2019-2020年高三數學大一輪復習 6.3等比數列及其前n項和教案 理 新人教A版 .DOC

2019-2020年高三數學大一輪復習 6.3等比數列及其前n項和教案 理 新人教A版xx高考會這樣考1.以等比數列的定義及等比中項為背景，考查等比數列的判定；2.運用基本量法求解等比數列問題；3.考查等比數列的應用問題復習備考要這樣做1.注意方程思想在解題中的應用；2.使用公式要注意公比q1的情況；3.結合等比數列的定義、公式，掌握通性通法1 等比數列的定義如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(不為零)，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母_q_表示2 等比數列的通項公式設等比數列an的首項為a1，公比為q，則它的通項ana1qn1.3 等比中項若G2ab_(ab0)，那么G叫做a與b的等比中項4 等比數列的常用性質(1)通項公式的推廣：anamqnm，(n，mN*)(2)若an為等比數列，且klmn (k，l，m，nN*)，則akalaman.(3)若an，bn(項數相同)是等比數列，則an(0)，a，anbn，仍是等比數列5 等比數列的前n項和公式等比數列an的公比為q(q0)，其前n項和為Sn，當q1時，Snna1；當q1時，Sn.6 等比數列前n項和的性質公比不為1的等比數列an的前n項和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數列，其公比為_qn_.難點正本疑點清源1 等比數列的特征從等比數列的定義看，等比數列的任意項都是非零的，公比q也是非零常數2 等比數列中的函數觀點利用函數、方程的觀點和方法，揭示等比數列的特征及基本量之間的關系在借用指數函數討論單調性時，要特別注意首項和公比的大小3 兩個防范(1)由an1qan，q0并不能立即斷言an為等比數列，還要驗證a10.(2)在運用等比數列的前n項和公式時，必須注意對q1與q1分類討論，防止因忽略q1這一特殊情形導致解題失誤1 (xx遼寧)已知等比數列an為遞增數列，且aa10，2(anan2)5an1，則數列an的通項公式an_.答案2n解析先判斷數列的項是正數，再求出公比和首項aa10>0，根據已知條件得25，解得q2.所以aq8a1q9，所以a12，所以an2n.2 在等比數列an中，各項均為正值，且a6a10a3a541，a4a85，則a4a8_.答案解析由a6a10a3a541及a6a10a，a3a5a，得aa41.因為a4a85，所以(a4a8)2a2a4a8a412551.又an>0，所以a4a8.3 已知a，b，c成等比數列，如果a，x，b和b，y，c都成等差數列，則_.答案2解析令a1，b3，c9，則由題意，有x2，y6.此時2.4 (xx廣東)已知an是遞增等比數列，a22，a4a34，則此數列的公比q_.答案2解析由a22，a4a34，得方程組q2q20，解得q2或q1.又an是遞增等比數列，故q2.5 (xx課標全國)已知an為等比數列，a4a72，a5a68，則a1a10等于()A7 B5 C5 D7答案D解析方法一由題意得或a1a10a1(1q9)7.方法二由解得或或a1a10a1(1q9)7.題型一等比數列的基本量的計算例1等比數列an的前n項和為Sn.已知S1，S3，S2成等差數列(1)求an的公比q；(2)若a1a33，求Sn.思維啟迪：(1)由S1，S3，S2成等差數列，列方程求出q.(2)由a1a33求出a1，再由通項和公式求出Sn.解(1)依題意有a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)由于a10，故2q2q0.又q0，從而q.(2)由已知可得a1a123.故a14.從而Sn.探究提高等比數列基本量的運算是等比數列中的一類基本問題，數列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解 等比數列an滿足：a1a611，a3a4，且公比q(0,1)(1)求數列an的通項公式；(2)若該數列前n項和Sn21，求n的值解(1)a3a4a1a6，又a1a611，故a1，a6可看作方程x211x0的兩根，又q(0,1)，a1，a6，q5，q，ann1n6.(2)由(1)知Sn21，解得n6.題型二等比數列的性質及應用例2在等比數列an中，(1)若已知a24，a5，求an；(2)若已知a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值思維啟迪：注意巧用性質，減少計算如：對于等比數列an，若mnpq (m、n、p、qN*)，則amanapaq；若mn2p(m，n，pN*)，則amana.解(1)設公比為q，則q3，即q3，q，ana5qn5n4.(2)a3a4a58，又a3a5a，a8，a42.a2a3a4a5a6a2532.探究提高在解決等比數列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質，特別是性質“若mnpq，則amanapaq”，可以減少運算量，提高解題速度 (1)已知各項均為正數的等比數列an中，a1a2a35，a7a8a910，則a4a5a6等于 ()A5 B7 C6 D4(2)已知Sn為等比數列an的前n項和，且S38，S67，則a4a5a9_.