2019-2020年高中數(shù)學(xué)《空間向量及其運(yùn)算》教案1新人教A版選修2-1.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué)空間向量及其運(yùn)算教案1新人教A版選修2-1教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)目標(biāo)：空間向量；相等的向量；空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律；能力目標(biāo)：理解空間向量的概念，掌握其表示方法；會(huì)用圖形說(shuō)明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律；能用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡(jiǎn)單的立體幾何中的問(wèn)題德育目標(biāo)：學(xué)會(huì)用發(fā)展的眼光看問(wèn)題，認(rèn)識(shí)到事物都是在不斷的發(fā)展、進(jìn)化的，會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待事物教學(xué)重點(diǎn)：空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用向量解決立體幾何問(wèn)題教學(xué)方法：討論式教學(xué)過(guò)程： .復(fù)習(xí)引入師在必修四第二章平面向量中，我們學(xué)習(xí)了有關(guān)平面向量的一些知識(shí)，什么叫做向量？向量是怎樣表示的呢？生既有大小又有方向的量叫向量向量的表示方法有：用有向線段表示；用字母a、b等表示；用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：師數(shù)學(xué)上所說(shuō)的向量是自由向量，也就是說(shuō)在保持向量的方向、大小的前提下可以將向量進(jìn)行平移，由此我們可以得出向量相等的概念，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下生長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.師學(xué)習(xí)了向量的有關(guān)概念以后，我們學(xué)習(xí)了向量的加減以及數(shù)乘向量運(yùn)算：向量的加法：向量的減法：實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作a，其長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：(1)|a|a|(2)當(dāng)0時(shí)，a與a同向； 當(dāng)0時(shí)，a與a反向； 當(dāng)0時(shí)，a0.師關(guān)于向量的以上幾種運(yùn)算，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，有哪些運(yùn)算律呢？生向量加法和數(shù)乘向量滿足以下運(yùn)算律加法交換律：abba加法結(jié)合律：(ab)ca（bc）數(shù)乘分配律：(ab)ab師今天我們將在必修四第二章平面向量的基礎(chǔ)上，類比地引入空間向量的概念、表示方法、相同或向等關(guān)系、空間向量的加法、減法、數(shù)乘以及這三種運(yùn)算的運(yùn)算率，并進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本P26P27.新課講授師如同平面向量的概念，我們把空間中具有大小和方向的量叫做向量例如空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量那么我們?cè)鯓颖硎究臻g向量呢？相等的向量又是怎樣表示的呢？生與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示，并且同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量師由以上知識(shí)可知，向量在空間中是可以平移的空間任意兩個(gè)向量都可以用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示因此我們說(shuō)空間任意兩個(gè)向量是共面的師空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量各是怎樣定義的呢？生空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量的定義與平面向量的運(yùn)算一樣：=a+b，（指向被減向量），a 師空間向量的加法與數(shù)乘向量有哪些運(yùn)算律呢？