2019-2020年高中數學 任意角的三角函數 教案 蘇教版必修4.doc

2019-2020年高中數學 任意角的三角函數 教案 蘇教版必修4教學目標：理解并掌握任意角三角函數的定義，理解并掌握各種三角函數在各象限內的符號，理解三角函數是以實數為自變量的函數，掌握正弦、余弦、正切函數的定義域；使學生通過任意角三角函數的定義，認識銳角三角函數是任意角三角函數的一種特例，加深特殊與一般關系的理解.教學重點：任意角三角函數的定義，正弦、余弦、正切函數的定義域.教學難點：正弦、余弦、正切函數的定義域.教學過程：.課題導入在初中我們學習了銳角三角函數，它是以銳角為自變量，邊的比值為函數值的三角函數，前面我們對角的概念進行了擴充，并學習了弧度制，知道角的集合與實數集是一一對應的，在這個基礎上，今天我們來研究任意角的三角函數.講授新課對于銳角三角函數，我們是在直角三角形中定義的，今天，對于任意角的三角函數，我們利用平面直角坐標系來進行研究.設是一個頂點在原點，始邊在x軸正半軸上的任意角，的終邊上任意一點P的坐標是（x，y）(非頂點).它與原點的距離是r(r0）注意：(1)以后我們在平面直角坐標系內研究角的問題，其頂點都在原點，始邊都與x軸的正半軸重合.(2)OP是角的終邊，至于是轉了幾圈，按什么方向旋轉的不清楚，也只有這樣，才能說明角是任意的.(3)角的終邊只要不落在坐標軸上，就只能是象限角.(4)角的終邊不是不能落在坐標軸上，而是說落在坐標軸上的情況屬于特殊情形，我們將在研究問題的過程中對其進行討論.那么，(1)比值 叫做的正弦，記作sin，即sin .(2)比值 叫做的余弦，記作cos，即cos. (3)比值 叫做的正切，記作tan，即tan .以上三種函數統(tǒng)稱為三角函數.確定的角，它的終邊上任意一點P的坐標都是變量，它與原點的距離r也是變量，這三個變量的三個比值究竟是確定的還是變化的？根據相似三角形的知識，對于終邊不在坐標軸上確定的角，上述三個比值都不會隨P點在的終邊上的位置的改變而改變.當角的終邊在縱軸上時，即k（kZ)時，終邊上任意一點P的橫坐標x都為0，所以tan無意義，除此之外，對于確定的角，上面的三個比值都是唯一確定的實數，這就是說，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以比值為函數值的函數.注意：(1)sin是個整體符號，不能認為是“sin”與“”的積.其余兩個符號也是這樣.(2)定義中只說怎樣的比值叫做的什么函數，并沒有說的終邊在什么位置(終邊在坐標軸上的除外)，即函數的定義與的終邊位置無關.(3)比值只與角的大小有關.我們已經給出了任意角三角函數的定義，請同學們考慮并比較一下，我們給出的任意角的三角函數的定義與銳角三角函數的定義，有什么聯(lián)系與區(qū)別?正弦函數值是縱坐標比距離，余弦函數值是橫坐標比距離，正切函數值是縱坐標比橫坐標.由于角的集合與實數集R之間是一一對應的，所以三角函數可以看成是以實數為自變量的函數.我們知道，函數有三個要素，即定義域、值域、對應法則，下面我們就來研究正弦、余弦、正切函數的定義域，值域問題待后再作研究.對于正弦函數sin，因為r0，所以 恒有意義，即取任意實數，恒有意義，也就是說sin恒有意義，所以正弦函數的定義域是R；類似地可寫出余弦函數的定義域；對于正切函數tan，因為x0時，無意義，即tan無意義，又當且僅當角的終邊落在縱軸上時，才有x0，所以當的終邊不在縱軸上時，恒有意義，即tan恒有意義，所以正切函數的定義域是k（kZ).為了幾何表示的需要，我們先來看單位圓的概念：以原點為圓心，單位長為半徑的圓稱為單位圓.單位長如1 cm、1 dm、1m、1 km等等，都是1個單位長，它們的單位雖不同，但長度都是1個單位長.即單位圓的半徑是1(個單位長).在平面直角坐標系內，作單位圓，設任意角的頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點P(x，y），x軸的正半軸與單位圓相交于A（1，0），過P作x軸的垂線，垂足為M；過A作單位圓的切線，這條切線必平行于y軸(垂直于同一條直線的兩直線平行)，設它與角的終邊或其反向延長線交于點T.顯然，線段OM的長度為x，線段MP的長度為y，它們都只能取非負值.當角的終邊不在坐標軸上時，我們可以把OM、MP都看作帶有方向的線段。