答案(1)A(2)解析(1)把a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9看成一個整體，則由題意，知它們分別是一個等比數列的第1項，第4項和第7項，這里的第4項剛好是第1項與第7項的等比中項因為數列an的各項均為正數，所以a4a5a65.(2)根據等比數列的性質，知S3，S6S3，S9S6成等比數列，即8,78，S97成等比數列，所以(1)28(S97)解得S97.所以a4a5a9S9S378.題型三等比數列的判定例3已知數列an的前n項和為Sn，數列bn中，b1a1，bnanan1 (n2)，且anSnn.(1)設cnan1，求證：cn是等比數列；(2)求數列bn的通項公式思維啟迪：(1)由anSnn及an1Sn1n1轉化成an與an1的遞推關系，再構造數列an1(2)由cn求an再求bn.(1)證明anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an1是等比數列又a1a11，a1，首項c1a11，c1，公比q.又cnan1，cn是以為首項，為公比的等比數列(2)解由(1)可知cnn1n，ancn11n.當n2時，bnanan11nn1nn.又b1a1代入上式也符合，bnn.探究提高注意判斷一個數列是等比數列的方法，另外第(2)問中要注意驗證n1時是否符合n2時的通項公式，能合并的必須合并 已知數列an的前n項和Sn2an1，求證：an是等比數列，并求出通項公式證明Sn2an1，Sn12an11.an1Sn1Sn(2an11)(2an1)2an12an.an12an，又S12a11a1，a110.又由an12an知an0，2.an是以1為首項，2為公比的等比數列an12n12n1.等差與等比數列綜合性問題的求解典例：(12分)(xx湖北)成等差數列的三個正數的和等于15，并且這三個數分別加上2、5、13后成為等比數列bn中的b3、b4、b5.(1)求數列bn的通項公式；(2)數列bn的前n項和為Sn，求證：數列是等比數列審題視角設等差數列的三個正數，利用等比數列的性質解出公差d，從而求出數列bn的首項、公比；利用等比數列的定義可解決第(2)問規(guī)范解答(1)解設成等差數列的三個正數分別為ad，a，ad，依題意，得adaad15，解得a5.2分所以bn中的b3，b4，b5依次為7d,10,18d.依題意，有(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去)4分故bn的第3項為5，公比為2.由b3b122，即5b122，解得b1.所以bn是以為首項，2為公比的等比數列，其通項公式為bn2n152n3.6分(2)證明數列bn的前n項和Sn52n2，即Sn52n2.8分所以S1，2.因此是以為首項，2為公比的等比數列12分答題模板求解等差和等比數列綜合性問題的一般步驟：第一步：設等比數列、等差數列的基本量；第二步：根據條件列方程，解出基本量；第三步：根據公式求通項或前n項和；第四步：根據定義證明等差、等比數列；對于等比數列，一定要說明首項非零溫馨提醒關于等差(比)數列的基本運算，其實質就是解方程或方程組，需要認真計算，靈活處理已知條件容易出現的問題主要有兩個方面：一是計算出現失誤，特別是利用因式分解求解方程的根時，不注意對根的符號進行判斷；二是不能靈活運用等差(比)數列的基本性質轉化已知條件，導致列出的方程或方程組較為復雜，增大運算量方法與技巧1 等比數列的判定方法有以下幾種：(1)定義：q (q是不為零的常數，nN*)an是等比數列(2)通項公式：ancqn1 (c、q均是不為零的常數，nN*)an是等比數列(3)等比中項法：aanan2(anan1an20，nN*)an是等比數列2 方程觀點以及基本量(首項和公比a1，q)思想仍然是求解等比數列問題的基本方法：在a1，q，n，an，Sn五個量中，知三求二3 在求解與等比數列有關的問題時，除了要靈活地運用定義和公式外，還要注意性質的應用，以減少運算量而提高解題速度失誤與防范1 特別注意q1時，Snna1這一特殊情況2 由an1qan，q0，并不能立即斷言an為等比數列，還要驗證a10.3 在運用等比數列的前n項和公式時，必須注意對q1與q1分類討論，防止因忽略q1這一特殊情形而導致解題失誤A組專項基礎訓練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 (xx遼寧)若等比數列an滿足anan116n，則公比為()A2B4C8D16答案B解析由anan116n，知a1a216，a2a3162，后式除以前式得q216，q4.a1a2aq16>0，q>0，q4.2 等比數列中，|a1|1，a58a2.a5a2，則an等于()A(2)n1 B(2)n1C(2)n D(2)n答案A解析|a1|1，a11或a11.a58a2a2q3，q38，q2.又a5a2，即a2q3a2，a20.而a2a1qa1(2)0，a11.故ana1(2)n1(2)n1.3 在等比數列an中，a12，前n項和為Sn，若數列an1也是等比數列，則Sn等于()A2n12 B3nC2n D3n1答案C解析由已知得數列an的前三項分別為2,2q,2q2.