2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教案 新人教A版.doc

2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教案 新人教A版高考要求：（1）通過(guò)具體實(shí)例（如細(xì)胞的分裂，考古中所用的14C的衰減，藥物在人體內(nèi)殘留量的變化等），了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景；（2）理解有理指數(shù)冪的含義，通過(guò)具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算。（3）理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；（4）在解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。重點(diǎn)難點(diǎn)：對(duì)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪含義的理解，學(xué)會(huì)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的理解與應(yīng)用，能將討論復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論比較簡(jiǎn)單的函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題知識(shí)梳理1根式的概念(1)根式如果一個(gè)數(shù)的n次方等于a ( n>1且nN*)，那么這個(gè)數(shù)叫做a的n次方根也就是，若xna，則x叫做_a的n次方根_，其中n>1且nN*.式子叫做_根式_，這里n叫做_根指數(shù)_，a叫做_被開(kāi)方數(shù)_(2)根式的性質(zhì)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)，a的n次方根用符號(hào)_表示當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，這時(shí)，正數(shù)的正的n次方根用符號(hào)_表示，負(fù)的n次方根用符號(hào)_表示正負(fù)兩個(gè)n次方根可以合寫(xiě)成_(a>0)負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根;_（須使有意義）. 零的任何次方根都是零2.有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念正整數(shù)指數(shù)冪：N*).n個(gè)零指數(shù)冪：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪： Q a0，).正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a=（a0，m、n都是正整數(shù)，n1）.負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：=（a0，m、n都是正整數(shù)，n1）0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于_，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪_無(wú)意義_. (2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)aras_(a>0，r，sQ) (ar)s_(a>0，r，sQ)(ab)r_(a>0，b>0，rQ)（注）上述性質(zhì)對(duì)r、R均適用。3指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域(1)_值域(2)_性質(zhì)(3)過(guò)定點(diǎn)_(4)當(dāng)x>0時(shí)，_；當(dāng)x<0時(shí)，_(5)當(dāng)x>0時(shí)，_；當(dāng)x<0時(shí)，_(6)在(，) 上是_(7)在(，) 上是_1）指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），且圖象都在第一、二象限；2）指數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當(dāng)時(shí)，圖象向左無(wú)限接近軸，當(dāng)時(shí)，圖象向右無(wú)限接近軸）；3）對(duì)于相同的，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱。熱身練習(xí)：1下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是 ()當(dāng)a<0時(shí)，a3；|a|；函數(shù)y(3x7)0的定義域是(2，)；若100a5,10b2，則2ab1.A0B1C2D32下列各式：（1） （2） （3） （4） ，（5）化簡(jiǎn)(2)6(1)0的結(jié)果為 9 其中正確的是_ 3函數(shù)y(a23a3)ax是指數(shù)函數(shù)，則有 ()Aa1或a2Ba1 Ca2Da>0且a14如圖所示的曲線C1，C2，C3，C4分別是函數(shù)yax，ybx，ycx，ydx的圖象，則a，b，c，d的大小關(guān)系是 ()Aa<b<1<c<dBa<b<1<d<cCb<a<1<c<dDb<a<1<d<c5若，則 0 6已知實(shí)數(shù)、滿足等式()a()b下列五個(gè)關(guān)系式 ；其中不可能成立的關(guān)系式有A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)解析：由已知得2a3b，在同一坐標(biāo)系中作出y2x，y3x的圖象，當(dāng)縱坐標(biāo)相等時(shí)，可以得到相應(yīng)橫坐標(biāo)的大小關(guān)系，從而得出不可能成立答案：B7.