2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 4.6正弦定理和余弦定理教案 理 新人教A版 .DOC

2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 4.6正弦定理和余弦定理教案 理 新人教A版xx高考會(huì)這樣考1.考查正弦定理、余弦定理的推導(dǎo)；2.利用正、余弦定理判斷三角形的形狀和解三角形；3.在解答題中對(duì)正弦定理、余弦定理、面積公式以及三角函數(shù)中恒等變換、誘導(dǎo)公式等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查復(fù)習(xí)備考要這樣做1.理解正弦定理、余弦定理的意義和作用；2.通過(guò)正弦、余弦定理實(shí)現(xiàn)三角形中的邊角轉(zhuǎn)換，和三角函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合1 正弦定理：2R，其中R是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形：(1)abcsin_Asin_Bsin_C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，以解決不同的三角形問(wèn)題2 余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以變形：cos A，cos B，cos C.3 SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R、r.4 在ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Absin A<a<baba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在ABC中，A>Ba>bsin A>sin B.2 根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換1 在ABC中，若A60，a，則_.答案2解析由正弦定理及等比性質(zhì)知2R，而由A60，a，得2R2.2 (xx福建)已知ABC的三邊長(zhǎng)成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為_(kāi)答案解析設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)從小到大依次為a，b，c，由題意得ba，c2a.在ABC中，由余弦定理得cos C.3 (xx重慶)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cos A，cos B，b3，則c_.答案解析在ABC中，cos A>0，sin A.cos B>0，sin B.sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.由正弦定理知，c.4 (xx課標(biāo)全國(guó))在ABC中，B60，AC，則AB2BC的最大值為_(kāi)答案2解析由正弦定理知，AB2sin C，BC2sin A.又AC120，AB2BC2sin C4sin(120C)2(sin C2sin 120cos C2cos 120sin C)2(sin Ccos Csin C)2(2sin Ccos C)2sin(C)，其中tan ，是第一象限角，由于0C120，且是第一象限角，因此AB2BC有最大值2.5 已知圓的半徑為4，a、b、c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc16，則三角形的面積為 ()A2 B8 C. D.答案C解析2R8，sin C，SABCabsin Cabc16.題型一利用正弦定理解三角形例1在ABC中，a，b，B45.求角A、C和邊c.思維啟迪：已知兩邊及一邊對(duì)角或已知兩角及一邊，可利用正弦定理解這個(gè)三角形，但要注意解的個(gè)數(shù)的判斷解由正弦定理得，sin A.a>b，A60或A120.當(dāng)A60時(shí)，C180456075，c；當(dāng)A120時(shí)，C1804512015，c.探究提高(1)已知兩角及一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)已知兩邊和一邊對(duì)角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意討論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意 已知a，b，c分別是ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若a1，b，AC2B，則角A的大小為_(kāi)答案解析AC2B且ABC，B.由正弦定理知：sin A，又a<b，A<B，A.題型二利用余弦定理求解三角形例2在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且.(1)求角B的大?。?2)若b，ac4，求ABC的面積思維啟迪：由，利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解解(1)由余弦定理知：cos B，cos C.將上式代入得：，整理得：a2c2b2ac.cos B.0<B<，B.(2)將b，ac4，B代入b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac2accos B，13162ac，ac3.SABCacsin B.探究提高(1)根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵(2)熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過(guò)程中的運(yùn)用 已知A，B，C為ABC的三個(gè)內(nèi)角，其所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2cos2cos A0.(1)求角A的值；(2)若a2，bc4，求ABC的面積解(1)由2cos2cos A0，得1cos Acos A0，即cos A，0<A<，A.(2)由余弦定理得，a2b2c22bccos A，A，則a2(bc)2bc，又a2，bc4，有1242bc，則bc4，故SABCbcsin A.題型三正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用例3(xx課標(biāo)全國(guó))已知a，b，c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面積為，求b，c.思維啟迪：利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，再利用和差公式可求出A；面積公式和余弦定理相結(jié)合，可求出b，c.解(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因?yàn)锽AC，所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以sin.又0<A<，故A.(2)ABC的面積Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28.解得bc2.探究提高在已知關(guān)系式中，若既含有邊又含有角通常的思路是將角都化成邊或?qū)⑦叾蓟山?，再結(jié)合正、余弦定理即可求角 在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a，b，c.(1)若c2，C，且ABC的面積為，求a，b的值；(2)若sin Csin(BA)sin 2A，試判斷ABC的形狀解(1)c2，C，由余弦定理c2a2b22abcos C得a2b2ab4.又ABC的面積為，absin C，ab4.聯(lián)立方程組解得a2，b2.(2)由sin Csin(BA)sin 2A，得sin(AB)sin(BA)2sin Acos A，即2sin Bcos A2sin Acos A，cos A(sin Asin B)0，cos A0或sin Asin B0，當(dāng)cos A0時(shí)，0<A<，A，ABC為直角三角形；當(dāng)sin Asin B0時(shí)，得sin Bsin A，由正弦定理得ab，即ABC為等腰三角形ABC為等腰三角形或直角三角形高考中的解三角形問(wèn)題典例：(12分)(xx遼寧)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.