2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.5橢圓教案 理 新人教A版 .DOC

2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.5橢圓教案 理 新人教A版xx高考會這樣考1.考查橢圓的定義及應(yīng)用；2.考查橢圓的方程、幾何性質(zhì)；3.考查直線與橢圓的位置關(guān)系復(fù)習(xí)備考要這樣做1.熟練掌握橢圓的定義、幾何性質(zhì)；2.會利用定義法、待定系數(shù)法求橢圓方程；3.重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，體會解析幾何的本質(zhì)用代數(shù)方法求解幾何問題1 橢圓的概念在平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：(1)若a>c，則集合P為橢圓；(2)若ac，則集合P為線段；(3)若a<c，則集合P為空集2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1 (a>b>0)1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍axabybbxbaya對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點頂點A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|2c離心率e(0,1)a，b，c的關(guān)系c2a2b2難點正本疑點清源1 橢圓焦點位置與x2，y2系數(shù)間的關(guān)系：給出橢圓方程1時，橢圓的焦點在x軸上m>n>0，橢圓的焦點在y軸上0<m<n.2 求橢圓離心率e時，只要求出a，b，c的一個齊次方程，再結(jié)合b2a2c2就可求得e (0<e<1)3 求橢圓方程時，常用待定系數(shù)法，但首先要判斷是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷的依據(jù)：中心是否在原點；對稱軸是否為坐標(biāo)軸1 若橢圓1過點(2，)，則其焦距為_答案4解析點(2，)在橢圓上，1，即b24，c216412，故2c4.2 如果方程x2ky22表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是_答案(0,1)解析將橢圓方程化為1，焦點在y軸上，>2，即k<1，又k>0，0<k<1.3 已知橢圓的焦點在y軸上，若橢圓1的離心率為，則m的值是()A. B. C. D.答案D解析由題意知a2m，b22，c2m2.e，m.4 已知F1，F(xiàn)2是橢圓1的兩焦點，過點F2的直線交橢圓于A，B兩點在AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長度為()A6 B5 C4 D3答案A解析根據(jù)橢圓定義，知AF1B的周長為4a16，故所求的第三邊的長度為16106.5 橢圓1(a>b>0)的半焦距為c，若直線y2x與橢圓的一個交點P的橫坐標(biāo)恰為c，則橢圓的離心率為()A. B.C.1 D.1答案D解析依題意有P(c,2c)，點P在橢圓上，所以有1，整理得b2c24a2c2a2b2，又因為b2a2c2，代入得c46a2c2a40，即e46e210，解得e232(32舍去)，從而e1.題型一求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1(1)若橢圓短軸的一個端點與兩焦點組成一個正三角形；且焦點到同側(cè)頂點的距離為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_；(2)(xx課標(biāo)全國)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點，且ABF2的周長為16，那么橢圓C的方程為_思維啟迪：根據(jù)橢圓的定義和幾何性質(zhì)確定橢圓的基本量答案(1)1或1(2)1解析(1)由已知從而b29，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.(2)設(shè)橢圓方程為1 (a>b>0)，由e知，故.由于ABF2的周長為|AB|BF2|AF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a16，故a4.b28.橢圓C的方程為1.探究提高求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組如果焦點位置不確定，要考慮是否有兩解，有時為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2ny21 (m>0，n>0，mn)的形式 已知F1，F(xiàn)2是橢圓1 (a>b>0)的左，右焦點，A，B分別是此橢圓的右頂點和上頂點，P是橢圓上一點，OPAB，PF1x軸，|F1A|，則此橢圓的方程是_答案1解析由于直線AB的斜率為，故OP的斜率為，直線OP的方程為yx.與橢圓方程1聯(lián)立，解得xa.因為PF1x軸，所以xa，從而ac，即ac.又|F1A|ac，故cc，解得c，從而a.所以所求的橢圓方程為1.題型二橢圓的幾何性質(zhì)例2已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，F(xiàn)1PF260.