函數(shù)f(x)axb的圖象如圖，其中a、b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()Aa>1，b<0Ba>1，b>0C0<a<1，b>0D0<a<1，b<08. 設(shè) y3()1. 5，則 ( ) Ay3>y1>y2 By2>y1>y3 Cy1>y2>y3Dy1>y3>y29. 若a>1，b>0，且abab2，則abab的值等于 ()A.B2或2 C2D21011.下列說(shuō)法中，正確的是（ ）任取xR都有3x2x 當(dāng)a1時(shí)，任取xR都有axax y=()x是增函數(shù) y=2|x|的最小值為1 在同一坐標(biāo)系中，y=2x與y=2x的圖象對(duì)稱于y軸ABCD探究點(diǎn)一有理指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值例1（1） （2） 解：原式=。變式遷移1（1）化簡(jiǎn) (1)0； （2） (1)原式21(2)1(2)1.（3）已知?jiǎng)t 。解：，。點(diǎn)評(píng)：本題直接代入條件求解繁瑣，故應(yīng)先化簡(jiǎn)變形，創(chuàng)造條件簡(jiǎn)化運(yùn)算。（4）.下列各式中成立的一項(xiàng)是( ) A. B. C. D.（5）.化簡(jiǎn)= . （6）化簡(jiǎn)下列各式: (1) 指數(shù)冪化簡(jiǎn)與求值的原則和要求： (1)化簡(jiǎn)原則：化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；化負(fù)指數(shù)冪為正指數(shù)冪；化小數(shù)為分?jǐn)?shù)；注意運(yùn)算的先后順序 (2)結(jié)果要求： 若題目以根式形式給出，則結(jié)果用根式表示； 若題目以分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式給出，則結(jié)果用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示； 結(jié)果不能同時(shí)含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又有負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 探究點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用例2（1）.已知函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A（其坐標(biāo)與a無(wú)關(guān)），則定點(diǎn)A的坐標(biāo)為 解析：令x+20，即x-2，則f(x)-1. 圖象恒點(diǎn)定點(diǎn)A （2）若直線y=2a與函數(shù)y=|ax1|（a0且a1）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是_.解析：方程|ax1|2a有兩個(gè)不等實(shí)根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y|ax1|與函數(shù)y2a有兩個(gè)不同交點(diǎn)，作出函數(shù)y|ax1|的圖象，從圖象觀察可知只有0<2a<1時(shí)，符合題意，即0<a<.（3）已知函數(shù)y()|x1|.作出函數(shù)的圖象(簡(jiǎn)圖)； 由圖象指出其單調(diào)區(qū)間；由圖象指出當(dāng)x取什么值時(shí)有最值，并求出最值解(1)方法一由函數(shù)解析式可得y()|x1|其圖象由兩部分組成：一部分是：y()x(x0) y()x1(x1)；另一部分是：y3x(x<0)y3x1(x<1)如圖所示方法二由y()|x|可知函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故先作出y()x的圖象，保留x0的部分，當(dāng)x<0時(shí)，其圖象是將y()x(x0)圖象關(guān)于y軸對(duì)折，從而得出y()|x|的圖象將y()|x|向左移動(dòng)1個(gè)單位，即可得y()|x1|的圖象，如圖所示(2)由圖象知函數(shù)在(，1上是增函數(shù)，在1，)上是減函數(shù)(3)由圖象知當(dāng)x1時(shí)，有最大值1，無(wú)最小值變式遷移21(1)函數(shù)y4x與函數(shù)y=4x的圖像關(guān)于_對(duì)稱， x軸，(2)函數(shù)y=4x與函數(shù)y=4-x的圖像關(guān)于_對(duì)稱y軸(3)函數(shù)y4x與函數(shù)、y=4-x的圖像關(guān)于_對(duì)稱原點(diǎn)2. y2-x的圖像可以看成是由函數(shù)y2-x+13的圖像平移后得到的，平移過(guò)程是 A向左平移1個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位B向左平移1個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位C向右平移1個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位D向右平移1個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位3.函數(shù)y的圖象大致為 (A)解析： y1，當(dāng)x>0時(shí)，e2x1>0，且隨著x的增大而增大，故y1>1且隨著x的增大而減小，即函數(shù)y在(0，)上恒大于1且單調(diào)遞減又函數(shù)y是奇函數(shù)，故只有A正確4當(dāng)a0且a1時(shí)，函數(shù)f (x)=ax23必過(guò)定點(diǎn) (2，2) 5、函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)指數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn): 點(diǎn)評(píng)：指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象的相對(duì)位置與底數(shù)大小的關(guān)系如圖所示，則 在y軸右側(cè)，圖像從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變?。?