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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教案 理 新人教A版 .DOC

  • 資源ID:2576316       資源大?。?span id="b0n5rxh" class="font-tahoma">364.50KB        全文頁數(shù):14頁
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教案 理 新人教A版 .DOC

2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教案 理 新人教A版xx高考會這樣考1.考查直線與圓的相交、相切問題,判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系;2.計算弦長、面積,考查與圓有關(guān)的最值;根據(jù)條件求圓的方程復(fù)習(xí)備考要這樣做1.會用代數(shù)法或幾何法判定點、直線與圓的位置關(guān)系;2.掌握圓的幾何性質(zhì),通過數(shù)形結(jié)合法解決圓的切線、直線被圓截得的弦長等直線與圓的綜合問題,體會用代數(shù)法處理幾何問題的思想1 直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線l:AxByC0 (A2B20),圓:(xa)2(yb)2r2 (r>0),d為圓心(a,b)到直線l的距離,聯(lián)立直線和圓的方程,消元后得到的一元二次方程的判別式為.幾何法代數(shù)法相交d<r>0相切dr0相離d>r<02. 圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1:(xa1)2(yb1)2r(r1>0),圓O2:(xa2)2(yb2)2r (r2>0). 方法位置關(guān)系幾何法:圓心距d與r1,r2的關(guān)系代數(shù)法:兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況相離d>r1r2無解外切dr1r2一組實數(shù)解相交|r1r2|<d<r1r2兩組不同的實數(shù)解內(nèi)切d|r1r2|(r1r2)一組實數(shù)解內(nèi)含0d<|r1r2|(r1r2)無解難點正本疑點清源1 直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法的結(jié)合,“代數(shù)法”與“幾何法”是從不同的方面和思路來判斷的2 計算直線被圓截得的弦長的常用方法(1)幾何方法運用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計算(2)代數(shù)方法運用根與系數(shù)關(guān)系及弦長公式|AB|xAxB|.1 (xx重慶)過原點的直線與圓x2y22x4y40相交所得弦的長為2,則該直線的方程為_答案2xy0解析圓的方程化為標準形式為(x1)2(y2)21,又相交所得弦長為2,故相交弦為圓的直徑,由此得直線過圓心(1,2),故所求直線方程為2xy0.2 若圓x2y21與直線ykx2沒有公共點,則實數(shù)k的取值范圍為_答案(,)解析由圓與直線沒有公共點,可知圓的圓心到直線的距離大于半徑,也就是>1,解得<k<,即k(,)3 在平面直角坐標系xOy中,已知圓x2y24上有且只有四個點到直線12x5yc0的距離為1,則實數(shù)c的取值范圍是_答案(13,13)解析由題設(shè)得,若圓上有四個點到直線的距離為1,則需圓心(0,0)到直線的距離d滿足0d<1.d,0|c|<13,即c(13,13)4 從圓x22xy22y10外一點P(3,2)向這個圓作兩條切線,則兩切線夾角的余弦值為()A. B. C. D0答案B解析圓的方程整理為(x1)2(y1)21,C(1,1),sinAPC,則cosAPBcos 2APC122.5 圓C1:x2y22x2y20與圓C2:x2y24x2y10的公切線有且僅有()A1條 B2條 C3條 D4條答案B解析C1:(x1)2(y1)24,圓心C1(1,1),半徑r12.C2:(x2)2(y1)24,圓心C2(2,1),半徑r22.