2019-2020年高中數(shù)學(xué) 10.4《二項(xiàng)式定理》備課資料 舊人教版必修.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 10.4二項(xiàng)式定理備課資料 舊人教版必修例1在(x2+3x+2)5的展開式中，x的系數(shù)為A.-160 B.240 C.360 D.800分析：把(x2+3x)+25直接展開，即=(x2+3x)5+5(x2+3x)42+10(x2+3x)322+10(x2+3x)223+5(x2+3x)24+25.注意到x的指數(shù)為1，只有在5(x2+3x)24中才出現(xiàn)x的項(xiàng)，所以x的系數(shù)為54=240.答案：B但應(yīng)明確直接展開只適用于n是較小的自然數(shù).二、利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式例2由(x+)100展開所得的x的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的共有_項(xiàng).A.50 B.17 C.16 D.15分析：考慮(x+)100的展開式的通項(xiàng)Tr+1=(x)100-r()r=x100-r=x100-r.要使系數(shù)為有理數(shù)，則r為6的倍數(shù)，令r=6k(kZ)，而且06k100,即r=0,6,12,96，因此共有17項(xiàng).答案：B三、分解因式求特定項(xiàng)系數(shù)例3求(1+x+x2)(1-x)10展開式中含x4項(xiàng)的系數(shù).分析：原式=(1-x3)(1-x)9,其中(1-x)9展開式的通項(xiàng)為Tr+1=(-x)r.令r=4,得T4+1=x4;令r=1,得T1+1=-x.故x4的系數(shù)為+=135.四、利用排列組合原理求系數(shù)例4求(x2+3x-1)9(2x+1)4展開式中含x2的項(xiàng)的系數(shù).分析：為了保證相乘得到x2的項(xiàng)，則前一式子中的x2、3x及后一式子中的2x取出的個(gè)數(shù)有以下幾種情況：1、0、0；0、2、0；0、1、1；0、0、2.故展開式中含x2的項(xiàng)為x2(-1)8+(3x)2(-1)7+ (3x)1(-1)82x+(-1)9(2x)2=(9-324+216-24)x2=-123x2,故所求系數(shù)為-123.五、利用估算公式求系數(shù)最大項(xiàng)估算公式：若二項(xiàng)式(ax+by)n(a,bR+,nN)的展開式的系數(shù)最大的項(xiàng)為第r+1項(xiàng)，則有公式證明：設(shè)展開式的第r、r+1、r+2項(xiàng)的系數(shù)分別為,.由展開式相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)關(guān)系，易知而由題意，第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，所以，,即成立.例5問(2+3x)20展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？解：設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，則解得r.由于r是正整數(shù)，所以r=12,即第13項(xiàng)的系數(shù)最大.說明：若在(ax+by)n中，a、b異號(hào)，則估算公式改為由此算出的是展開式中系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng).六、巧求二項(xiàng)展開式某一特定項(xiàng)求二項(xiàng)展開式中某一特定項(xiàng)是排列組合二項(xiàng)式定理中常見題型之一.它的一般解法是應(yīng)用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，這已為大家所熟知.本文要介紹的是另一種解法，這種解法能使某些直接應(yīng)用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)不易解決的問題迎刃而解.例6求(a+b+c+d)1995展開式中a200b800c900d95項(xiàng)的系數(shù).解：(a+b+c+d)1995=(a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d),一共1995個(gè)因式相乘，等號(hào)右邊的積的展開式的每一項(xiàng)是從1995個(gè)因式的每一因式中任取一個(gè)字母的乘積.顯然a200b800c900d95項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)為.例7求(|x|+-2)3展開式中的常數(shù)項(xiàng).解：(|x|+-2)3=()6.展開式中第r+1項(xiàng)為Tr+1=(-1)r=(-1)r|x|3-r,當(dāng)且僅當(dāng)r=3時(shí)，Tr+1為常數(shù)，所以，所求常數(shù)項(xiàng)為T4=-20.例8求(1+x-x2)6展開式中的x5項(xiàng).分析：1+x-x2不是完全平方式，若不用本文所給方法，則要兩次應(yīng)用二項(xiàng)式定理，若用本文所給新解法，則化繁為簡(jiǎn).解：(1+x-x2)6展開式中，xm+2n項(xiàng)(其中m,n都是自然數(shù)，且m+2n6)是(-1)nxm+2n.已知m+2n=5,方程的解有以下幾種情況：若n=1,則m=3,得項(xiàng)-x5=-60x5;若n=2，則m=1，得項(xiàng)x5=60x5;若n=0,則m=5,得項(xiàng)x5=6x5.以上3種合計(jì)得項(xiàng)是-60x5+60x5+6x5=6x5.備課資料一、與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)的求和問題(一)賦值法例1證明下列等式.