(1)求橢圓離心率的范圍；(2)求證：F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān)思維啟迪：(1)在PF1F2中，使用余弦定理和|PF1|PF2|2a，可求|PF1|PF2|與a，c的關(guān)系，然后利用基本不等式找出不等關(guān)系，從而求出e的范圍；(2)利用SF1PF2|PF1|PF2|sin 60可證(1)解設(shè)橢圓方程為1 (a>b>0)，|PF1|m，|PF2|n，則mn2a.在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos 60(mn)23mn4a23mn4a2324a23a2a2(當(dāng)且僅當(dāng)mn時取等號)，即e.又0<e<1，e的取值范圍是.(2)證明由(1)知mnb2，SPF1F2mnsin 60b2，即PF1F2的面積只與短軸長有關(guān)探究提高(1)橢圓上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形，稱為橢圓的焦點三角形，與焦點三角形有關(guān)的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|PF2|2a，得到a、c的關(guān)系(2)對F1PF2的處理方法. (xx安徽)如圖，F(xiàn)1、F2分別是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點，F(xiàn)1AF260.(1)求橢圓C的離心率；(2)已知AF1B的面積為40，求a，b的值解(1)由題意可知，AF1F2為等邊三角形，a2c，所以e.(2)方法一a24c2，b23c2，直線AB的方程為y(xc)，將其代入橢圓方程3x24y212c2，得B，所以|AB|c.由SAF1B|AF1|AB|sinF1ABaca240，解得a10，b5.方法二設(shè)|AB|t.因為|AF2|a，所以|BF2|ta.由橢圓定義|BF1|BF2|2a可知，|BF1|3at，再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60可得，ta.由SAF1Baaa240 知，a10，b5.題型三直線與橢圓的位置關(guān)系例3(xx北京)已知橢圓G：y21.過點(m,0)作圓x2y21的切線l交橢圓G于A，B兩點(1)求橢圓G的焦點坐標(biāo)和離心率；(2)將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值思維啟迪：對于直線和橢圓的交點問題，一般要轉(zhuǎn)化為方程組解的問題，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想解(1)由已知得a2，b1，所以c.所以橢圓G的焦點坐標(biāo)為(，0)，(，0)離心率為e.(2)由題意知，|m|1.當(dāng)m1時，切線l的方程為x1，點A，B的坐標(biāo)分別為(1，)，(1，)此時|AB|.當(dāng)m1時，同理可得|AB|.當(dāng)|m|1時，設(shè)切線l的方程為yk(xm)由得(14k2)x28k2mx4k2m240.設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1x2，x1x2.又由l與圓x2y21相切，得1，即m2k2k21.所以|AB|.由于當(dāng)m1時，|AB|，所以|AB|，m(，11，)因為|AB|2，且當(dāng)m時，|AB|2，所以|AB|的最大值為2.探究提高(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形 設(shè)F1、F2分別是橢圓E：x21(0<b<1)的左、右焦點，過F1的直線l與E相交于A、B兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列(1)求|AB|；(2)若直線l的斜率為1，求b的值解(1)由橢圓定義知|AF2|AB|BF2|4.又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|.(2)設(shè)直線l的方程為yxc，其中c.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A、B兩點的坐標(biāo)滿足方程組化簡得(1b2)x22cx12b20，則x1x2，x1x2.因為直線AB的斜率為1，所以|AB|x2x1|，即|x2x1|，則(x1x2)24x1x2，解得b.步驟表述要規(guī)范典例：(12分)設(shè)橢圓1(a>b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2.點P(a，b)滿足|PF2|F1F2|.(1)求橢圓的離心率e.(2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點若直線PF2與圓(x1)2(y)216相交于M，N兩點，且|MN|AB|，求橢圓的方程審題視角第(1)問由|PF2|F1F2|建立關(guān)于a、c的方程；第(2)問可以求出點A、B的坐標(biāo)或利用根與系數(shù)的關(guān)系求|AB|均可，再利用圓的知識求解規(guī)范解答解(1)設(shè)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0)，因為|PF2|F1F2|，所以2c.