|C1C2|,|r1r2|0<|C1C2|<r1r24,兩圓相交,有兩條公切線.題型一直線與圓的位置關(guān)系例1已知直線l:ykx1,圓C:(x1)2(y1)212.(1)試證明:不論k為何實數(shù),直線l和圓C總有兩個交點;(2)求直線l被圓C截得的最短弦長思維啟迪:直線與圓的交點個數(shù)即為直線方程與圓方程聯(lián)立而成的方程組解的個數(shù);最短弦長可用代數(shù)法或幾何法判定方法一(1)證明由消去y得(k21)x2(24k)x70,因為(24k)228(k21)>0,所以不論k為何實數(shù),直線l和圓C總有兩個交點(2)解設(shè)直線與圓交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點,則直線l被圓C截得的弦長|AB|x1x2|22 ,令t,則tk24k(t3)0,當t0時,k,當t0時,因為kR,所以164t(t3)0,解得1t4,且t0,故t的最大值為4,此時|AB|最小為2.方法二(1)證明圓心C(1,1)到直線l的距離d,圓C的半徑R2,R2d212,而在S11k24k8中,(4)24118<0,故11k24k8>0對kR恒成立,所以R2d2>0,即d<R,所以不論k為何實數(shù),直線l和圓C總有兩個交點(2)解由平面幾何知識,知|AB|22 ,下同方法一方法三(1)證明因為不論k為何實數(shù),直線l總過點P(0,1),而|PC|<2R,所以點P(0,1)在圓C的內(nèi)部,即不論k為何實數(shù),直線l總經(jīng)過圓C內(nèi)部的定點P.所以不論k為何實數(shù),直線l和圓C總有兩個交點(2)解由平面幾何知識知過圓內(nèi)定點P(0,1)的弦,只有和AC (C為圓心)垂直時才最短,而此時點P(0,1)為弦AB的中點,由勾股定理,知|AB|22,即直線l被圓C截得的最短弦長為2.探究提高(1)利用圓心到直線的距離可判斷直線與圓的位置關(guān)系,也可利用直線的方程與圓的方程聯(lián)立后得到的一元二次方程的判別式來判斷直線與圓的位置關(guān)系;(2)勾股定理是解決有關(guān)弦問題的常用方法 (xx安徽)若直線xy10與圓(xa)2y22有公共點,則實數(shù)a的取值范圍是 ()A3,1 B1,3C3,1 D(,31,)答案C解析由題意知,圓心為(a,0),半徑r.若直線與圓有公共點,則圓心到直線的距離小于或等于半徑,即,|a1|2.3a1.題型二圓與圓的位置關(guān)系例2a為何值時,圓C1:x2y22ax4ya250和圓C2:x2y22x2aya230.(1)外切;(2)相交;(3)外離;(4)內(nèi)切思維啟迪:(1)分別表示出兩圓的圓心坐標和半徑;(2)利用圓心距與兩圓半徑的關(guān)系求解解將兩圓方程寫成標準方程C1:(xa)2(y2)29,C2:(x1)2(ya)24.兩圓的圓心和半徑分別為C1(a,2),r13,C2(1,a),r22,設(shè)兩圓的圓心距為d,則d2(a1)2(2a)22a26a5.(1)當d5,即2a26a525時,兩圓外切,此時a5或a2.(2)當1<d<5,即1<2a26a5<25時,兩圓相交,此時5<a<2或1<a<2.(3)當d>5,即2a26a5>25時,兩圓外離,此時a>2或a<5.(4)當d1,即2a26a51時,兩圓內(nèi)切,此時a1或a2.探究提高判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法,即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系,一般不采用代數(shù)法 已知圓C與圓C1:x2y22x0相外切,并且與直線l:xy0相切于點P(3,),求圓C的方程解設(shè)所求圓的圓心為C(a,b),半徑長為r,則圓C的標準方程為(xa)2(yb)2r2,C(a,b)在過點P且與l垂直的直線上,.