在y軸左側(cè)，圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變??； 即無(wú)論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時(shí)針?lè)较蜃兇?0<c<d<1<a<b.探究點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例3（1）函數(shù)y=的值域是（ ）A.y|y<-或y>0 B.y|y<0或y>0 C.y|y<-2或y>0 D.y|y<-或y>2（2）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則的范圍是 （ ）A. B. C. D.（3）函數(shù)y=（）的遞增區(qū)間是_.（4）下列各式中正確的是（ D ）點(diǎn)評(píng)：比較兩個(gè)指數(shù)冪大小時(shí)，盡量化同底數(shù)或同指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時(shí)，構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù)，然后比較大??；當(dāng)指數(shù)相同，底數(shù)不同時(shí)，構(gòu)造兩個(gè)指數(shù)函數(shù)，利用圖象比較大?。?）對(duì)于函數(shù)定義域中任意的，有如下結(jié)論：； ； 。當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是 。（6）例2設(shè)0x2，求函數(shù)y=的最大值和最小值解析：設(shè)2x=t，x2，1t4原式化為：y=(ta)21當(dāng)a1時(shí)，ymin=；當(dāng)1a時(shí)，ymin=1，ymax=；當(dāng)a4時(shí)，ymin=1，ymax=；當(dāng)a4時(shí)，ymin=（7）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)求a，b的值； 判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；若對(duì)任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)<0恒成立，求k的取值范圍解(1)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，f(0)0，即0，解得b1，從而有f(x).又由f(1)f(1)知，解得a2.經(jīng)檢驗(yàn)a2適合題意，所求a、b的值分別為2、1. (2)由(1)知f(x).由上式易知f(x)在(，)上為減函數(shù)又因f(x)是奇函數(shù)，從而不等式f(t22t)<f(2t2k)f(2t2k)因?yàn)閒(x)是減函數(shù)，由上式推得t22t>2t2k.即對(duì)一切tR有3t22tk>0.從而判別式412k<0，解得k<.變式遷移3 （1）. 設(shè)指數(shù)函數(shù)，則下列等式不正確的是（ ）A . f(x+y)=f(x)f(y) B . f(xy)= C. D .（2）已知函數(shù)，滿足，且f(0)3，則f()與f()的大小關(guān)系是解析：f(1x)f(1x)，f(x)的對(duì)稱軸為直線x1. 由此得b2.又f(0)3，c3. f(x)在(，1)上遞減，在(1，)上遞增 若x0，則1，f()f()若x<0，則<<1，f()>f() f()f() （3）若函數(shù)則的值為 （4）若函數(shù)f(x)ax1(a>0且a1)的定義域和值域都是0,2，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)（5）函數(shù)y|2x1|在區(qū)間(k1，k1)內(nèi)不單調(diào)，則k的取值范圍是 （6）若關(guān)于x的方程25-|x+1|-45-|x+1|=m有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）A.m<0 B.m-4 C.-4m<0 D.-3m<0解析：令t=5-|x+1|,則m=t2-4t=(t-2)2-4,又0<t1 m關(guān)于t在（0，1上遞減,故-3m<0.（7）已知，求函數(shù)的最大值和最小值.解：由已知得（3x）2-103x+90 得（3x-9）（3x-1）013x9 故0x2 而y=()x-1-4()x+2= 4（）2x-4（）x+2 令t=（）x（）則y=f（t）=4t2-4t+2=4（t-）2+1 當(dāng)t=即x=1時(shí)，ymin=1 當(dāng)t=1即x=0時(shí)，ymax=2 （8）如果函數(shù)ya2x2ax1(a>0且a1)在區(qū)間1,1上的最大值是14，求a的值解：設(shè)，則y2t1(t1)2. 當(dāng)a>1時(shí)，ta ，a此時(shí)ymax2a114， 解得a3或a5(舍去) 當(dāng)0<a<1時(shí)，ta，a1，此時(shí)ymax(a1)22a1114，解得a或a(舍去)故所求a的值為3或.（9）已知定義在R上的奇函數(shù)有最小正周期為2，且時(shí)，（1）求在1，1上的解析式；（2）判斷在（0，1）上的單調(diào)性；（3）當(dāng)為何值時(shí)，方程=在上有實(shí)數(shù)解.解（1）xR上的奇函數(shù) 又2為最小正周期 設(shè)x（1，0），則x（0，1），（2）設(shè)0<x1<x2<1 = 在（0，1）上為減函數(shù)。（3）在（0，1）上為減函數(shù)， 即 同理在（1，0）時(shí)，又當(dāng)或時(shí)在1，1內(nèi)有實(shí)數(shù)解。