(1)+=2n;(2)+=+=2n-1.證明：利用(1+x)n=+x+x2+xn賦值.令x=1可得(1+1)n=+=2n.令x=-1可得(1-1)n=+.可得+=+.又+=2n,+=+=2n=2n-1.例2若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求a1+a2+a3+a4=_.分析：令x=1可得(2+)4=a0+a1+a2+a3+a4.又a0=()4=9,a1+a2+a3+a4=(2+)4-9=88+56.(二)公式法例3求和：+ +.分析：針對(duì)求和問題，抓住變通項(xiàng)思路，靈活運(yùn)用組合數(shù)公式將變量轉(zhuǎn)化為不變量，并結(jié)合組合數(shù)性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).解：=，+=+=(+)=(+-1)= (2n+1-1).(三)裂項(xiàng)求和例4求和：+.分析：抓住通項(xiàng)，對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變形，然后尋求求解思路.解：=,=.+=(+(-)=2-.(四)構(gòu)造等式例5求和：+(rn).解：由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式知(1+x)r+(1+x)r+1+(1+x)n=.又等式左邊的展開式中xr項(xiàng)的系數(shù)和為+.等式右邊的展開式中xr項(xiàng)的系數(shù)就是(1+x)n+1-(1+x)r展開式中xr+1項(xiàng)的系數(shù)為.+=.(五)逆用二項(xiàng)式定理例6已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公比為q.求和：a1+a2+a3+an+1.解：a1+a2+a3+an+1=a1+a1q+a1q2+a1qn=a1(+q+q2+qn)=a1(1+q)n.(六)倒序相加法例7已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,求和：a1+a2+a3+an+1.解：設(shè)Sn= a1+a2+a3+an+1, 則Sn=an+1+an+an-1+a1,即Sn=an+1+an+an-1+a1. +得2Sn=(a1+an+1)+(a2+an)+(a1+an+1).又等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,a1+an+1=a2+an=a3+an-1=a1+an+1=2a1+nd.2Sn=(a1+an+1)+(a2+an)+(a3+an-1)+(a1+an+1)=(2a1+nd)(+)=(2a1+nd)2n.a1+a2+a3+an+1=(2a1+nd)2n-1.二、創(chuàng)設(shè)問題情境證明組合數(shù)等式有關(guān)多個(gè)組合數(shù)之和的等式可以通過創(chuàng)設(shè)問題情境，并設(shè)計(jì)不同的解題方案，尋求其中的等量關(guān)系.例1求證：+=2n.創(chuàng)設(shè)問題：集合A=a1,a2,an的所有子集的個(gè)數(shù)是多少？方案一：按A的子集中元素的個(gè)數(shù)分類求解+.方案二：按ai是否進(jìn)入A的子集分步求解=2n.結(jié)論：+=2n.例2求證：()2+()2+()2+()2=.創(chuàng)設(shè)問題1：求(1+x)2n展開式中xn的系數(shù).方案一：考慮(1+x)2n展開式中xn的系數(shù).方案二：考慮(1+x)n(1+x)n展開式中xn的系數(shù)為+.結(jié)論：()2+()2+()2+()2=.創(chuàng)設(shè)問題2：一只口袋中有2n個(gè)不同小球，其中有n個(gè)紅色的，n個(gè)黃色的，從中任取n個(gè)小球，有多少種方法？方案一：不分紅黃，從2n個(gè)小球中任取n個(gè)小球.方案二：按照所取紅球的個(gè)數(shù)分類+.結(jié)論：()2+()2+()2+()2=.另外，類似還可設(shè)計(jì)問題A=a1,a2,an,b1,b2,bn，求A的含有n個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù).例3求證： +2+3+n=n2n-1.創(chuàng)設(shè)問題：求數(shù)列ar,ar=r的前n項(xiàng)和Sn.方案一：依次求Sn=+2+n.方案二：顛倒求Sn=n+(n-1)+=n+(n-1)+.錯(cuò)位相加得2Sn=n(+)=n2n.結(jié)論：+2+3+n=n2n-1.創(chuàng)設(shè)問題情境證明組合數(shù)等式不僅運(yùn)算量小，生動(dòng)有趣，而且有利于培養(yǎng)我們的想象力和創(chuàng)造性思維能力，如果我們擁有這方面的意識(shí)，就能很快找到創(chuàng)設(shè)問題的依據(jù)，從而幫助我們巧妙解決難題.備課資料一、有關(guān)二項(xiàng)式定理的高考試題分類解析高考中二項(xiàng)式定理試題幾乎年年有，主要是利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求展開式的某一項(xiàng)的系數(shù)，求展開式的常數(shù)項(xiàng)；利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求某多項(xiàng)式的系數(shù)和，證明組合數(shù)恒等式和整除問題，及近似計(jì)算問題，考查的題型主要是選擇題和填空題，多是容易題和中等難度的試題，但有時(shí)綜合解答題也涉及到二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.(一)求多個(gè)二項(xiàng)式的積(和)的展開式中條件項(xiàng)的系數(shù)例1(xx年全國(guó)高考)(x2-)9展開式中x9的系數(shù)是_.