又圓C與l相切于點P,r.圓C與圓C1相外切,r1.由得ab40,從而由可得|2a6|1,解得,或,此時,r2或r6.即所求的圓C的方程為(x4)2y24或x2(y4)236.題型三直線與圓的綜合問題例3已知M:x2(y2)21,Q是x軸上的動點,QA,QB分別切M于A,B兩點(1)若|AB|,求|MQ|、Q點的坐標以及直線MQ的方程;(2)求證:直線AB恒過定點思維啟迪:第(1)問利用平面幾何的知識解決;第(2)問設(shè)點Q的坐標,從而確定點A、B的坐標與AB的直線方程(1)解設(shè)直線MQ交AB于點P,則|AP|,又|AM|1,APMQ,AMAQ,得|MP|,又|MQ|,|MQ|3.設(shè)Q(x,0),而點M(0,2),由3,得x,則Q點的坐標為(,0)或(,0)從而直線MQ的方程為2xy20或2xy20.(2)證明設(shè)點Q(q,0),由幾何性質(zhì),可知A、B兩點在以QM為直徑的圓上,此圓的方程為x(xq)y(y2)0,而線段AB是此圓與已知圓的公共弦,即為qx2y30,所以直線AB恒過定點.探究提高在解決直線與圓的位置關(guān)系時要充分考慮平面幾何知識的運用,如在直線與圓相交的有關(guān)線段長度計算中,要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長度放在一起綜合考慮,不要單純依靠代數(shù)計算,這樣既簡單又不容易出錯 已知點P(0,5)及圓C:x2y24x12y240.(1)若直線l過點P且被圓C截得的線段長為4,求l的方程;(2)求過P點的圓C的弦的中點的軌跡方程解(1)如圖所示,|AB|4,將圓C方程化為標準方程為(x2)2(y6)216,圓C的圓心坐標為(2,6),半徑r4,設(shè)D是線段AB的中點,則CDAB,|AD|2,|AC|4.C點坐標為(2,6)在RtACD中,可得|CD|2.設(shè)所求直線l的斜率為k,則直線l的方程為:y5kx,即kxy50.由點C到直線AB的距離公式:2,得k.故直線l的方程為3x4y200.又直線l的斜率不存在時,也滿足題意,此時方程為x0.所求直線l的方程為x0或3x4y200.(2)設(shè)過P點的圓C的弦的中點為D(x,y),則CDPD,即0,(x2,y6)(x,y5)0,化簡得所求軌跡方程為x2y22x11y300.與圓有關(guān)的探索問題典例:(12分)已知圓C:x2y22x4y40.問在圓C上是否存在兩點A、B關(guān)于直線ykx1對稱,且以AB為直徑的圓經(jīng)過原點?若存在,寫出直線AB的方程;若不存在,說明理由審題視角(1)假設(shè)存在兩點A、B關(guān)于直線對稱,則直線過圓心(2)若以AB為直徑的圓過原點,則OAOB,轉(zhuǎn)化為0.規(guī)范解答解圓C的方程可化為(x1)2(y2)29,圓心為C(1,2)假設(shè)在圓C上存在兩點A、B滿足條件,則圓心C(1,2)在直線ykx1上,即k1.3分于是可知,kAB1.設(shè)lAB:yxb,代入圓C的方程,整理得2x22(b1)xb24b40,則4(b1)28(b24b4)>0,即b26b9<0.解得33<b<33.7分設(shè)點A、B的坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2b1,x1x2b22b2.由題意知OAOB,則有x1x2y1y20,也就是x1x2(x1b)(x2b)0.2x1x2b(x1x2)b20.10分b24b4b2bb20,化簡得b23b40.解得b4或b1,均滿足>0,即直線AB的方程為xy40,或xy10.12分答題模板第一步:假設(shè)符合要求的結(jié)論存在第二步:從條件出發(fā)(即假設(shè))利用直線與圓的關(guān)系求解第三步:確定符合要求的結(jié)論存在或不存在第四步:給出明確結(jié)果第五步:反思回顧,查看關(guān)鍵點,易錯點及答題規(guī)范溫馨提醒(1)本題是與圓有關(guān)的探索類問題,要注意充分利用圓的幾何性質(zhì)答題(2)要注意解答這類題目的答題格式使答題過程完整規(guī)范(3)本題的易錯點是轉(zhuǎn)化方向不明確,思路不清晰方法與技巧1 過圓上一點(x0,y0)的圓的切線方程的求法先求切點與圓心連線的斜率k,由垂直關(guān)系知切線斜率為,由點斜式方程可求切線方程若切線斜率不存在,則由圖形寫出切線方程xx0.2 過圓外一點(x0,y0)的圓的切線方程的求法(1)幾何方法當斜率存在時,設(shè)為k,切線方程為yy0k(xx0),即kxyy0kx00.