如果x0，OM與x軸同向，規(guī)定此時OM具有正值x；如果x0，OM與x軸正向相反(即反向)，規(guī)定此時OM具有負值x，所以不論哪一種情況，都有OMx.如果y0，把MP看作與y軸同向，規(guī)定此時MP具有正值y；如果y0，把MP看作與y軸反向，規(guī)定此時MP具有負值y，所以不論哪一種情況，都有MPy，由上面所述，OM、MP都是帶有方向的線段，這種被看作帶有方向的線段叫做有向線段（即規(guī)定了起點和終點），把它們的長度添上正號或負號，這樣所得的數，叫做有向線段的數量，記為AB于是，根據正弦、余弦函數的定義，就有sin yMPcos xOM這兩條與單位圓有關的有向線段MP、OM分別叫做角的正弦線、余弦線.類似地，我們把OA、AT也看作有向線段，那么根據正切函數的定義和相似三角形的知識，就有tan AT這條與單位圓有關的有向線段AT，叫做角的正切線.注意：(1)當角的終邊在y軸上時，余弦線變成一個點，正切線不存在.(2)當角的終邊在x軸上時，正弦線、正切線都變成點.(3)正弦線、余弦線、正切線都是與單位圓有關的有向線段，所以作某角的三角函數線時，一定要先作單位圓.(4)線段有兩個端點，在用字母表示正弦線、余弦線、正切線時，要先寫起點字母，再寫終點字母，不能顛倒；或者說，含原點的線段，以原點為起點，不含原點的線段，以此線段與x軸的公共點為起點.(5)三種有向線段的正負與坐標軸正反方向一致，三種有向線段的數量與三種三角函數值相同.正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數線.例題分析例1已知角的終邊經過點P(2，3)(如圖)，求的三個三角函數值.解：x2，y3r于是sin costan 例2求下列各角的三個三角函數值.(1)0 (2) (3) 解：(1)因為當0時，xr，y0，所以sin00 cos01 tan00 (2)因為當時，xr，y0，所以sin0 cos1 tan0 (3)因為當時，x0，yr，所以sin1 cos0 tan不存在 .課堂練習課本P16練習 1、2、3.課時小結任意角三角函數的定義，正弦函數、余弦函數、正切函數的定義域，單位圓的概念，有向線段的定義，正弦線、余弦線、正切線的定義，這三種三角函數線都是一些特殊的有向線段，其之所以特殊，一是其與坐標軸平行(或重合)，二是其與單位圓有關，這些線段分別都可以表示相應三角函數的值，所以說它們是三角函數的一種幾何表示.課后作業(yè)課本P23習題 1、2、3.任意角的三角函數(一)1sin1、cos1、tan1的大小關系是 （ ）A.tan1cos1sin1 B.sin1cos1tan1C.sin1tan1cos1 D.cos1sin1tan12已知角的正弦線和余弦線是方向一正一反、長度相等的有向線段，則的終邊在（ ）A.第一象限角平分線上 B.第二象限角平分線上C.第二或第四象限角平分線上 D.第一或第三象限角平分線上3如果，那么下列各式中正確的是 （ ）A.costansin B.sincostanC.tansincos D.cossintan4若點P(3，y)是角終邊上一點，且sin，則y的值是_. 5已知角終邊上一點P的坐標是（4a，3a)(a0)，則sin_，cos_，tan_. 6如果角的頂點在坐標原點，始邊與x軸的正半軸重合.終邊在函數y3x(x0)的圖象上，則sin_，cos_，tan_. 7已知角的終邊上一點P的坐標是（x，2)(x0），且cos，求sin和tan的值.8已知角終邊上有一點P（x，1)(x0)，且cosx，求sin的值.9已知是第一象限角，試利用三角函數線證明：sin+cos1.任意角的三角函數(一)答案1D 2C 3D 4 5 6 37已知角的終邊上一點P的坐標是（x，2)(x0），且cos，求sin和tan的值.分析：r，又cos，即rx3x由于x0，r3 x249 x25，x.當x時，P點的坐標是（，2）.sin ，tan .當x時，P點的坐標是（，2）sin ，tan .答案：當x時，sin，tan當x時，sin，tan8已知角終邊上有一點P（x，1)(x0)，且cosx，求sin的值.分析：由任意角的三角函數的定義cosx，r2 sin.另：用x、1表示出r，即r再由cosx，求出x.進一步求得sin也可.9已知是第一象限角，試利用三角函數線證明：sin+cos1.提示：作出單位圓以及正弦線、余弦線，利用三角形兩邊和大于第三邊可證得.