請(qǐng)大家驗(yàn)證這些運(yùn)算律生空間向量加法與數(shù)乘向量有如下運(yùn)算律：加法交換律：a + b = b + a；加法結(jié)合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（課件驗(yàn)證）數(shù)乘分配律：(a + b) =a +b師空間向量加法的運(yùn)算律要注意以下幾點(diǎn)：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量即：因此，求空間若干向量之和時(shí)，可通過(guò)平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量即：兩個(gè)向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立因此，求始點(diǎn)相同的兩個(gè)向量之和時(shí)，可以考慮用平行四邊形法則例已知平行六面體（如圖），化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量：說(shuō)明：平行四邊形ABCD平移向量 a 到ABCD的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體記作ABCDABCD平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形，每個(gè)面的邊叫做平行六面體的棱解：（見課本P27）說(shuō)明：由第2小題可知，始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量，這是平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣.課堂練習(xí)課本P92練習(xí).課時(shí)小結(jié)平面向量?jī)H限于研究平面圖形在它所在的平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移，它們的共同點(diǎn)都是指“將圖形上所有點(diǎn)沿相同的方向移動(dòng)相同的長(zhǎng)度”，空間的平移包含平面的平移關(guān)于向量算式的化簡(jiǎn)，要注意解題格式、步驟和方法.課后作業(yè)課本P106 1、2、預(yù)習(xí)課本P92P96，預(yù)習(xí)提綱： 怎樣的向量叫做共線向量？?jī)蓚€(gè)向量共線的充要條件是什么？空間中點(diǎn)在直線上的充要條件是什么？什么叫做空間直線的向量參數(shù)表示式？怎樣的向量叫做共面向量？向量p與不共線向量a、b共面的充要條件是什么？空間一點(diǎn)P在平面MAB內(nèi)的充要條件是什么？板書設(shè)計(jì)：3.1 空間向量及其運(yùn)算（一）一、 平面向量復(fù)習(xí) 二、空間向量 三、例1定義及表示方法 定義及表示加減與數(shù)乘運(yùn)算 加減與數(shù)乘向量 小結(jié)運(yùn)算律 運(yùn)算律教學(xué)后記：空間向量及其運(yùn)算（2）一、課題：空間向量及其運(yùn)算（2） 二、教學(xué)目標(biāo)：1理解共線向量定理和共面向量定理及它們的推論；2掌握空間直線、空間平面的向量參數(shù)方程和線段中點(diǎn)的向量公式三、教學(xué)重、難點(diǎn)：共線、共面定理及其應(yīng)用四、教學(xué)過(guò)程：（一）復(fù)習(xí)：1空間向量的概念及表示；（二）新課講解：1共線（平行）向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。讀作：平行于，記作：2共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使（唯一）推論：如果為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)，且平行于已知向量的直線，那么對(duì)任一點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)，滿足等式，其中向量叫做直線的方向向量。在上取，則式可化為或當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，此時(shí)和都叫空間直線的向量參數(shù)方程，是線段的中點(diǎn)公式3向量與平面平行：已知平面和向量，作，如果直線平行于或在內(nèi)，那么我們說(shuō)向量平行于平面，記作：通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的4共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)使推論：空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使或?qū)臻g任一點(diǎn)，有上面式叫做平面的向量表達(dá)式（三）例題分析：例1已知三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外任一點(diǎn)，滿足條件，試判斷：點(diǎn)與是否一定共面？解：由題意：，即，所以，點(diǎn)與共面說(shuō)明：在用共面向量定理及其推論的充要條件進(jìn)行向量共面判斷的時(shí)候，首先要選擇恰當(dāng)?shù)某湟獥l件形式，然后對(duì)照形式將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算【練習(xí)】：對(duì)空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，問(wèn)滿足向量式 （其中）的四點(diǎn)是否共面？