整理得2()210，得1(舍)，或.所以e.4分(2)由(1)知a2c，bc，可得橢圓方程為3x24y212c2，直線PF2的方程為y(xc)A，B兩點的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c.6分得方程組的解不妨設(shè)A(c，c)，B(0，c)，所以|AB|c.8分于是|MN|AB|2c.圓心(1，)到直線PF2的距離d.10分因為d2()242，所以(2c)2c216.整理得7c212c520，得c(舍)，或c2.所以橢圓方程為1.12分溫馨提醒(1)解決與弦長有關(guān)的橢圓方程問題，首先根據(jù)題設(shè)條件設(shè)出所求的橢圓方程，再由直線與橢圓聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式求出待定系數(shù)(2)用待定系數(shù)法求橢圓方程時，可盡量減少方程中的待定系數(shù)(本題只有一個c)，這樣可避免繁瑣的運算方法與技巧1 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，應(yīng)從“定形”“定式”“定量”三個方面去思考“定形”就是指橢圓的對稱中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸的情況下，能否確定橢圓的焦點在哪個坐標(biāo)軸上“定式”就是根據(jù)“形”設(shè)出橢圓方程的具體形式，“定量”就是指利用定義和已知條件確定方程中的系數(shù)a，b或m，n.2 討論橢圓的幾何性質(zhì)時，離心率問題是重點，求離心率的常用方法有以下兩種：(1)求得a，c的值，直接代入公式e求得；(2)列出關(guān)于a，b，c的齊次方程(或不等式)，然后根據(jù)b2a2c2，消去b，轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解失誤與防范1 判斷兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的方法為比較標(biāo)準(zhǔn)形式中x2與y2的分母大小2 注意橢圓的范圍，在設(shè)橢圓1 (a>b>0)上點的坐標(biāo)為P(x，y)時，則|x|a，這往往在求與點P有關(guān)的最值問題中特別有用，也是容易被忽略而導(dǎo)致求最值錯誤的原因3 注意橢圓上點的坐標(biāo)范圍，特別是把橢圓上某一點坐標(biāo)視為某一函數(shù)問題，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值時有重要意義A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 (xx江西)橢圓1(a>b>0)的左、右頂點分別是A、B，左、右焦點分別是F1、F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為()A. B. C. D.2答案B解析由題意知|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac，且三者成等比數(shù)列，則|F1F2|2|AF1|F1B|，即4c2a2c2，a25c2，所以e2，所以e.2 已知橢圓C的短軸長為6，離心率為，則橢圓C的焦點F到長軸的一個端點的距離為()A9 B1C1或9 D以上都不對答案C解析，解得a5，b3，c4.橢圓C的焦點F到長軸的一個端點的距離為ac9或ac1.3 已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為，且它的長軸長等于圓C：x2y22x150的半徑，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ()A.1 B.1C.y21 D.1答案A解析由 x2y22x150，知r42aa2.又e，c1，則b2a2c23.4 已知橢圓y21的左、右焦點分別為F1、F2，點M在該橢圓上，且0，則點M到y(tǒng)軸的距離為 ()A. B. C. D.答案B解析由題意，得F1(，0)，F(xiàn)2(，0)設(shè)M(x，y)，則(x，y)(x，y)0，整理得x2y23.又因為點M在橢圓上，故y21，即y21.將代入，得x22，解得x.故點M到y(tǒng)軸的距離為.二、填空題(每小題5分，共15分)5 已知F1、F2是橢圓C的左、右焦點，點P在橢圓上，且滿足|PF1|2|PF2|，PF1F230，則橢圓的離心率為_答案解析在三角形PF1F2中，由正弦定理得sinPF2F11，即PF2F1，設(shè)|PF2|1，則|PF1|2，|F2F1|，所以離心率e.6 已知橢圓1的焦點分別是F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點，若連接F1，F(xiàn)2，P三點恰好能構(gòu)成直角三角形，則點P到y(tǒng)軸的距離是_答案解析F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)，3<4，F(xiàn)1F2P90或F2F1P90.設(shè)P(x,3)，代入橢圓方程得x.即點P到y(tǒng)軸的距離是.7. 