由圓心到直線的距離等于半徑,即可得出切線方程(2)代數(shù)方法設(shè)切線方程為yy0k(xx0),即ykxkx0y0,代入圓方程,得一個關(guān)于x的一元二次方程,由0,求得k,切線方程即可求出3 兩圓公共弦所在直線方程求法若兩圓相交時,把兩圓的方程作差消去x2和y2就得到兩圓的公共弦所在的直線方程4 圓的弦長的求法(1)幾何法:設(shè)圓的半徑為r,弦心距為d,弦長為l,則2r2d2.(2)代數(shù)法:設(shè)直線與圓相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,解方程組消y后得關(guān)于x的一元二次方程,從而求得x1x2,x1x2,則弦長為|AB|(k為直線斜率)失誤與防范1 求圓的弦長問題,注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題,即用圓心與弦中點連線與弦垂直的性質(zhì),可以用勾股定理或斜率之積為1列方程來簡化運算2 過圓上一點作圓的切線有且只有一條;過圓外一點作圓的切線有且只有兩條,若僅求得一條,除了考慮運算過程是否正確外,還要考慮斜率不存在的情況,以防漏解A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間:35分鐘,滿分:57分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1 “a3”是“直線yx4與圓(xa)2(y3)28相切”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案A解析若直線yx4與圓(xa)2(y3)28相切,則有2,即|a1|4,所以a3或5.但當a3時,直線yx4與圓(xa)2(y3)28一定相切,故“a3”是“直線yx4與圓(xa)2(y3)28相切”的充分不必要條件2 (xx重慶)對任意的實數(shù)k,直線ykx1與圓x2y22的位置關(guān)系一定是()A相離 B相切C相交但直線不過圓心 D相交且直線過圓心答案C解析x2y22的圓心(0,0)到直線ykx1的距離d1,又r,0<d<r.直線與圓相交但直線不過圓心3 過原點且傾斜角為60的直線被圓x2y24y0所截得的弦長為()A. B2 C. D2答案D解析過原點且傾斜角為60的直線方程為xy0,圓x2(y2)24的圓心(0,2)到直線的距離為d1,因此弦長為222.4 直線ykx3與圓(x2)2(y3)24相交于M,N兩點,若|MN|2,則k的取值范圍是()A. B.C. D.答案B解析如圖,若|MN|2,則由圓與直線的位置關(guān)系可知圓心到直線的距離滿足d222()21.直線方程為ykx3,d1,解得k.若|MN|2,則k.二、填空題(每小題5分,共15分)5 設(shè)直線axy30與圓(x1)2(y2)24相交于A、B兩點,且弦AB的長為2,則a_.答案0解析d,由已知條件d234,即d1,1,解得a0.6 若圓x2y24與圓x2y22ay60 (a>0)的公共弦長為2,則a_.答案1解析方程x2y22ay60與x2y24.相減得2ay2,則y.由已知條件,即a1.7 (xx江蘇)在平面直角坐標系xOy中,圓C的方程為x2y28x150,若直線ykx2上至少存在一點,使得以該點為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點,則k的最大值是_答案解析圓C的標準方程為(x4)2y21,圓心為(4,0)由題意知(4,0)到kxy20的距離應(yīng)不大于2,即2.整理,得3k24k0.解得0k.故k的最大值是.