解：，點(diǎn)與點(diǎn)共面例2已知，從平面外一點(diǎn)引向量，（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）平面平面解：（1）四邊形是平行四邊形，共面；（2），又，所以，平面平面五、課堂練習(xí)：課本第96頁(yè)練習(xí)第1、2、3題六、課堂小結(jié)：1共線向量定理和共面向量定理及其推論；2空間直線、平面的向量參數(shù)方程和線段中點(diǎn)向量公式七、作業(yè)：1已知兩個(gè)非零向量不共線，如果，求證：共面2已知，若，求實(shí)數(shù)的值。3如圖，分別為正方體的棱的中點(diǎn)，求證：（1）四點(diǎn)共面；（2）平面平面4已知分別是空間四邊形邊的中點(diǎn)，（1）用向量法證明：四點(diǎn)共面；（2）用向量法證明：平面3.1.3空間向量的數(shù)量積（1）教學(xué)目標(biāo)：1掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法；2掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的計(jì)算方法，并能利用兩個(gè)向量的數(shù)量積解決立體幾何中的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。教學(xué)重、難點(diǎn)：空間數(shù)量積的計(jì)算方法、幾何意義、立體幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。 教學(xué)過(guò)程：（一）復(fù)習(xí)：空間向量基本定理及其推論；（二）新課講解：1空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：；2向量的模：設(shè)，則有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模，記作：；3向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即已知向量和軸，是上與同方向的單位向量，作點(diǎn)在上的射影，作點(diǎn)在上的射影，則叫做向量在軸上或在上的正射影；可以證明的長(zhǎng)度4空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： （1）（2）（3）5空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：（1）（2）（交換律）（3）（分配律）（三）例題分析：例1用向量方法證明：直線和平面垂直的判定定理。已知：是平面內(nèi)的兩條相交直線，直線與平面的交點(diǎn)為，且求證：證明：在內(nèi)作不與重合的任一直線，在上取非零向量，相交，向量不平行，由共面定理可知，存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì)，使，又，所以，直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，即得例2已知空間四邊形中，求證：證明：（法一） （法二）選取一組基底，設(shè)，即，同理：，即說(shuō)明：用向量解幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通過(guò)向量運(yùn)算取計(jì)算或證明。例3如圖，在空間四邊形中，求與的夾角的余弦值。解：， ，所以，與的夾角的余弦值為說(shuō)明：由圖形知向量的夾角時(shí)易出錯(cuò)，如易錯(cuò)寫成，切記！五課堂練習(xí)：課本第99頁(yè)練習(xí)第1、2、3題。六課堂小結(jié)：空間向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)。七作業(yè)：課本第106頁(yè)第3、4題補(bǔ)充：1已知向量，向量與的夾角都是，且，試求：（1）；（2）；（3）向量的數(shù)量積（2）一、教學(xué)目標(biāo)：向量的數(shù)量積運(yùn)算利用向量的數(shù)量積運(yùn)算判定垂直、求模、求角二、教學(xué)重點(diǎn)：向量的數(shù)量積運(yùn)算利用向量的數(shù)量積運(yùn)算判定垂直、求模、求角三、教學(xué)方法：練習(xí)法，糾錯(cuò)法，歸納法四、教學(xué)過(guò)程：考點(diǎn)一：向量的數(shù)量積運(yùn)算（一）、知識(shí)要點(diǎn)：1）定義： 設(shè)<>=,則 （的范圍為 ）設(shè)，則 。注：不能寫成，或 的結(jié)果為一個(gè)數(shù)值。2）投影：在方向上的投影為 。3）向量數(shù)量積運(yùn)算律： 注：沒(méi)有結(jié)合律二）例題講練1、下列命題：若，則，中至少一個(gè)為若且，則中正確有個(gè)數(shù)為 （ ）A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)2、已知中，A，B，C所對(duì)的邊為a,b,c，且a=3,b=1,C=30,則= 。3、若，滿足，且，則= 。4、已知，且與的夾角為，則在上的投影為 ?？键c(diǎn)二：向量數(shù)量積性質(zhì)應(yīng)用一）、知識(shí)要點(diǎn)： （用于判定垂直問(wèn)題）（用于求模運(yùn)算問(wèn)題）（用于求角運(yùn)算問(wèn)題）二）例題講練1、已知，且與的夾角為，求當(dāng)m為何值時(shí)2、已知，則 。