分析：此題體現(xiàn)抓“通項(xiàng)”的思路.解：Tr+1=(x2)9-r(-)r=(-1)r2-rx18-2rx-r=(-1)r2-rx18-3r,當(dāng)18-3r=9時(shí),得r=3,所以x9系數(shù)為(-1)32-3=-.例2(xx年全國(guó)高考題)(x+2)10(x2-1)展開式中含x10的系數(shù)為_.(用數(shù)字作答)分析：(x+2)10 (x2-1)展開式中含x10的項(xiàng)由(x+2)10展開式中含x10的項(xiàng)乘以-1再加上(x+2)10展開式中含x8的項(xiàng)乘以x2得到，即x10(-1)+ x822x2,故所求的x10的系數(shù)為(-1)+22=179.例3(xx年上海高考題)在(1+x)5(1-x)4的展開式中，x3的系數(shù)為_.分析：(1+x)5(1-x)4=(1+x)(1-x2)4,其中(1-x2)4展開的通項(xiàng)為(-x2)r,故展開式中x3的系數(shù)為-=-4.例4(1990年全國(guó)高考題)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展開式中x2的系數(shù)等于_.分析：求較復(fù)雜的代數(shù)式的展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，常需對(duì)所給代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，減小計(jì)算量.原式=,只需求(x-1)6展開式中x3的系數(shù)即可，Tr+1=x6-r(-1)r,令r=3得系數(shù)為-20.(二)求多項(xiàng)式系數(shù)和例5(xx年全國(guó)高考題)若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,則(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值為A.1 B.-1 C.0D.2分析：涉及展開式的系數(shù)和的問題，常用賦值法.解：欲求式可變?yōu)?a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4).實(shí)際上，a0+a1+a2+a3+a4和a0-a1+a2-a3+a4分別為已知式在x=1,x=-1的值.令x=1，得(2+)4=a0+a1+a2+a3+a4,令x=-1，得(2-)4=a0-a1+a2-a3+a4,(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(2+)4(2-)4=(2+)(2-)4=(4-3)4=1.(三)求冪指數(shù)n例6(1995年上海高考題)若(x+1)n=xn+ax3+bx2+1(nN),且ab=31,那么n=_.分析：x3的系數(shù)a=，x2的系數(shù)b=C2n,依題意ab=31,即=31,解得n=11.即n=11滿足題意.(四)求二項(xiàng)式中有關(guān)元素此類問題一般是根據(jù)已知條件列出等式，進(jìn)而解得所要求的元素.例7(1997年全國(guó)高考題)已知()9的展開式中x3的系數(shù)為,則常數(shù)a的值為_.分析：通項(xiàng)Tr+1=()9-r(-)r=a9-r(-)r,令r-9=3,解得r=8,故a9-r(-)r=.解得a=4.例8(xx年上海高考題)設(shè)nN,(1+)n的展開式中x3的系數(shù)為,則n=_.分析：Tr+1=()rxr,令x3的系數(shù)為,展開整理得.解得n=4.(五)三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式問題例9(1997年全國(guó)高考題)在(x2+3x+2)5的展開式中，x的系數(shù)為A.160 B.240C.360 D.800分析：原式寫成二項(xiàng)式(x2+2)+3x5,設(shè)第r+1項(xiàng)為含x的項(xiàng).則Tr+1=(x2+2)5-r(3x)r(0r5),要使x的指數(shù)為1，只有r=1才有可能，即T2=(x2+2)43x=15x(x8+42x6+64x4+48x2+24).x的系數(shù)為1524=240.答案：B(六)求整除余數(shù)例10(1992年“三南”高考題)9192除以100的余數(shù)是_.分析：9192=(90+1)92=9092+9091+90+.由此可見，除后兩項(xiàng)外均能被100整除.而90+=8281=82100+81.故9192被100整除余數(shù)為81.(七)利用二項(xiàng)展開式證明不等式例11(xx年全國(guó)高考題)已知i,m,n是正整數(shù)，且1imn.(1)證明：nimi;(2)證明：(1+m)n(1+n)m.證明：(1)略.(2)由二項(xiàng)式定理知(1+m)n=,(1+n)m=由(1)知nimi,又=,=nimi (1imn).故<.又n0=m0，n=mn=m,<,即(1+n)m(1+m)n.(八)求近似值例12某地現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%，如果人口年增長(zhǎng)率為1%，那么耕地平均每年至多只能減小多少公頃(精確到1公頃)？(糧食單產(chǎn)=，人均糧食占有量=)分析：此類試題是利用二項(xiàng)式定理的展開式求近似值，主要考查利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似計(jì)算的能力.解：設(shè)耕地平均每年至多只能減少x公頃(hm2),又設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為P人，糧食單產(chǎn)為M噸/公頃(t/hm2),依題意得不等式,化簡(jiǎn)得x1031-,1031-=1031-(1+0.01+0.012+)1031-1.10454.1,x4(公頃).