角A，B，C成等差數(shù)列(1)求cos B的值；(2)邊a，b，c成等比數(shù)列，求sin Asin C的值考點(diǎn)分析本題考查三角形的性質(zhì)和正弦定理、余弦定理，考查轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力解題策略根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可直接求得B；利用正弦定理或余弦定理轉(zhuǎn)化到只含角或只含邊的式子，然后求解規(guī)范解答解(1)由已知2BAC，ABC180，解得B60，所以cos B.4分(2)方法一由已知b2ac，及cos B，根據(jù)正弦定理得sin2Bsin Asin C，8分所以sin Asin C1cos2B.12分方法二由已知b2ac，及cos B，根據(jù)余弦定理得cos B，解得ac，8分所以ACB60，故sin Asin C.12分解后反思(1)在解三角形的有關(guān)問(wèn)題中，對(duì)所給的邊角關(guān)系式一般要先化為只含邊之間的關(guān)系或只含角之間的關(guān)系，再進(jìn)行判斷(2)在求解時(shí)要根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征判斷使用哪個(gè)定理以及變形的方向.方法與技巧1 應(yīng)熟練掌握和運(yùn)用內(nèi)角和定理：ABC，中互補(bǔ)和互余的情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù)2 正、余弦定理的公式應(yīng)注意靈活運(yùn)用，如由正、余弦定理結(jié)合得sin2Asin2Bsin2C2sin Bsin Ccos A，可以進(jìn)行化簡(jiǎn)或證明失誤與防范1 在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解，所以要進(jìn)行分類(lèi)討論2 利用正、余弦定理解三角形時(shí)，要注意三角形內(nèi)角和定理對(duì)角的范圍的限制A組專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿(mǎn)分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 (xx廣東)在ABC中，若A60，B45，BC3，則AC等于()A4 B2 C. D.答案B解析在ABC中，AC2.2 (xx浙江)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若acos Absin B，則sin Acos Acos2B等于 ()A B. C1 D1答案D解析acos Absin B，sin Acos Asin Bsin B，即sin Acos Asin2B0，sin Acos A(1cos2B)0，sin Acos Acos2B1.3 在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，若a2bcos C，則此三角形一定是 ()A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形答案C解析因?yàn)閍2bcos C，所以由余弦定理得：a2b，整理得b2c2，因此三角形一定是等腰三角形4 (xx湖南)ABC中，AC，BC2，B60，則BC邊上的高等于 ()A. B.C. D.答案B解析設(shè)ABa，則由AC2AB2BC22ABBCcos B知7a242a，即a22a30，a3(負(fù)值舍去)BC邊上的高為ABsin B3.二、填空題(每小題5分，共15分)5 (xx北京)在ABC中，若b5，B，sin A，則a_.答案解析根據(jù)正弦定理應(yīng)有，a.6 (xx福建)若ABC的面積為，BC2，C60，則邊AB的長(zhǎng)度等于_答案2解析由于SABC，BC2，C60，2AC，AC2，ABC為正三角形AB2.7 在ABC中，若AB，AC5，且cos C，則BC_.答案4或5解析設(shè)BCx，則由余弦定理AB2AC2BC22ACBCcos C得525x225x，即x29x200，解得x4或x5.三、解答題(共22分)8 (10分)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足cos ，3.(1)求ABC的面積；(2)若bc6，求a的值解(1)cos ，cos A2cos21，sin A.又3，bccos A3，bc5.SABCbcsin A52.(2)由(1)知，bc5，又bc6，根據(jù)余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)22bc2bccos A36101020，a2.9 (12分)在ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，4sin2cos 2A.(1)求A的度數(shù)；(2)若a，bc3，求b、c的值解(1)BCA，即，由4sin2cos 2A，得4cos2cos 2A，即2(1cos A)(2cos2A1)，整理得4cos2A4cos A10，即(2cos A1)20.cos A，又0<A<180，A60.(2)由A60，根據(jù)余弦定理cos A，即，b2c2bc3，又bc3，b2c22bc9.整理得：bc2.解聯(lián)立方程組得或B組專(zhuān)項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿(mǎn)分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 (xx上海)在ABC中，若sin2Asin2B<sin2C，則ABC的形狀是()A鈍角三角形 B直角三角形C銳角三角形 D不能確定答案A解析由正弦定理知2R，sin A，sin B，sin C.sin2Asin2B<sin2C，<，a2b2<c2，cos C<0，C為鈍角，ABC為鈍角三角形2 (xx遼寧)ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa，則等于 ()A2 B2 C. D.答案D解析asin Asin Bbcos2Aa，sin Asin Asin Bsin Bcos2Asin A，sin Bsin A，.3 (xx湖北)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且A>B>C,3b20acos A，則sin Asin Bsin C為 ()A432 B567C543 D654答案D解析A>B>C，a>b>c.設(shè)ab1，cb1，由3b20acos A得3b20(b1).化簡(jiǎn)，得7b227b400.解得b5或b(舍去)，a6，c4.sin Asin Bsin C654.二、填空題(每小題5分，共15分)4 在ABC中，a、b、c分別為A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)，已知a，b，c成等比數(shù)列，且a2c2acbc，則A_，ABC的形狀為_(kāi)答案60正三角形解析a，b，c成等比數(shù)列，b2ac.又a2c2acbc，b2c2a2bc.在ABC中，由余弦定理得cos A，A60.由b2ac，即a，代入a2c2acbc，整理得(bc)(b3c3cb2)0，bc.ABC為正三角形5 在ABC中，若A60，b1，SABC，則的值為_(kāi)答案解析SABC，即bcsin A，c4.由余弦定理a2b2c22bccos A13，a，.6 在銳角ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.若6cos C，則的值是_答案4解析由6cos C，得b2a26abcos C.化簡(jiǎn)整理得2(a2b2)3c2，將切化弦，得().根據(jù)正、余弦定理得4.三、解答題7 (13分)(xx浙江)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知cos A，sin Bcos C.(1)求tan C的值；(2)若a，求ABC的面積解(1)因?yàn)?<A<，cos A，得sin A.又cos Csin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin Ccos Csin C，所以tan C.(2)由tan C，得sin C，cos C.于是sin Bcos C，由a及正弦定理，得c.設(shè)ABC的面積為S，則Sacsin B.