3、已知和是非零向量，且=，求與的夾角4、已知，且和不共線，求使與的夾角是銳角時(shí)的取值范圍課堂練習(xí)1、已知和是兩個(gè)單位向量，夾角為，則（）等于（ ）A.-8 B. C. D.82、已知和是兩個(gè)單位向量，夾角為，則下面向量中與垂直的是（ ） A. B. C. D. 3、在中，設(shè)，若，則（ ） 直角三角形 銳角三角形 鈍角三角形 無(wú)法判定4、已知和是非零向量，且與垂直，與垂直，求與的夾角。5、已知、是非零的單位向量，且+=，求證：為正三角形。3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示課題向量的坐標(biāo) 教學(xué)目的要求1理解空間向量與有序數(shù)組之間的1-1對(duì)應(yīng)關(guān)系 2掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐標(biāo)表示主要內(nèi)容與時(shí)間分配1投影與投影定理 25分鐘2分向量與向量的坐標(biāo) 30分鐘3模與方向余弦的坐標(biāo)表示 35分鐘重點(diǎn)難點(diǎn)1投影定理2分向量3方向余弦的坐標(biāo)表示教學(xué)方法和手段啟發(fā)式教學(xué)法，使用電子教案一、向量在軸上的投影1幾個(gè)概念(1) 軸上有向線段的值：設(shè)有一軸，是軸上的有向線段，如果數(shù)滿足，且當(dāng)與軸同向時(shí)是正的，當(dāng)與軸反向時(shí)是負(fù)的，那么數(shù)叫做軸上有向線段的值，記做AB，即。設(shè)e是與軸同方向的單位向量，則(2) 設(shè)A、B、C是u軸上任意三點(diǎn)，不論三點(diǎn)的相互位置如何，總有(3) 兩向量夾角的概念：設(shè)有兩個(gè)非零向量和b，任取空間一點(diǎn)O，作，規(guī)定不超過(guò)的稱為向量和b的夾角，記為(4) 空間一點(diǎn)A在軸上的投影：通過(guò)點(diǎn)A作軸的垂直平面，該平面與軸的交點(diǎn)叫做點(diǎn)A在軸上的投影。(5) 向量在軸上的投影：設(shè)已知向量的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B在軸上的投影分別為點(diǎn)和，那么軸上的有向線段的值叫做向量在軸上的投影，記做。2投影定理性質(zhì)1：向量在軸上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦：性質(zhì)2：兩個(gè)向量的和在軸上的投影等于兩個(gè)向量在該軸上的投影的和，即 性質(zhì)3：向量與數(shù)的乘法在軸上的投影等于向量在軸上的投影與數(shù)的乘法。即二、向量在坐標(biāo)系上的分向量與向量的坐標(biāo)1向量在坐標(biāo)系上的分向量與向量的坐標(biāo)通過(guò)坐標(biāo)法，使平面上或空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，同樣地，為了溝通數(shù)與向量的研究，需要建立向量與有序數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。設(shè)a =是以為起點(diǎn)、為終點(diǎn)的向量，i、j、k分別表示 圖75沿x，y，z軸正向的單位向量，并稱它們?yōu)檫@一坐標(biāo)系的基本單位向量，由圖75，并應(yīng)用向量的加法規(guī)則知：i + j+k或a = ax i + ayj + azk上式稱為向量a按基本單位向量的分解式。有序數(shù)組ax、ay、az與向量a一一對(duì)應(yīng)，向量a在三條坐標(biāo)軸上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐標(biāo)，并記為 a ax，ay，az。上式叫做向量a的坐標(biāo)表示式。于是，起點(diǎn)為終點(diǎn)為的向量可以表示為特別地，點(diǎn)對(duì)于原點(diǎn)O的向徑注意：向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量在坐標(biāo)軸上的投影有本質(zhì)區(qū)別。向量a在坐標(biāo)軸上的投影是三個(gè)數(shù)ax、ay、az，向量a在坐標(biāo)軸上的分向量是三個(gè)向量ax i 、 ayj 、 azk.2向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)，即，則(1) 加法： 減法： 乘數(shù)： 或 平行：若a0時(shí)，向量相當(dāng)于，即也相當(dāng)于向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例即三、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式設(shè)，可以用它與三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角（均大于等于0，小于等于）來(lái)表示它的方向，稱為非零向量a的方向角，見圖76，其余弦表示形式稱為方向余弦。圖761 模2 方向余弦由性質(zhì)1知，當(dāng)時(shí)，有 任意向量的方向余弦有性質(zhì)： 與非零向量a同方向的單位向量為：3 例子：已知兩點(diǎn)M1(2,2,)、M2(1,3,0)，計(jì)算向量的模、方向余弦、方向角以及與同向的單位向量。