（10）已知f(x)(axax)(a>0且a1)判斷f(x)的奇偶性； 討論f(x)的單調(diào)性；當(dāng)x1,1時(shí)f(x)b恒成立，求b的取值范圍對(duì)于函數(shù)，當(dāng)x(1，1)時(shí)，有，求的集合A解 函數(shù)定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱又因?yàn)閒(x)(axax)f(x)，所以f(x)為奇函數(shù) 當(dāng)a>1時(shí)，a21>0，yax為增函數(shù)，yax為減函數(shù)，從而yaxax為增函數(shù)，所以f(x)為增函數(shù)當(dāng)0<a<1時(shí)，a21<0，yax為減函數(shù)，yax為增函數(shù)，從而yaxax為減函數(shù)，所以f(x)為增函數(shù)故當(dāng)a>0，且a1時(shí)，f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增由(2)知f(x)在R上是增函數(shù)，在區(qū)間1,1上為增函數(shù)，f(1)f(x)f(1)，f(x)minf(1)(a1a)1.要使f(x)b在1,1上恒成立，則只需b1，故b的取值范圍是(，1 f(1t)f(1t2)0，f(x)是奇函數(shù)，且在R上為增函數(shù)，練習(xí)：1已知函數(shù)f(x)2x2，則函數(shù)y|f(x)|的圖象可能是() 解析：y|f(x)|2x2|函數(shù)y|f(x)|在1，)上為增函數(shù)，在(，1)上為減函數(shù)2函數(shù)y()x1的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱的圖象大致是 ()解析：選通過(guò)平移變換作出函數(shù)y()x1的圖象，再作關(guān)于直線yx對(duì)稱的圖象即可3.正實(shí)數(shù)x1,x2及函數(shù)f(x)滿足4x=,且f(x1)+f(x2)=1,則f(x1+x2)的最小值為（ ）A.4 B.2 C. D.解析：f(x)=，1=f(x1)+f(x2)=1-，即=1,-32=2,故3,9,f(x1+x2)=1-.當(dāng)且僅當(dāng),即x1=x2=log43時(shí)等號(hào)成立.4函數(shù)的定義域是 ；的值域?yàn)?；的值域?yàn)?。函數(shù)f(x) (a>1)的值域是_ 解析：由ax>0ax1>1，a>1，y >a.答案：(a，) 5函數(shù)是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是 。6已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和原點(diǎn)，則 7方程的解為 。8若為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù) 9若曲線與直線yb沒(méi)有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是_ 解析：曲線|與直線yb的 圖象如圖所示，由圖象可得：如果 與直線yb沒(méi)有公共點(diǎn)， 則b應(yīng)滿足的條件是b1,1 使得對(duì)于區(qū)間D上的一切實(shí)數(shù)x都有f(x)g(x)成立，則稱函數(shù)g(x)為函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的一個(gè)“覆蓋函數(shù)”，設(shè)f(x)，g(x)2x，若函數(shù)g(x)為函數(shù)f(x)在區(qū)間m，n上的一個(gè)“覆蓋函數(shù)”，則mn的最大值為_(kāi) 解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)與g(x)2x的 圖像相交于點(diǎn)A(1,2)，B(2,4)，由圖可 知，m，n1,2，故(mn)max211. 10已知試求的解集。11函數(shù)y12x4xa在x(，1上y>0恒成立，求a的取值范圍解由題意得12x4xa>0在x(，1上恒成立，即a>在x(，1上恒成立又因?yàn)?)2x()x，設(shè)t()x，x1，t且函數(shù)f(t)t2t(t)2(t)在t時(shí)，取到最大值()x即x1時(shí)，的最大值為，a>.12.若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，試求實(shí)數(shù)的取值范圍。13設(shè)關(guān)于的方程R），（1）若方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（2）當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，并求出方程的解。 解析（1）原方程為，時(shí)方程有實(shí)數(shù)解；（2）當(dāng)時(shí)，方程有唯一解；當(dāng)時(shí)，.的解為；令的解為；綜合、，得1）當(dāng)時(shí)原方程有兩解：；2）當(dāng)時(shí)，原方程有唯一解；3）當(dāng)時(shí)，原方程無(wú)解.14.已知函數(shù)（1）證明：函數(shù)在上為增函數(shù)；（2）方程是否有負(fù)數(shù)根？若有，寫(xiě)出一個(gè)負(fù)數(shù)根；若沒(méi)有，請(qǐng)給出證明。15.已知函數(shù)f(x)ab，其中常數(shù)a，b滿足ab0 (1)若ab0，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)若ab0，求f(x1)f(x)時(shí)的x的取值范圍 (1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性可以利用函數(shù)單調(diào)性的定義由于本題中y及y都是增函數(shù)且ab0，故可分a0，b0和a0，b0兩種情況，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷 (2)f(x1)f(x) f(x1)f(x)0 解(1)當(dāng)a0，b0時(shí)，因?yàn)閍、b都單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)a0，b0時(shí)，因?yàn)閍、b都單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞減(2)f(x1)f(x)a2x2b3x0.當(dāng)a0，b0時(shí)，()x，解得x ()；當(dāng)a0，b0時(shí)，()x，解得x ()