2019-2020年高三數(shù)學(xué)上冊 16.5《二項式定理》教案（1） 滬教版.doc

2019-2020年高三數(shù)學(xué)上冊 16.5二項式定理教案（1） 滬教版一、教學(xué)目標(biāo)：使學(xué)生掌握二項式定理及其證明(數(shù)學(xué)歸納法)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和揭示事物內(nèi)在客觀規(guī)律能力和邏輯推理能力。通過介紹“楊輝三角”，對學(xué)生進行愛國主義教育。二、教學(xué)重、難點： 重點：二項式定理的推導(dǎo)及證明 難點：二項式定理的證明三、教學(xué)過程： (一)新課引入：810(7+1)10710+79+7+2(733c133732+c32337+2 (提問)：若今天是星期一，再過810天后的那一天是星期幾？在初中，我們已經(jīng)學(xué)過了 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3(a+b)2(a+b)a3+3a2b+3ab2+b3 (提問)：對于(a+b)4，(a+b)5 如何展開?(利用多項式乘法) (再提問)：(a+b)100又怎么辦？ (a+b)n(nN+)呢？ 我們知道，事物之間或多或少存在著規(guī)律。這節(jié)課，我們就來研究(a+b)n的二項展開式的規(guī)律性 (二)新課：(如何著手研究它的規(guī)律呢)？采用從特殊到一般（不完全歸納）的方法。規(guī)律：(a+b)1=a+b(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2 (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 根據(jù)以上的歸納，可以想到(a+b)n的展開式的各項是齊次的，它們分別為an, an-1b, an-2b2,，bn,展開式中各項系數(shù)的規(guī)律，可以列表： (a+b)1 1 1 (a+b)2 1 2 1 (a+b)3 1 3 3 1 (a+b)4 1 4 6 4 1 (a+b)5 1 5 10 10 5 1（這表是我國宋代楊輝于1261年首次發(fā)現(xiàn)的，稱為楊輝三角，比歐洲至少早了三百年。）如何從組合知識得到(a+b)4展開式中各項的系數(shù) (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(1)若每個括號都不取b，只有一種取法得到a4即種(2)若只有一個括號取b，共有種取法得到a3b(3)若只有兩個括號取b，共有種取法得到a2b2(4)若只有三個括號取b，共有種取法得到ab3(5)若每個括號都取b，共有種取法得b4 (a+b)n=an+an-1b+an-rbr+bn(nN+)以上我們采用不完全歸納法得到，不一定可靠，若要說明正確，須加以證明(數(shù)學(xué)歸納法)。證明：(1)當(dāng)n=1時，左邊(a+b)1=a+b 右邊a1+b1=a+b 等式成立 (2)假設(shè)n=k時，等式成立，即(a+b)k=ak+ak-1b+ak-rbr+bk那么當(dāng)n=k+1時(分散難點作法)以 (a+b)4(a+b)與(a+b)k(a+b)進行類比(a+b)4(a+b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)(a+b) =（a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4）+（a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5）由組合數(shù)性質(zhì)知 則(a+b)5=a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5(a+b)k+1=(a+b)k(a+b)=(ak+ak-1b+ak-rbr+bk)(a+b)(ak+1+akb+ak-r+1br+abk)+(akb+ak-1b2+ak-rbr+1bk+1) ak+1+(+)akb+(+)ak-rbr+1+(+)abk+bk+1由組合數(shù)性質(zhì)得，= +=，+=，+=，=(a+b)k+1=ak+1+akb1+ak-rbr+1+abk+bk+1，即等式成立。根據(jù)（1）（2）可知，等式對于任意nN+都成立。一、指出：這個公式叫做二項式定理（板書），它的特點：1項數(shù)：共有(n+1)項2系數(shù)：依次為，其中(r0，1，2，n)稱為二項式系數(shù) 說明：二項式系數(shù)與展開中某一項系數(shù)是有區(qū)別的。例如：(12x)6展開式中第3項中系數(shù)為2260而第三項的二項式系數(shù)是15。3指數(shù)：an-rbr指數(shù)和為n，a的指數(shù)依次從n遞減到0，b的指數(shù)依次從0遞增到n。三、小結(jié)：（1）二項式定理(a+b)n=an+an-1b+an-rbr+bn是通過不完全歸納法，并結(jié)合組合的概念得到展開式的規(guī)律性，然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。（2）二項式定理的特點：1項數(shù) 2系數(shù) 3指數(shù)四、作業(yè)：