解：1-2，3-2，0-=-1，1，-，設(shè)為與同向的單位向量，由于即得3.2立體幾何中的向量方法空間距離利用向量方法求解空間距離問(wèn)題，可以回避此類問(wèn)題中大量的作圖、證明等步驟，而轉(zhuǎn)化為向量間的計(jì)算問(wèn)題例如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC平面ABCD，且GC2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離分析：由題設(shè)可知CG、CB、CD兩兩互相垂直，可以由此建立空間直角坐標(biāo)系用向量法求解，就是求出過(guò)B且垂直于平面EFG的向量，它的長(zhǎng)即為點(diǎn)B到平面EFG的距離解：如圖，設(shè)4i，4j，2k，以i、j、k為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz由題設(shè)C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(xiàn)(4,2,0)，G(0,0,2)， ，設(shè)平面EFG，M為垂足，則M、G、E、F四點(diǎn)共面，由共面向量定理知，存在實(shí)數(shù)a、b、c，使得，(2a+4b,2b4c,2c)由平面EFG，得，于是，整理得：，解得(2a+4b,2b4c,2c)故點(diǎn)B到平面EFG的距離為說(shuō)明：用向量法求點(diǎn)到平面的距離，常常不必作出垂線段，只需利用垂足在平面內(nèi)、共面向量定理、兩個(gè)向量垂直的充要條件解出垂線段對(duì)應(yīng)的向量就可以了例2已知正方體ABCD的棱長(zhǎng)為1，求直線與AC的距離分析：設(shè)異面直線、AC的公垂線是直線l，則線段在直線l上的射影就是兩異面直線的公垂線段，所以此題可以利用向量的數(shù)量積的幾何意義求解解：如圖，設(shè)i，j，k，以i、j、k為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系xyz，則有，設(shè)n是直線l方向上的單位向量，則n，n，解得或取n，則向量在直線l上的投影為n由兩個(gè)向量的數(shù)量積的幾何意義知，直線與AC的距離為向量的內(nèi)積與二面角的計(jì)算 在高等代數(shù)與解析幾何課程第一章向量代數(shù)的教學(xué)中，講到幾何空間的內(nèi)積時(shí)，有一個(gè)例題（見1，p53）要求證明如下的公式： (1)其中點(diǎn)O是二面角P-MN-Q的棱MN上的點(diǎn)，OA、OB分別在平面P和平面Q內(nèi)。， 。為二面角P-MN-Q（見圖1）。圖1 公式（1）可以利用向量的內(nèi)積來(lái)加以證明：以Q為坐標(biāo)平面，直線MN為y軸，如圖1建立直角坐標(biāo)系。 記xOz平面與平面P的交線為射線OD，則，得，。分別沿射線OA、OB的方向上作單位向量，則。由計(jì)算知，的坐標(biāo)分別為，于是，。公式（1）在立體幾何計(jì)算二面角的平面角時(shí)是有用的。我們來(lái)介紹如下的兩個(gè)應(yīng)用。例1立方體ABCD-A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為1，E、F、G、H、I分別為A1D1、A1A、A1B1、B1C1、B1B的中點(diǎn)。 求面EFG和面GHI的夾角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）。解 由于圖2中所畫的兩平面EFG和GHI只有一個(gè)公共點(diǎn)，沒(méi)有交線，所以我們可以將該立方體沿AB方向平移1個(gè)單位。這樣就使平面EFG平移至平面。而就是二面角G-IH-（見圖3）。利用公式（1），只要知道了，和的大小，我們就能求出。圖2由已知條件，和均為等邊三角形，所以，而。因此，圖3，即。解得， 。當(dāng)然，在建立了直角坐標(biāo)系之后，通過(guò)計(jì)算向量的外積可計(jì)算出兩平面的法向量，利用法向量同樣也可算出夾角來(lái)。例2計(jì)算正十二面體的兩個(gè)相鄰面的夾角的大小。解 我們知道正十二面體的每個(gè)面都是大小相同的正五邊形，且在正十二面體的每個(gè)頂點(diǎn)上均有3個(gè)面圍繞。設(shè)P和Q是兩個(gè)相鄰的面，MN是它們的交線（如圖4），則公式（1）中的，分別為：， ， ，因此它們均為正五邊形的內(nèi)角。所以。圖4所以，由公式（1）知，或。因此，或。 如果不使用公式（1），要求出例2中的夾角的大小在計(jì)算上要復(fù)雜很多。利用例2的結(jié)果，我們可以容易地計(jì)算出單位棱長(zhǎng)正十二面體的體積V。設(shè)單位棱長(zhǎng)正十二面體的中心為O，則該十二面體可以切割成十二個(gè)全等的正五棱錐，每個(gè)五棱錐以該多面體的一個(gè)面為底面、以O(shè)為其頂點(diǎn)。設(shè)該正五棱錐為，從而可知：。再設(shè)的底面積為S、高為h，設(shè)為單位邊長(zhǎng)正五邊形（即的底）的中心，A、B為該五邊形的兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn)，H為AB的中點(diǎn)，則， ， 。仍設(shè)為正十二面體兩相鄰面的夾角，則。所以。但是，從而 ，或