDh其中h是P到底面ABCD的距離，即四棱錐的高.推廣2：n棱錐的體積公式呢？ 基本上可由學(xué)生自行完成.課本P39也講述的非常清楚.總結(jié)：V棱錐=Sh三、鞏固應(yīng)用例：在正方體ABCD-ABCD中，已知棱長(zhǎng)為a，求:(1)三棱錐B-ABC的體積；(2)這個(gè)三棱錐的體積是正方形體積的幾分之幾；(3)B到平面ABC的距離?（用2種方法答）解：(1)由正方體棱長(zhǎng)為a，得SABC=a，高h(yuǎn)=a.所以VB-ABC=SABCh=aa=a.(2)因?yàn)閂正方體=a，所以VB-ABCV正方體=.(3)方法一:如圖，過B作BO面ABC于O，則O必為ABC的重心.連AO并延長(zhǎng)交BC于M，因?yàn)?AB=BC=CA=a,所以 AM=a=a,OA=AM=a.在RtAOB中，BO=，即B到面ABC的距離為a.方法二:設(shè)B到面ABC距離為h,因?yàn)?AB=BC=CA=a，所以 SABC= (a)=a，因此 ah=VB-ABC= VB-ABC =aa=a，故h=a 即B到面ABC的距離為a.方法二充分運(yùn)用了三棱錐的特征：可以以任何一個(gè)頂點(diǎn)作為三棱錐的頂點(diǎn).這為我們求解頂點(diǎn)到底面的距離提供了捷徑，稱之為體積法.四、課堂小結(jié)1、割補(bǔ)法求體積2、V棱錐=Sh3、體積法求點(diǎn)到面的距離五、作業(yè)布置課本P41練習(xí)15.5(2)六、教學(xué)設(shè)計(jì)說明數(shù)學(xué)是源于生活的.選用實(shí)際的實(shí)驗(yàn)操作能使學(xué)生對(duì)V棱錐=Sh有一個(gè)形象的、具體化的認(rèn)識(shí).數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?發(fā)現(xiàn)規(guī)律之后，需要的是嚴(yán)格的證明，證明的兩個(gè)層次，老師要加以把關(guān).證明過程中有使用了很多已學(xué)的立體幾何知識(shí)，是一個(gè)很好的回顧與應(yīng)用的過程；學(xué)生的空間想象能力也能在證明的過程中得以提高.數(shù)學(xué)是發(fā)展的.在三棱錐的基礎(chǔ)上，繼續(xù)對(duì)廣，四棱錐、n棱錐的體積公式，對(duì)比探求體積的“補(bǔ)”法與“割”法.數(shù)學(xué)是為生活服務(wù)的.應(yīng)用棱錐公式，解決實(shí)際問題.