又(2q1)23(2q21)，整理得2q24q20，解得q1，Sn2n.4 在等比數列an中，a37，前3項之和S321，則公比q的值為 ()A1 BC1或 D1或答案C解析根據已知條件得3.整理得2q2q10，解得q1或q.二、填空題(每小題5分，共15分)5 在等比數列an中，a1a230，a3a460，則a7a8_.答案240解析a1a2a1(1q)30，a3a4a1q2(1q)60，q22，a7a8a1q6(1q)a1(1q)(q2)3308240.6 在數列an中，已知a11，an2(an1an2a2a1) (n2，nN*)，這個數列的通項公式是_答案an解析由已知n2時，an2Sn1當n3時，an12Sn2整理得3 (n3)，an7 設等比數列an的公比為q，前n項和為Sn，若Sn1，Sn，Sn2成等差數列，則q的值為_答案2解析由已知條件得2SnSn1Sn2，即2Sn2Sn2an1an2，即2.三、解答題(共22分)8 (10分)已知等差數列an滿足a22，a58.(1)求an的通項公式；(2)各項均為正數的等比數列bn中，b11，b2b3a4，求bn的前n項和Tn.解(1)設等差數列an的公差為d，則由已知得.a10，d2.ana1(n1)d2n2.(2)設等比數列bn的公比為q，則由已知得qq2a4，a46，q2或q3.等比數列bn的各項均為正數，q2.bn的前n項和Tn2n1.9 (12分)已知數列an的各項均為正數，且前n項和Sn滿足Sn(an1)(an2)若a2，a4，a9成等比數列，求數列an的通項公式解因為Sn(an1)(an2)，所以當n1時，有S1a1(a11)(a12)，解得a11或a12；當n2時，有Sn1(an11)(an12)并整理，得(anan1)(anan13)0 (n2)因為數列an的各項均為正數，所以anan13 (n2)當a11時，an13(n1)3n2，此時aa2a9成立當a12時，an23(n1)3n1，此時aa2a9不成立所以a12舍去故an3n2.B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 已知an是首項為1的等比數列，若Sn是an的前n項和，且28S3S6，則數列的前4項和為 ()A.或4 B.或4 C. D.答案C解析設數列an的公比為q.當q1時，由a11，得28S328384.而S66，兩者不相等，因此不合題意當q1時，由28S3S6及首項為1，得.解得q3.所以數列an的通項公式為an3n1.所以數列的前4項和為1.2 已知方程(x2mx2)(x2nx2)0的四個根組成以為首項的等比數列，則等于()A. B.或C. D以上都不對答案B解析設a，b，c，d是方程(x2mx2)(x2nx2)0的四個根，不妨設a<c<d<b，則abcd2，a，故b4，根據等比數列的性質，得到：c1，d2，則mab，ncd3或mcd3，nab，則或.3 設an是任意等比數列，它的前n項和、前2n項和與前3n項和分別為X，Y，Z，則下列等式中恒成立的是 ()AXZ2Y BY(YX)Z(ZY)CY2XZ DY(YX)X(ZX)答案D解析對于含有較多字母的選擇題，可以取滿足條件的數字代替字母，代入驗證，若能排除三個選項，則剩下的唯一選項就一定正確；若不能完全排除，則可以取其他數字繼續(xù)驗證排除取等比數列為1,2,22,23,24，令n1，得X1，Y3，Z7.代入驗算，只有選項D成立二、填空題(每小題5分，共15分)4 已知等比數列an滿足a2a3a428，an1>an，且a32是a2與a4的等差中項，則數列an的通項公式是_答案an2n解析因為a32是a2與a4的等差中項，所以2(a32)a2a4.因為a2a3a428，所以2(a32)a328.所以a38，a2a420.設數列an的公比為q，則解得或因為數列an滿足an1>an，所以a12，q2.所以數列an的通項公式為an2n.5 在等比數列an中，若a9a10a (a0)，a19a20b，則a99a100_.答案解析因為an是等比數列，所以a9a10，a19a20，a99a100成等比數列，從而得a99a100.6 已知數列xn滿足lg xn11lg xn(nN*)，且x1x2x3x1001，則lg(x101x102x200)_.答案100解析由lg xn11lg xn(nN*)，得lg xn1lg xn1，10，數列xn是公比為10的等比數列，xn100xn10100，x101x102x20010100(x1x2x3x100)10100，lg(x101x102x200)lg 10100100.三、解答題7 (13分)已知等差數列an的首項a11，公差d>0，且第2項、第5項、第14項分別是等比數列bn的第2項、第3項、第4項(1)求數列an與bn的通項公式；(2)設數列cn對nN*均有an1成立，求c1c2c3c2 013.解(1)由已知有a21d，a514d，a14113d，(14d)2(1d)(113d)解得d2 (d>0). an1(n1)22n1.又b2a23，b3a59，數列bn的公比為3，bn33n23n1.(2)由an1得當n2時，an.兩式相減得：n2時，an1an2. cn2bn23n1 (n2)又當n1時，a2，c13.cn.c1c2c3c2 01333(332 013)32 013.