如圖所示，A，B是橢圓的兩個頂點，C是AB的中點，F(xiàn)為橢圓的右焦點，OC的延長線交橢圓于點M，且|OF|，若MFOA，則橢圓的方程為_答案1解析設(shè)所求的橢圓方程為1 (a>b>0)，則A(a,0)，B(0，b)，C，F(xiàn)(，0)依題意，得，F(xiàn)M的直線方程是x，所以M.由于O，C，M三點共線，所以，即a222，所以a24，b22.所求方程是1.三、解答題(共22分)8 (10分)已知橢圓的兩焦點為F1(1,0)、F2(1,0)，P為橢圓上一點，且2|F1F2|PF1|PF2|.(1)求此橢圓的方程；(2)若點P在第二象限，F(xiàn)2F1P120，求PF1F2的面積解(1)依題意得|F1F2|2，又2|F1F2|PF1|PF2|，|PF1|PF2|42a.a2，c1，b23.所求橢圓的方程為1.(2)設(shè)P點坐標(biāo)為(x，y)，F(xiàn)2F1P120，PF1所在直線的方程為y(x1)tan 120，即y(x1)解方程組并注意到x<0，y>0，可得SPF1F2|F1F2|.9 (12分)(xx安徽)如圖，點F1(c，0)，F(xiàn)2(c,0)分別是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點，過點F1作x軸的垂線交橢圓C的上半部分于點P，過點F2作直線PF2的垂線交直線x于點Q.(1)如果點Q的坐標(biāo)是(4,4)，求此時橢圓C的方程；(2)證明：直線PQ與橢圓C只有一個交點(1)解方法一由條件知，P，故直線PF2的斜率為kPF2.因為PF2F2Q，所以直線F2Q的方程為yx，故Q.由題設(shè)知，4,2a4，解得a2，c1.故橢圓方程為1.方法二設(shè)直線x與x軸交于點M.由條件知，P.因為PF1F2F2MQ，所以，即，解得|MQ|2a.所以解得故橢圓方程為1.(2)證明直線PQ的方程為，即yxa.將上式代入1得x22cxc20，解得xc，y.所以直線PQ與橢圓C只有一個交點B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 (xx課標(biāo)全國)設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：1(a>b>0)的左，右焦點，P為直線x上一點，F(xiàn)2PF1是底角為30的等腰三角形，則E的離心率為()A. B. C. D.答案C解析由題意，知F2F1PF2PF130，PF2x60.|PF2|23a2c.|F1F2|2c，|F1F2|PF2|，3a2c2c，e.2 若點O和點F分別為橢圓1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則的最大值為 ()A2 B3 C6 D8答案C解析由橢圓方程得F(1,0)，設(shè)P(x0，y0)，則(x0，y0)(x01，y0)xx0y.P為橢圓上一點，1.xx03(1)x03(x02)22.2x02，的最大值在x02時取得，且最大值等于6.3 在橢圓1內(nèi)，通過點M(1,1)，且被這點平分的弦所在的直線方程為()Ax4y50 Bx4y50C4xy50 D4xy50答案A解析設(shè)直線與橢圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由，得0，因所以，所以所求直線方程為y1(x1)，即x4y50.二、填空題(每小題5分，共15分)4 設(shè)F1、F2分別是橢圓1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標(biāo)為(6,4)，則|PM|PF1|的最大值為_答案15解析|PF1|PF2|10，|PF1|10|PF2|，|PM|PF1|10|PM|PF2|，易知M點在橢圓外，連接MF2并延長交橢圓于P點，此時|PM|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|PF1|的最大值為10|MF2|1015.5. 如圖，已知點P是以F1、F2為焦點的橢圓1 (a>b>0)上一點，若PF1PF2，tanPF1F2，則此橢圓的離心率是_答案解析由題得PF1F2為直角三角形，設(shè)|PF1|m，tanPF1F2，|PF2|，|F1F2|m，e.6 已知橢圓1 (a>b>0)的離心率等于，其焦點分別為A、B，C為橢圓上異于長軸端點的任意一點，則在ABC中，的值等于_答案3解析在ABC中，由正弦定理得，因為點C在橢圓上，所以由橢圓定義知|CA|CB|2a，而|AB|2c，所以3.三、解答題7 (13分)已知橢圓1 (a>b>0)的長軸長為4，離心率為，點P是橢圓上異于頂點的任意一點，過點P作橢圓的切線l，交y軸于點A，直線l過點P且垂直于l，交y軸于點B.(1)求橢圓的方程；(2)試判斷以AB為直徑的圓能否經(jīng)過定點？若能，求出定點坐標(biāo)；若不能，請說明理由解(1)2a4，a2，c1，b.橢圓的方程為1.(2)能設(shè)點P(x0，y0) (x00，y00)，由題意知直線l的斜率存在設(shè)直線l的方程為yy0k(xx0)，代入1，整理得(34k2)x28k(y0kx0)x4(y0kx0)2120.xx0是方程的兩個相等實根，2x0，解得k.直線l的方程為yy0(xx0)令x0，得點A的坐標(biāo)為.又1，4y3x12.點A的坐標(biāo)為.又直線l的方程為yy0(xx0)，令x0，得點B的坐標(biāo)為.以AB為直徑的圓的方程為xx0.整理，得x2y2y10.令y0，得x1，以AB為直徑的圓恒過定點(1,0)和(1,0)