三、解答題(共22分)8 (10分)求過點P(4,1)且與圓C:x2y22x6y50切于點M(1,2)的圓的方程解設(shè)所求圓的圓心為A(m,n),半徑為r,則A,M,C三點共線,且有|MA|AP|r,因為圓C:x2y22x6y50的圓心為C(1,3),則,解得m3,n1,r,所以所求圓的方程為(x3)2(y1)25.9 (12分)已知點A(1,a),圓x2y24.(1)若過點A的圓的切線只有一條,求a的值及切線方程;(2)若過點A且在兩坐標軸上截距相等的直線與圓相切,求a的值及切線方程解(1)由于過點A的圓的切線只有一條,則點A在圓上,故12a24,a.當a時,A(1,),切線方程為xy40;當a時,A(1,),切線方程為xy40,a時,切線方程為xy40,a時,切線方程為xy40.(2)設(shè)直線方程為xyb,由于直線過點A,1ab,直線方程為xy1a,即xya10.又直線與圓相切,d2,a21.切線方程為xy20或xy20.B組專項能力提升(時間:25分鐘,滿分:43分)一、選擇題(每小題5分,共15分)1 (xx天津)設(shè)m,nR,若直線(m1)x(n1)y20與圓(x1)2(y1)21相切,則mn的取值范圍是()A1,1B(,11,)C22,22D(,2222,)答案D解析圓心(1,1)到直線(m1)x(n1)y20的距離為1,所以mn1mn(mn)2,所以mn22或mn22.2 (xx江西)若曲線C1:x2y22x0與曲線C2:y(ymxm)0有四個不同的交點,則實數(shù)m的取值范圍是 ()A(,) B(,0)(0,)C, D(,)(,)答案B解析C1:(x1)2y21,C2:y0或ymxmm(x1)當m0時,C2:y0,此時C1與C2顯然只有兩個交點;當m0時,要滿足題意,需圓(x1)2y21與直線ym(x1)有兩交點,當圓與直線相切時,m,即直線處于兩切線之間時滿足題意,則<m<0或0<m<.綜上知<m<0或0<m<.3 (xx大綱全國)設(shè)兩圓C1、C2都和兩坐標軸相切,且都過點(4,1),則兩圓心的距離|C1C2|等于 ()A4 B4 C8 D8答案C解析兩圓與兩坐標軸都相切,且都經(jīng)過點(4,1),兩圓圓心均在第一象限且橫、縱坐標相等設(shè)兩圓的圓心分別為(a,a),(b,b),則有(4a)2(1a)2a2,(4b)2(1b)2b2,即a,b為方程(4x)2(1x)2x2的兩個根,整理得x210x170,ab10,ab17.(ab)2(ab)24ab10041732,|C1C2|8.二、填空題(每小題5分,共15分)4 若過點A(a,a)可作圓x2y22axa22a30的兩條切線,則實數(shù)a的取值范圍為_答案(,3)解析圓方程可化為(xa)2y232a,由已知可得,解得a<3或1<a<.5 若過定點M(1,0)且斜率為k的直線與圓C:x24xy250在第一象限內(nèi)的部分有交點,則k的取值范圍是_答案(0,)解析圓的標準方程為(x2)2y29,令x0得圓與y軸的兩個交點為(0,),如圖,直線kAM.若過定點M(1,0)且斜率為k的直線與圓x24xy250在第一象限內(nèi)的部分有交點,則k的取值范圍是0<k<.6 過點M的直線l與圓C:(x1)2y24交于A、B兩點,C為圓心,當ACB最小時,直線l的方程為_答案2x4y30解析由題意得,當CMAB時,ACB最小,從而直線方程y1,即2x4y30.三、解答題7 (13分)已知以點A(1,2)為圓心的圓與直線l1:x2y70相切過點B(2,0)的動直線l與圓A相交于M,N兩點,Q是MN的中點(1)求圓A的方程;(2)當|MN|2時,求直線l的方程解(1)設(shè)圓A的半徑為R,由于圓A與直線l1:x2y70相切,R2.圓A的方程為(x1)2(y2)220.(2)當直線l與x軸垂直時,易知x2符合題意;當直線l與x軸不垂直時,設(shè)直線l的方程為yk(x2),即kxy2k0.連接AQ,則AQMN.|MN|2,|AQ|1,則由|AQ|1,得k,直線l:3x4y60.故直線l的方程為x2或3x4y60.

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